Theorem frege129d 43946

Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 44175. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege129d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege129d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
frege129d.or	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege129d	⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege129d.or	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2		frege129d.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4		frege129d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		frege129d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9		frege129d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
11	3, 5, 7, 8, 10	frege126d 43945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13		eqcom 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐶)
14		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
16	11, 15	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17		3orcomb 1093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶))
18		3orrot 1091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
19	17, 18	sylbb 219	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
20	16, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
23	6	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
24		funbrfvb 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴𝐹𝐶))
25	24	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
26	9, 4, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
27	23, 26	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝐹𝐶)
28	2, 27	frege91d 43934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
30	22, 29	eqbrtrrd 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32		3mix1 1331	. . . 4 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
33	31, 32	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
34	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35		funrel 6507	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
36	9, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
37		reltrclfv 14938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
38	2, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39		brrelex1 5675	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
40	38, 39	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	6, 41	eqeltrdi 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44	4	elexd 3462	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
47	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
48	34, 40, 43, 45, 46, 47	frege96d 43932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
50	49, 32	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
51	21, 33, 50	3jaod 1431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
52	1, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Rel wrel 5627  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  t+ctcl 14906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-trcl 14908  df-relexp 14941

This theorem is referenced by: (None)