MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem5 18052
Description: Lemma 5 for funcsetcestrc 18057. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem5
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
21adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
3 oveq12 7367 . . . . 5 ((𝑦 = π‘Œ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝑦 ↑m π‘₯) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
43ancoms 460 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (𝑦 ↑m π‘₯) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
54reseq2d 5938 . . 3 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯)) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
65adantl 483 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯)) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
7 simprl 770 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
8 simprr 772 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
9 ovexd 7393 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∈ V)
109resiexd 7167 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)) ∈ V)
112, 6, 7, 8, 10ovmpod 7508 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Ο‰com 7803   ↑m cmap 8768  WUnicwun 10641  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  SetCatcsetc 17966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363
This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem6  18053  funcsetcestrclem7  18054  funcsetcestrclem8  18055  funcsetcestrclem9  18056
  Copyright terms: Public domain W3C validator