Theorem embedsetcestrclem 18139

Description: Lemma for embedsetcestrc 18149. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
embedsetcestrclem	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem embedsetcestrclem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrclem3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
7		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem3 18138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
9	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
10	9	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
11	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
12	11	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
13	10, 12	eqeq12d 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩}))
14		opex 5460	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V
15		sneqbg 4840	. . . . . 6 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
17		fvexd 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
19		opthg 5473	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
20	17, 18, 19	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
22	20, 21	biimtrdi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧))
23	16, 22	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} → 𝑦 = 𝑧))
24	13, 23	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	ralrimivva 3195	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		dff13 7259	. 2 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
27	8, 25, 26	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  Vcvv 3469  {csn 4624  ⟨cop 4630   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6538  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  ωcom 7864  WUnicwun 10715  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  SetCatcsetc 18055  ExtStrCatcestrc 18103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wun 10717  df-ni 10887  df-pli 10888  df-mi 10889  df-lti 10890  df-plpq 10923  df-mpq 10924  df-ltpq 10925  df-enq 10926  df-nq 10927  df-erq 10928  df-plq 10929  df-mq 10930  df-1nq 10931  df-rq 10932  df-ltnq 10933  df-np 10996  df-plp 10998  df-ltp 11000  df-enr 11070  df-nr 11071  df-c 11136  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-hom 17248  df-cco 17249  df-setc 18056  df-estrc 18104

This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18149