Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege124d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege124d 43222
Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 43448. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege124d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege124d.x (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a (𝜑𝐴 = (𝐹𝑋))
frege124d.xb (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege124d (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege124d.a . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐹𝑋))
2 frege124d.fun . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
3 frege124d.xb . . . . . . 7 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
41eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐴)
5 frege124d.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
6 funbrfvb 6957 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑋) = 𝐴𝑋𝐹𝐴))
72, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑋) = 𝐴𝑋𝐹𝐴))
84, 7mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐹𝐴)
9 funeu 6583 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
102, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑋) ∈ V
121, 11eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
13 sbcan 3831 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎[𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14 sbcbr2g 5210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎𝑋𝐹𝐴 / 𝑎𝑎))
15 csbvarg 4435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → 𝐴 / 𝑎𝑎 = 𝐴)
1615breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹𝐴 / 𝑎𝑎𝑋𝐹𝐴))
1714, 16bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎𝑋𝐹𝐴))
18 sbcng 3829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19 sbcbr1g 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴 / 𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
2015breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ V → (𝐴 / 𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2119, 20bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2221notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2318, 22bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2417, 23anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎[𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
2513, 24bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27 spesbc 3877 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
2826, 27syl6bir 253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
298, 28mpand 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30 eupicka 2625 . . . . . . . . 9 ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
3110, 29, 30syl6an 682 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32 alinexa 1837 . . . . . . . . 9 (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
33 frege124d.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
34 funrel 6575 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
352, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Rel 𝐹)
36 reltrclfv 15004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
3733, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
38 brrelex2 5736 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3937, 3, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
40 brcog 5873 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
415, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
4241notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
4332, 42bitr4id 289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
4431, 43sylibd 238 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45 brdif 5205 . . . . . . . 8 (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
4645simplbi2 499 . . . . . . 7 (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
473, 44, 46sylsyld 61 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48 trclfvdecomr 43189 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
4933, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50 uncom 4154 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
5149, 50eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52 eqimss 4040 . . . . . . . . 9 ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54 ssundif 4491 . . . . . . . 8 ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
5553, 54sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
5655ssbrd 5195 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵𝑋𝐹𝐵))
5747, 56syld 47 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝑋𝐹𝐵))
58 funbrfv 6953 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹𝑋) = 𝐵))
592, 57, 58sylsyld 61 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹𝑋) = 𝐵))
60 eqcom 2735 . . . 4 ((𝐹𝑋) = 𝐵𝐵 = (𝐹𝑋))
6159, 60imbitrdi 250 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = (𝐹𝑋)))
62 eqtr3 2754 . . 3 ((𝐴 = (𝐹𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
631, 61, 62syl6an 682 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))
6463orrd 861 1 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  ∃!weu 2557  Vcvv 3473  [wsbc 3778  csb 3894  cdif 3946  cun 3947  wss 3949   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ccom 5686  Rel wrel 5687  Fun wfun 6547  cfv 6553  t+ctcl 14972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-trcl 14974  df-relexp 15007
This theorem is referenced by:  frege126d  43223
  Copyright terms: Public domain W3C validator