MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvidlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvidlem 25432
Description: Lemma for dvid 25435 and dvconst 25434. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
dvidlem.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
dvidlem.3 𝐡 ∈ β„‚
Assertion
Ref Expression
dvidlem (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ Γ— {𝐡}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧
Proof of Theorem dvidlem
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25425 . . . 4 (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚
2 ssidd 4006 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3 dvidlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
42, 3, 2dvbss 25418 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) βŠ† β„‚)
5 reldv 25387 . . . . . . 7 Rel (β„‚ D 𝐹)
6 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
87cnfldtop 24300 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
9 unicntop 24302 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
109ntrtop 22574 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚
126, 11eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚))
13 limcresi 25402 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯)
14 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ β„‚
15 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
16 cncfmptc 24428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
1714, 15, 15, 16mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
18 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝐡 = 𝐡)
1917, 6, 18cnmptlimc 25407 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) limβ„‚ π‘₯))
2013, 19sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
21 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯))
22 dvidlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
23223exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 β‰  π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡))))
2423imp43 429 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
2521, 24sylan2b 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
2625mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ 𝐡))
27 difss 4132 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚
28 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚ βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ 𝐡))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ 𝐡)
3026, 29eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})))
3130oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
3220, 31eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
337cnfldtopon 24299 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3433toponrestid 22423 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
35 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
363adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3734, 7, 35, 15, 36, 15eldv 25415 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
3812, 32, 37mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡)
39 releldm 5944 . . . . . . 7 ((Rel (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
405, 38, 39sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
414, 40eqelssd 4004 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = β„‚)
4241feq2d 6704 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):β„‚βŸΆβ„‚))
431, 42mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):β„‚βŸΆβ„‚)
4443ffnd 6719 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) Fn β„‚)
45 fnconstg 6780 . . 3 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) Fn β„‚)
4614, 45mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) Fn β„‚)
47 ffun 6721 . . . . . 6 ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
481, 47mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
49 funbrfvb 6947 . . . . 5 ((Fun (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹)) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡 ↔ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡))
5048, 40, 49syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡 ↔ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡))
5138, 50mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5214a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
53 fvconst2g 7203 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
5452, 53sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
5551, 54eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯))
5644, 46, 55eqfnfvd 7036 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ Γ— {𝐡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvconst  25434  dvid  25435
  Copyright terms: Public domain W3C validator