Theorem embedsetcestrclem 18189

Description: Lemma for embedsetcestrc 18199. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
embedsetcestrclem	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem embedsetcestrclem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrclem3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
7		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem3 18188	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
9	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
10	9	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
11	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
12	11	adantrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
13	10, 12	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩}))
14		opex 5431	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V
15		sneqbg 4801	. . . . . 6 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
17		fvexd 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
18		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
19		opthg 5445	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
20	17, 18, 19	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
21		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
22	20, 21	biimtrdi 255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧))
23	16, 22	sylbid 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} → 𝑦 = 𝑧))
24	13, 23	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		dff13 7238	. 2 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
27	8, 25, 26	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454  {csn 4582  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  ωcom 7846  WUnicwun 10658  ndxcnx 17229  Basecbs 17245  SetCatcsetc 18108  ExtStrCatcestrc 18154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-wun 10660  df-ni 10830  df-pli 10831  df-mi 10832  df-lti 10833  df-plpq 10866  df-mpq 10867  df-ltpq 10868  df-enq 10869  df-nq 10870  df-erq 10871  df-plq 10872  df-mq 10873  df-1nq 10874  df-rq 10875  df-ltnq 10876  df-np 10939  df-plp 10941  df-ltp 10943  df-enr 11013  df-nr 11014  df-c 11079  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-hom 17310  df-cco 17311  df-setc 18109  df-estrc 18155

This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18199