Theorem frege124d 43738

Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 43964. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege124d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege124d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
frege124d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege124d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege124d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
2		frege124d.fun	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		frege124d.xb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
4	1	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
5		frege124d.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funbrfvb 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
8	4, 7	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝐹𝐴)
9		funeu 6507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
12	1, 11	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		sbcan 3792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14		sbcbr2g 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎))
15		csbvarg 4385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 = 𝐴)
16	15	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
17	14, 16	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
18		sbcng 3790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19		sbcbr1g 5149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
20	15	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → (⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
21	19, 20	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
22	21	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
23	18, 22	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
24	17, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
25	13, 24	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27		spesbc 3834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
28	26, 27	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
29	8, 28	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30		eupicka 2627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
31	10, 29, 30	syl6an 684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32		alinexa 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
33		frege124d.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
34		funrel 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
35	2, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
36		reltrclfv 14924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
38		brrelex2 5673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39	37, 3, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40		brcog 5809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
41	5, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
43	32, 42	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
44	31, 43	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45		brdif 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
46	45	simplbi2 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
47	3, 44, 46	sylsyld 61	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48		trclfvdecomr 43705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
49	33, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50		uncom 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
51	49, 50	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52		eqimss 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54		ssundif 4439	. . . . . . . 8 ⊢ ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
55	53, 54	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
56	55	ssbrd 5135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
57	47, 56	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
58		funbrfv 6871	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
59	2, 57, 58	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
60		eqcom 2736	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑋))
61	59, 60	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐵 = (𝐹‘𝑋)))
62		eqtr3 2751	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹‘𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
63	1, 61, 62	syl6an 684	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
64	63	orrd 863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561  Vcvv 3436  [wsbc 3742  ⦋csb 3851   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  dom cdm 5619   ∘ ccom 5623  Rel wrel 5624  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  t+ctcl 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-trcl 14894  df-relexp 14927

This theorem is referenced by:  frege126d  43739