Theorem embedsetcestrclem 18212

Description: Lemma for embedsetcestrc 18222. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
embedsetcestrclem	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem embedsetcestrclem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrclem3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
7		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem3 18211	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
9	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
10	9	adantrr 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
11	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
12	11	adantrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
13	10, 12	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩}))
14		opex 5446	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V
15		sneqbg 4812	. . . . . 6 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
16	14, 15	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
17		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
18		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
19		opthg 5460	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
20	17, 18, 19	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
21		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
22	20, 21	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧))
23	16, 22	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} → 𝑦 = 𝑧))
24	13, 23	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		dff13 7253	. 2 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
27	8, 25, 26	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  {csn 4594  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  ωcom 7861  WUnicwun 10684  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  SetCatcsetc 18131  ExtStrCatcestrc 18177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-wun 10686  df-ni 10856  df-pli 10857  df-mi 10858  df-lti 10859  df-plpq 10892  df-mpq 10893  df-ltpq 10894  df-enq 10895  df-nq 10896  df-erq 10897  df-plq 10898  df-mq 10899  df-1nq 10900  df-rq 10901  df-ltnq 10902  df-np 10965  df-plp 10967  df-ltp 10969  df-enr 11039  df-nr 11040  df-c 11105  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-setc 18132  df-estrc 18178

This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18222