Theorem frege129d 44212

Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 44441. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege129d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege129d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
frege129d.or	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege129d	⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege129d.or	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2		frege129d.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4		frege129d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		frege129d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9		frege129d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
11	3, 5, 7, 8, 10	frege126d 44211	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐶)
14		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
16	11, 15	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17		3orcomb 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶))
18		3orrot 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
19	17, 18	sylbb 219	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
20	16, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
23	6	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
24		funbrfvb 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴𝐹𝐶))
25	24	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
26	9, 4, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
27	23, 26	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝐹𝐶)
28	2, 27	frege91d 44200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
30	22, 29	eqbrtrrd 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32		3mix1 1332	. . . 4 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
33	31, 32	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
34	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35		funrel 6511	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
36	9, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
37		reltrclfv 14974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
38	2, 36, 37	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39		brrelex1 5679	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
40	38, 39	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		fvex 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	6, 41	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44	4	elexd 3454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
47	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
48	34, 40, 43, 45, 46, 47	frege96d 44198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
50	49, 32	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
51	21, 33, 50	3jaod 1432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
52	1, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  Rel wrel 5631  Fun wfun 6488  ‘cfv 6494  t+ctcl 14942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-trcl 14944  df-relexp 14977

This theorem is referenced by: (None)