Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege129d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege129d 42514
Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 42743. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege129d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege129d.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
frege129d.or (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege129d (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d
StepHypRef Expression
1 frege129d.or . 2 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2 frege129d.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
32adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4 frege129d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6 frege129d.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
76adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹𝐴))
8 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9 frege129d.fun . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
113, 5, 7, 8, 10frege126d 42513 . . . . . 6 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12 biid 261 . . . . . . 7 (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13 eqcom 2740 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
14 biid 261 . . . . . . 7 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
1512, 13, 143orbi123i 1157 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
1611, 15sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17 3orcomb 1095 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶))
18 3orrot 1093 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
1917, 18sylbb 218 . . . . 5 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2120ex 414 . . 3 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
236eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐶)
24 funbrfvb 6947 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
269, 4, 25syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2723, 26mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐹𝐶)
282, 27frege91d 42502 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
2928adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
3022, 29eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
3130ex 414 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32 3mix1 1331 . . . 4 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
3331, 32syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
342adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35 funrel 6566 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
369, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
37 reltrclfv 14964 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
382, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39 brrelex1 5730 . . . . . . 7 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
4038, 39sylan 581 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41 fvex 6905 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ∈ V
426, 41eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
4342adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
444elexd 3495 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
4544adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
4727adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
4834, 40, 43, 45, 46, 47frege96d 42500 . . . . 5 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
4948ex 414 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
5049, 32syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
5121, 33, 503jaod 1429 . 2 (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
521, 51mpd 15 1 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538  cfv 6544  t+ctcl 14932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-trcl 14934  df-relexp 14967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator