Theorem frege124d 44515

Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 44741. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege124d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
frege124d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
frege124d.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frege124d	⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege124d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐹‘𝑋))
2		frege124d.fun	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		frege124d.xb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
4	1	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
5		frege124d.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6		funbrfvb 6934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝐴 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
8	4, 7	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝐹𝐴)
9		funeu 6561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ V
12	1, 11	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		sbcan 3792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14		sbcbr2g 5168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎))
15		csbvarg 4398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 = 𝐴)
16	15	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
17	14, 16	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ↔ 𝑋𝐹𝐴))
18		sbcng 3790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19		sbcbr1g 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
20	15	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ V → (⦋𝐴 / 𝑎⦌𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
21	19, 20	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
22	21	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
23	18, 22	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
24	17, 23	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎 ∧ [𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
25	13, 24	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
26	12, 25	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27		spesbc 3834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
28	26, 27	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
29	8, 28	mpand 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30		eupicka 2661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
31	10, 29, 30	syl6an 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32		alinexa 1872	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
33		frege124d.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
34		funrel 6553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
35	2, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
36		reltrclfv 15061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
37	33, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
38		brrelex2 5714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39	37, 3, 38	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40		brcog 5851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
41	5, 39, 40	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42	41	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
43	32, 42	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
44	31, 43	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45		brdif 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
46	45	simplbi2 505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
47	3, 44, 46	sylsyld 62	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48		trclfvdecomr 44482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
49	33, 48	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50		uncom 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
51	49, 50	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52		eqimss 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54		ssundif 4447	. . . . . . . 8 ⊢ ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
55	53, 54	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
56	55	ssbrd 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
57	47, 56	syld 48	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝑋𝐹𝐵))
58		funbrfv 6929	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
59	2, 57, 58	sylsyld 62	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹‘𝑋) = 𝐵))
60		eqcom 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑋))
61	59, 60	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐵 = (𝐹‘𝑋)))
62		eqtr3 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹‘𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
63	1, 61, 62	syl6an 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
64	63	orrd 876	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  ∃!weu 2595  Vcvv 3454  [wsbc 3743  ⦋csb 3852   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  dom cdm 5660   ∘ ccom 5664  Rel wrel 5665  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  t+ctcl 15029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-trcl 15031  df-relexp 15064

This theorem is used by:  frege126d  44516