MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem4 18120
Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 18126. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem4 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))) = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥)))
2 ovex 7445 . . . 4 (𝑦m 𝑥) ∈ V
3 resiexg 7909 . . . 4 ((𝑦m 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦m 𝑥)) ∈ V)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ( I ↾ (𝑦m 𝑥)) ∈ V
51, 4fnmpoi 8060 . 2 (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
6 funcsetcestrc.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
76fneq1d 6642 . 2 (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
85, 7mpbiri 258 1 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628  cop 4634  cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674  cres 5678   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  ωcom 7859  m cmap 8826  WUnicwun 10701  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  SetCatcsetc 18035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18126
  Copyright terms: Public domain W3C validator