MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvidlem 24514
Description: Lemma for dvid 24517 and dvconst 24516. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
dvidlem (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem
StepHypRef Expression
1 dvfcn 24507 . . . 4 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssidd 3975 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 dvidlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
42, 3, 2dvbss 24500 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
5 reldv 24469 . . . . . . 7 Rel (ℂ D 𝐹)
6 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtop 23385 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9 unicntop 23387 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
109ntrtop 21671 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
126, 11eleqtrrdi 2927 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
13 limcresi 24484 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
14 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ ℂ
15 ssidd 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
16 cncfmptc 23513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1714, 15, 15, 16mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
18 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝐵 = 𝐵)
1917, 6, 18cnmptlimc 24489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥))
2013, 19sseldi 3950 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
21 eldifsn 4703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥))
22 dvidlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
23223exp2 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧𝑥 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵))))
2423imp43 431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2521, 24sylan2b 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2625mpteq2dva 5147 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
27 difss 4093 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
28 resmpt 5892 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
3026, 29syl6eqr 2877 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
3130oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
3220, 31eleqtrrd 2919 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
337cnfldtopon 23384 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3433toponrestid 21522 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
35 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
363adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3734, 7, 35, 15, 36, 15eldv 24497 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
3812, 32, 37mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
39 releldm 5801 . . . . . . 7 ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
405, 38, 39sylancr 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
414, 40eqelssd 3973 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
4241feq2d 6488 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
431, 42mpbii 236 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
4443ffnd 6503 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
45 fnconstg 6555 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
4614, 45mp1i 13 . 2 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
47 ffun 6505 . . . . . 6 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
481, 47mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
49 funbrfvb 6708 . . . . 5 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5048, 40, 49syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5138, 50mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
5214a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53 fvconst2g 6952 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
5452, 53sylan 583 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
5551, 54eqtr4d 2862 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
5644, 46, 55eqfnfvd 6793 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  wss 3919  {csn 4549   class class class wbr 5052  cmpt 5132   × cxp 5540  dom cdm 5542  cres 5544  Rel wrel 5547  Fun wfun 6337   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  cmin 10862   / cdiv 11289  TopOpenctopn 16691  fldccnfld 20538  Topctop 21494  intcnt 21618  cnccncf 23477   lim climc 24461   D cdv 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-fz 12891  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-topn 16693  df-topgen 16713  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-fbas 20535  df-fg 20536  df-cnfld 20539  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cld 21620  df-ntr 21621  df-cls 21622  df-nei 21699  df-lp 21737  df-perf 21738  df-cn 21828  df-cnp 21829  df-haus 21916  df-fil 22447  df-fm 22539  df-flim 22540  df-flf 22541  df-xms 22923  df-ms 22924  df-cncf 23479  df-limc 24465  df-dv 24466
This theorem is referenced by:  dvconst  24516  dvid  24517
  Copyright terms: Public domain W3C validator