Theorem frege129d 41260

Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 41489. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege129d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege129d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
frege129d.or	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege129d	⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege129d.or	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2		frege129d.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4		frege129d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		frege129d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9		frege129d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
11	3, 5, 7, 8, 10	frege126d 41259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12		biid 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐶)
14		biid 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
16	11, 15	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17		3orcomb 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶))
18		3orrot 1090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
19	17, 18	sylbb 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
20	16, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
23	6	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
24		funbrfvb 6806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴𝐹𝐶))
25	24	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
26	9, 4, 25	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
27	23, 26	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝐹𝐶)
28	2, 27	frege91d 41248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
30	22, 29	eqbrtrrd 5094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32		3mix1 1328	. . . 4 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
33	31, 32	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
34	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35		funrel 6435	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
36	9, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
37		reltrclfv 14656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
38	2, 36, 37	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39		brrelex1 5631	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
40	38, 39	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		fvex 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	6, 41	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44	4	elexd 3442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
47	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
48	34, 40, 43, 45, 46, 47	frege96d 41246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
49	48	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
50	49, 32	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
51	21, 33, 50	3jaod 1426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
52	1, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  Rel wrel 5585  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  t+ctcl 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-trcl 14626  df-relexp 14659

This theorem is referenced by: (None)