Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege129d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege129d 39992
Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 40222. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege129d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege129d.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
frege129d.or (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege129d (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d
StepHypRef Expression
1 frege129d.or . 2 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2 frege129d.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
32adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4 frege129d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6 frege129d.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹𝐴))
8 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9 frege129d.fun . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
113, 5, 7, 8, 10frege126d 39991 . . . . . 6 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12 biid 262 . . . . . . 7 (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13 eqcom 2833 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
14 biid 262 . . . . . . 7 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
1512, 13, 143orbi123i 1150 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
1611, 15sylib 219 . . . . 5 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17 3orcomb 1088 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶))
18 3orrot 1086 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
1917, 18sylbb 220 . . . . 5 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2120ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
236eqcomd 2832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐶)
24 funbrfvb 6719 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2524biimpd 230 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
269, 4, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2723, 26mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐹𝐶)
282, 27frege91d 39980 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
3022, 29eqbrtrrd 5087 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
3130ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32 3mix1 1324 . . . 4 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
3331, 32syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
342adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35 funrel 6371 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
369, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
37 reltrclfv 14372 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
382, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39 brrelex1 5604 . . . . . . 7 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
4038, 39sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41 fvex 6682 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ∈ V
426, 41syl6eqel 2926 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
4342adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
444elexd 3520 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
4544adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
4727adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
4834, 40, 43, 45, 46, 47frege96d 39978 . . . . 5 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
4948ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
5049, 32syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
5121, 33, 503jaod 1422 . 2 (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
521, 51mpd 15 1 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3o 1080   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  Rel wrel 5559  Fun wfun 6348  cfv 6354  t+ctcl 14340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-seq 13365  df-trcl 14342  df-relexp 14375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator