MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvidlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvidlem 25664
Description: Lemma for dvid 25667 and dvconst 25666. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
dvidlem.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
dvidlem.3 𝐡 ∈ β„‚
Assertion
Ref Expression
dvidlem (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ Γ— {𝐡}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧
Proof of Theorem dvidlem
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25657 . . . 4 (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚
2 ssidd 4004 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
3 dvidlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
42, 3, 2dvbss 25650 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) βŠ† β„‚)
5 reldv 25619 . . . . . . 7 Rel (β„‚ D 𝐹)
6 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
87cnfldtop 24520 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
9 unicntop 24522 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
109ntrtop 22794 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚
126, 11eleqtrrdi 2842 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚))
13 limcresi 25634 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯)
14 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ β„‚
15 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
16 cncfmptc 24652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
1714, 15, 15, 16mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
18 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝐡 = 𝐡)
1917, 6, 18cnmptlimc 25639 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) limβ„‚ π‘₯))
2013, 19sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
21 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯))
22 dvidlem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
23223exp2 1352 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 β‰  π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡))))
2423imp43 426 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
2521, 24sylan2b 592 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
2625mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ 𝐡))
27 difss 4130 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚
28 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚ βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ 𝐡))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ 𝐡)
3026, 29eqtr4di 2788 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})))
3130oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ (β„‚ βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
3220, 31eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
337cnfldtopon 24519 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3433toponrestid 22643 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
35 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
363adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
3734, 7, 35, 15, 36, 15eldv 25647 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
3812, 32, 37mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡)
39 releldm 5942 . . . . . . 7 ((Rel (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
405, 38, 39sylancr 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
414, 40eqelssd 4002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = β„‚)
4241feq2d 6702 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):β„‚βŸΆβ„‚))
431, 42mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):β„‚βŸΆβ„‚)
4443ffnd 6717 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) Fn β„‚)
45 fnconstg 6778 . . 3 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) Fn β„‚)
4614, 45mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) Fn β„‚)
47 ffun 6719 . . . . . 6 ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
481, 47mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
49 funbrfvb 6945 . . . . 5 ((Fun (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹)) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡 ↔ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡))
5048, 40, 49syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡 ↔ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡))
5138, 50mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5214a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
53 fvconst2g 7204 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
5452, 53sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
5551, 54eqtr4d 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯))
5644, 46, 55eqfnfvd 7034 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ Γ— {𝐡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615  intcnt 22741  β€“cnβ†’ccncf 24616   limβ„‚ climc 25611   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  dvconst  25666  dvid  25667
  Copyright terms: Public domain W3C validator