Theorem frege124d 42023

Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 42249. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege124d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege124d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
frege124d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege124d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege124d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
2		frege124d.fun	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		frege124d.xb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
4	1	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
5		frege124d.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funbrfvb 6897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
8	4, 7	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝐹𝐴)
9		funeu 6526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
12	1, 11	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		sbcan 3791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14		sbcbr2g 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎))
15		csbvarg 4391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 = 𝐴)
16	15	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
17	14, 16	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
18		sbcng 3789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19		sbcbr1g 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
20	15	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → (⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
21	19, 20	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
22	21	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
23	18, 22	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
24	17, 23	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
25	13, 24	bitrid 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27		spesbc 3838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
28	26, 27	syl6bir 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
29	8, 28	mpand 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30		eupicka 2634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
31	10, 29, 30	syl6an 682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32		alinexa 1845	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
33		frege124d.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
34		funrel 6518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
36		reltrclfv 14902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
38		brrelex2 5686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39	37, 3, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40		brcog 5822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
41	5, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42	41	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
43	32, 42	bitr4id 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
44	31, 43	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45		brdif 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
46	45	simplbi2 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
47	3, 44, 46	sylsyld 61	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48		trclfvdecomr 41990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
49	33, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50		uncom 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
51	49, 50	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52		eqimss 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54		ssundif 4445	. . . . . . . 8 ⊢ ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
55	53, 54	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
56	55	ssbrd 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
57	47, 56	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
58		funbrfv 6893	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
59	2, 57, 58	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
60		eqcom 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑋))
61	59, 60	syl6ib 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐵 = (𝐹‘𝑋)))
62		eqtr3 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹‘𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
63	1, 61, 62	syl6an 682	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
64	63	orrd 861	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2566  Vcvv 3445  [wsbc 3739  ⦋csb 3855   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  Rel wrel 5638  Fun wfun 6490  ‘cfv 6496  t+ctcl 14870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-trcl 14872  df-relexp 14905

This theorem is referenced by:  frege126d  42024