Theorem funcsetcestrclem4 18124

Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 18130. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem4	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)))
2		ovex 7400	. . . 4 ⊢ (𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V
3		resiexg 7863	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 8023	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	6	fneq1d 6591	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
8	5, 7	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   × cxp 5629   ↾ cres 5633   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ωcom 7817   ↑_m cmap 8773  WUnicwun 10623  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  SetCatcsetc 18042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18130