Theorem frege124d 43864

Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 44090. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege124d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege124d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
frege124d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege124d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege124d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
2		frege124d.fun	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		frege124d.xb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
4	1	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
5		frege124d.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funbrfvb 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
8	4, 7	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝐹𝐴)
9		funeu 6506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
12	1, 11	eqeltrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		sbcan 3786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14		sbcbr2g 5147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎))
15		csbvarg 4381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 = 𝐴)
16	15	breq2d 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
17	14, 16	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
18		sbcng 3784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19		sbcbr1g 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
20	15	breq1d 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → (⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
21	19, 20	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
22	21	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
23	18, 22	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
24	17, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
25	13, 24	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27		spesbc 3828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
28	26, 27	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
29	8, 28	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30		eupicka 2629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
31	10, 29, 30	syl6an 684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32		alinexa 1844	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
33		frege124d.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
34		funrel 6498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
36		reltrclfv 14924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
38		brrelex2 5668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39	37, 3, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40		brcog 5805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
41	5, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
43	32, 42	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
44	31, 43	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45		brdif 5142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
46	45	simplbi2 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
47	3, 44, 46	sylsyld 61	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48		trclfvdecomr 43831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
49	33, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50		uncom 4105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
51	49, 50	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52		eqimss 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54		ssundif 4435	. . . . . . . 8 ⊢ ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
55	53, 54	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
56	55	ssbrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
57	47, 56	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
58		funbrfv 6870	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
59	2, 57, 58	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
60		eqcom 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑋))
61	59, 60	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐵 = (𝐹‘𝑋)))
62		eqtr3 2753	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹‘𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
63	1, 61, 62	syl6an 684	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
64	63	orrd 863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  Vcvv 3436  [wsbc 3736  ⦋csb 3845   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  dom cdm 5614   ∘ ccom 5618  Rel wrel 5619  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  t+ctcl 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-trcl 14894  df-relexp 14927

This theorem is referenced by:  frege126d  43865