Theorem frege129d 44611

Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 44840. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege129d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege129d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
frege129d.or	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege129d	⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege129d.or	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2		frege129d.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4		frege129d.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6		frege129d.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹‘𝐴))
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9		frege129d.fun	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
11	3, 5, 7, 8, 10	frege126d 44610	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12		biid 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐶)
14		biid 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ↔ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
15	12, 13, 14	3orbi123i 1174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
16	11, 15	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17		3orcomb 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶))
18		3orrot 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
19	17, 18	sylbb 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
20	16, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
21	20	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
23	6	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
24		funbrfvb 6935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴𝐹𝐶))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
26	9, 4, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → 𝐴𝐹𝐶))
27	23, 26	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝐹𝐶)
28	2, 27	frege91d 44599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
30	22, 29	eqbrtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
31	30	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32		3mix1 1349	. . . 4 ⊢ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
33	31, 32	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
34	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35		funrel 6554	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
36	9, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
37		reltrclfv 15094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
38	2, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39		brrelex1 5712	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
40	38, 39	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	6, 41	eqeltrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
43	42	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44	4	elexd 3476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
45	44	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
47	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
48	34, 40, 43, 45, 46, 47	frege96d 44597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
49	48	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
50	49, 32	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
51	21, 33, 50	3jaod 1456	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
52	1, 51	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  t+ctcl 15062

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-trcl 15064  df-relexp 15097

This theorem is used by: (None)