Theorem funcsetcestrclem4 18081

Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 18087. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem4	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)))
2		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V
3		resiexg 7854	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8014	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	6	fneq1d 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
8	5, 7	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580  ⟨cop 4586   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   × cxp 5622   ↾ cres 5626   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ωcom 7808   ↑_m cmap 8763  WUnicwun 10611  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  SetCatcsetc 17999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18087