MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvidlem 23970
Description: Lemma for dvid 23972 and dvconst 23971. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
dvidlem (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23963 . . . 4 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssidd 3784 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 dvidlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
42, 3, 2dvbss 23956 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
5 reldv 23925 . . . . . . 7 Rel (ℂ D 𝐹)
6 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtop 22866 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
97cnfldtopon 22865 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
109toponunii 21000 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1110ntrtop 21154 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
128, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
136, 12syl6eleqr 2855 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
14 limcresi 23940 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
15 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 ssidd 3784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
18 cncfmptc 22993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1916, 17, 17, 18syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20 eqidd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝐵 = 𝐵)
2119, 6, 20cnmptlimc 23945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥))
2214, 21sseldi 3759 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
23 eldifsn 4472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥))
24 dvidlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
25243exp2 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧𝑥 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵))))
2625imp43 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2723, 26sylan2b 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2827mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
29 difss 3899 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
30 resmpt 5626 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
3228, 31syl6eqr 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
3332oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
3422, 33eleqtrrd 2847 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
359toponrestid 21005 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
36 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
373adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3835, 7, 36, 17, 37, 17eldv 23953 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
3913, 34, 38mpbir2and 704 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
40 releldm 5527 . . . . . . 7 ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
415, 39, 40sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
424, 41eqelssd 3782 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
4342feq2d 6209 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
441, 43mpbii 224 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
4544ffnd 6224 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
46 fnconstg 6275 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
4715, 46mp1i 13 . 2 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
48 ffun 6226 . . . . . 6 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
491, 48mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
50 funbrfvb 6426 . . . . 5 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5149, 41, 50syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5239, 51mpbird 248 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
5315a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54 fvconst2g 6660 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
5553, 54sylan 575 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
5652, 55eqtr4d 2802 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
5745, 47, 56eqfnfvd 6504 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  dom cdm 5277  cres 5279  Rel wrel 5282  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cmin 10520   / cdiv 10938  TopOpenctopn 16348  fldccnfld 20019  Topctop 20977  intcnt 21101  cnccncf 22958   lim climc 23917   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-rest 16349  df-topn 16350  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  dvconst  23971  dvid  23972
  Copyright terms: Public domain W3C validator