Theorem dvidlem 26085

Description: Lemma for dvid 26088 and dvconst 26087. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidlem	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 26078	. . . 4 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4	2, 3, 2	dvbss 26071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
5		reldv 26040	. . . . . . 7 ⊢ Rel (ℂ D 𝐹)
6		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtop 24951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9		unicntop 24953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
10	9	ntrtop 23238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
12	6, 11	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
13		limcresi 26055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
14		dvidlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15		ssidd 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
16		cncfmptc 25082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17	14, 15, 15, 16	mp3an2i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
18		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
19	17, 6, 18	cnmptlimc 26060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
20	13, 19	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
21		eldifsn 4752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥))
22		dvidlem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
23	22	3exp2 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 ≠ 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
24	23	imp43 432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
25	21, 24	sylan2b 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
26	25	mpteq2dva 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
27		difss 4089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
28		resmpt 6038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
30	26, 29	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
32	20, 31	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
33	7	cnfldtopon 24950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
34	33	toponrestid 23089	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
35		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	3	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	34, 7, 35, 15, 36, 15	eldv 26068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
38	12, 32, 37	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
39		releldm 5933	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
40	5, 38, 39	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
41	4, 40	eqelssd 3957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
42	41	feq2d 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
43	1, 42	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
44	43	ffnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
45		fnconstg 6766	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
46	14, 45	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
47		ffun 6708	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
48	1, 47	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
49		funbrfvb 6934	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
50	48, 40, 49	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
51	38, 50	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
52	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
53		fvconst2g 7200	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
54	52, 53	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
55	51, 54	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
56	44, 46, 55	eqfnfvd 7028	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658  dom cdm 5660   ↾ cres 5662  Rel wrel 5665  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   − cmin 11447   / cdiv 11877  TopOpenctopn 17480  ℂ_fldccnfld 21533  Topctop 23061  intcnt 23185  –cn→ccncf 25046   lim_ℂ climc 26032   D cdv 26033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-icc 13385  df-fz 13542  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-rest 17481  df-topn 17482  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037

This theorem is used by:  dvconst  26087  dvid  26088