Theorem funcsetcestrclem4 17875

Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 17881. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem4	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)))
2		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V
3		resiexg 7761	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ↑m 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) ∈ V
5	1, 4	fnmpoi 7910	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	6	fneq1d 6526	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
8	5, 7	mpbiri 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ωcom 7712   ↑_m cmap 8615  WUnicwun 10456  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  SetCatcsetc 17790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17881