Theorem funcsetcestrclem4 18122

Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 18128. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem4	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)))
2		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V
3		resiexg 7859	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8019	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	6	fneq1d 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
8	5, 7	mpbiri 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  {csn 4562  ⟨cop 4568   ↦ cmpt 5160   I cid 5519   × cxp 5623   ↾ cres 5627   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  ωcom 7813   ↑_m cmap 8770  WUnicwun 10621  ndxcnx 17161  Basecbs 17177  SetCatcsetc 18040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18128