Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege124d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege124d 38558
Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 38786. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege124d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege124d.x (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a (𝜑𝐴 = (𝐹𝑋))
frege124d.xb (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege124d (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege124d.a . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐹𝑋))
2 frege124d.fun . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
3 frege124d.xb . . . . . . 7 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
41eqcomd 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐴)
5 frege124d.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
6 funbrfvb 6465 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑋) = 𝐴𝑋𝐹𝐴))
72, 5, 6syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑋) = 𝐴𝑋𝐹𝐴))
84, 7mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐹𝐴)
9 funeu 6133 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
102, 8, 9syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11 fvex 6428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑋) ∈ V
121, 11syl6eqel 2904 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
13 sbcan 3687 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎[𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14 sbcbr2g 4913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎𝑋𝐹𝐴 / 𝑎𝑎))
15 csbvarg 4211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → 𝐴 / 𝑎𝑎 = 𝐴)
1615breq2d 4867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹𝐴 / 𝑎𝑎𝑋𝐹𝐴))
1714, 16bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎𝑋𝐹𝐴))
18 sbcng 3685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19 sbcbr1g 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴 / 𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
2015breq1d 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ V → (𝐴 / 𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2119, 20bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2221notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2318, 22bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2417, 23anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎[𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
2513, 24syl5bb 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27 spesbc 3727 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
2826, 27syl6bir 245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
298, 28mpand 678 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30 eupicka 2712 . . . . . . . . 9 ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
3110, 29, 30syl6an 666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32 frege124d.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
33 funrel 6125 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Rel 𝐹)
35 reltrclfv 13988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
3632, 34, 35syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
37 brrelex2 5368 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3836, 3, 37syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
39 brcog 5501 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
405, 38, 39syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
4140notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42 alinexa 1929 . . . . . . . . 9 (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
4341, 42syl6rbbr 281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
4431, 43sylibd 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45 brdif 4908 . . . . . . . 8 (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
4645simplbi2 490 . . . . . . 7 (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
473, 44, 46sylsyld 61 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48 trclfvdecomr 38525 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
4932, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50 uncom 3967 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
5149, 50syl6eq 2867 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52 eqimss 3865 . . . . . . . . 9 ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54 ssundif 4259 . . . . . . . 8 ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
5553, 54sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
5655ssbrd 4898 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵𝑋𝐹𝐵))
5747, 56syld 47 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝑋𝐹𝐵))
58 funbrfv 6461 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹𝑋) = 𝐵))
592, 57, 58sylsyld 61 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹𝑋) = 𝐵))
60 eqcom 2824 . . . 4 ((𝐹𝑋) = 𝐵𝐵 = (𝐹𝑋))
6159, 60syl6ib 242 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = (𝐹𝑋)))
62 eqtr3 2838 . . 3 ((𝐴 = (𝐹𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
631, 61, 62syl6an 666 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))
6463orrd 881 1 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  ∃!weu 2641  Vcvv 3402  [wsbc 3644  csb 3739  cdif 3777  cun 3778  wss 3780   class class class wbr 4855  dom cdm 5322  ccom 5326  Rel wrel 5327  Fun wfun 6102  cfv 6108  t+ctcl 13956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-2 11371  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-fz 12557  df-seq 13032  df-trcl 13958  df-relexp 13991
This theorem is referenced by:  frege126d  38559
  Copyright terms: Public domain W3C validator