Theorem embedsetcestrclem 18071

Description: Lemma for embedsetcestrc 18081. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
embedsetcestrclem	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem embedsetcestrclem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrclem3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
7		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem3 18070	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
9	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
10	9	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑦) = {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩})
11	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
12	11	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑧) = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩})
13	10, 12	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩}))
14		opex 5409	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V
15		sneqbg 4796	. . . . . 6 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ ∈ V → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} ↔ ⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩))
17		fvexd 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
19		opthg 5422	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
22	20, 21	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧))
23	16, 22	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ({⟨(Base‘ndx), 𝑦⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑧⟩} → 𝑦 = 𝑧))
24	13, 23	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
25	24	ralrimivva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26		dff13 7197	. 2 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∀𝑧 ∈ 𝐶 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
27	8, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437  {csn 4577  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6485  –1-1→wf1 6486  ‘cfv 6489  ωcom 7805  WUnicwun 10602  ndxcnx 17111  Basecbs 17127  SetCatcsetc 17990  ExtStrCatcestrc 18036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-ec 8633  df-qs 8637  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-wun 10604  df-ni 10774  df-pli 10775  df-mi 10776  df-lti 10777  df-plpq 10810  df-mpq 10811  df-ltpq 10812  df-enq 10813  df-nq 10814  df-erq 10815  df-plq 10816  df-mq 10817  df-1nq 10818  df-rq 10819  df-ltnq 10820  df-np 10883  df-plp 10885  df-ltp 10887  df-enr 10957  df-nr 10958  df-c 11023  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-setc 17991  df-estrc 18037

This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18081