Theorem frege129d 44415

Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 44644. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege129d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege129d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
frege129d.or	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege129d	⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege129d.or	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2		frege129d.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4		frege129d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
5	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		frege129d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
8		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9		frege129d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
11	3, 5, 7, 8, 10	frege126d 44414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12		biid 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13		eqcom 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐶)
14		biid 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
16	11, 15	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17		3orcomb 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶))
18		3orrot 1106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
19	17, 18	sylbb 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
20	16, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
21	20	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
23	6	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
24		funbrfvb 6935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴𝐹𝐶))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
26	9, 4, 25	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
27	23, 26	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝐹𝐶)
28	2, 27	frege91d 44403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
29	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
30	22, 29	eqbrtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
31	30	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32		3mix1 1347	. . . 4 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
33	31, 32	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
34	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35		funrel 6554	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
36	9, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
37		reltrclfv 15054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
38	2, 36, 37	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39		brrelex1 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
40	38, 39	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	6, 41	eqeltrdi 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
43	42	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44	4	elexd 3486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
45	44	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
47	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
48	34, 40, 43, 45, 46, 47	frege96d 44401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
49	48	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
50	49, 32	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
51	21, 33, 50	3jaod 1454	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
52	1, 51	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  Rel wrel 5667  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  t+ctcl 15022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-trcl 15024  df-relexp 15057

This theorem is referenced by: (None)