MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem4 17237
Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 17243. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem4 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . 3 (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))) = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥)))
2 ovex 7048 . . . 4 (𝑦𝑚 𝑥) ∈ V
3 resiexg 7475 . . . 4 ((𝑦𝑚 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥)) ∈ V)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥)) ∈ V
51, 4fnmpoi 7624 . 2 (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
6 funcsetcestrc.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
76fneq1d 6316 . 2 (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
85, 7mpbiri 259 1 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  {csn 4472  cop 4478  cmpt 5041   I cid 5347   × cxp 5441  cres 5445   Fn wfn 6220  cfv 6225  (class class class)co 7016  cmpo 7018  ωcom 7436  𝑚 cmap 8256  WUnicwun 9968  ndxcnx 16309  Basecbs 16312  SetCatcsetc 17164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17243
  Copyright terms: Public domain W3C validator