Theorem frege124d 40462

Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 40688. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege124d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege124d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
frege124d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege124d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege124d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
2		frege124d.fun	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		frege124d.xb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
4	1	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
5		frege124d.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funbrfvb 6695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
8	4, 7	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝐹𝐴)
9		funeu 6349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
10	2, 8, 9	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11		fvex 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
12	1, 11	eqeltrdi 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		sbcan 3768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14		sbcbr2g 5088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎))
15		csbvarg 4339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 = 𝐴)
16	15	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
17	14, 16	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
18		sbcng 3766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19		sbcbr1g 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
20	15	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → (⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
21	19, 20	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
22	21	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
23	18, 22	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
24	17, 23	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
25	13, 24	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27		spesbc 3811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
28	26, 27	syl6bir 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
29	8, 28	mpand 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30		eupicka 2696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
31	10, 29, 30	syl6an 683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32		alinexa 1844	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
33		frege124d.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
34		funrel 6341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
36		reltrclfv 14368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
37	33, 35, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
38		brrelex2 5570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39	37, 3, 38	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40		brcog 5701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
41	5, 39, 40	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42	41	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
43	32, 42	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
44	31, 43	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45		brdif 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
46	45	simplbi2 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
47	3, 44, 46	sylsyld 61	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48		trclfvdecomr 40429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
49	33, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50		uncom 4080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
51	49, 50	eqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52		eqimss 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54		ssundif 4391	. . . . . . . 8 ⊢ ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
55	53, 54	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
56	55	ssbrd 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
57	47, 56	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
58		funbrfv 6691	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
59	2, 57, 58	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
60		eqcom 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑋))
61	59, 60	syl6ib 254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐵 = (𝐹‘𝑋)))
62		eqtr3 2820	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹‘𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
63	1, 61, 62	syl6an 683	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
64	63	orrd 860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2628  Vcvv 3441  [wsbc 3720  ⦋csb 3828   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  dom cdm 5519   ∘ ccom 5523  Rel wrel 5524  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  t+ctcl 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-trcl 14338  df-relexp 14371

This theorem is referenced by:  frege126d  40463