Theorem dvidlem 24518

Description: Lemma for dvid 24521 and dvconst 24520. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidlem	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 24511	. . . 4 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2		ssidd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4	2, 3, 2	dvbss 24504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
5		reldv 24473	. . . . . . 7 ⊢ Rel (ℂ D 𝐹)
6		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtop 23389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9		unicntop 23391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
10	9	ntrtop 21675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
12	6, 11	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
13		limcresi 24488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
14		dvidlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
15		ssidd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
16		cncfmptc 23517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17	14, 15, 15, 16	mp3an2i 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
18		eqidd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
19	17, 6, 18	cnmptlimc 24493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
20	13, 19	sseldi 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
21		eldifsn 4680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥))
22		dvidlem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
23	22	3exp2 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 ≠ 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
24	23	imp43 431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
25	21, 24	sylan2b 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
26	25	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
27		difss 4059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
28		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
30	26, 29	eqtr4di 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
31	30	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
32	20, 31	eleqtrrd 2893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
33	7	cnfldtopon 23388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
34	33	toponrestid 21526	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
35		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	3	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	34, 7, 35, 15, 36, 15	eldv 24501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
38	12, 32, 37	mpbir2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
39		releldm 5778	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
40	5, 38, 39	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
41	4, 40	eqelssd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
42	41	feq2d 6473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
43	1, 42	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
44	43	ffnd 6488	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
45		fnconstg 6541	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
46	14, 45	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
47		ffun 6490	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
48	1, 47	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
49		funbrfvb 6695	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
50	48, 40, 49	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
51	38, 50	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
52	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
53		fvconst2g 6941	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
54	52, 53	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
55	51, 54	eqtr4d 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
56	44, 46, 55	eqfnfvd 6782	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  Rel wrel 5524  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   − cmin 10859   / cdiv 11286  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091  Topctop 21498  intcnt 21622  –cn→ccncf 23481   lim_ℂ climc 24465   D cdv 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  dvconst  24520  dvid  24521