Theorem funcsetcestrclem5 18215

Description: Lemma 5 for funcsetcestrc 18220. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
3		oveq12 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑌 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑌 ↑m 𝑋))
4	3	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑌 ↑m 𝑋))
5	4	reseq2d 6000	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
7		simprl 771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
8		simprr 773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ∈ V)
10	9	resiexd 7236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)) ∈ V)
11	2, 6, 7, 8, 10	ovmpod 7585	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ωcom 7887   ↑_m cmap 8865  WUnicwun 10738  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  SetCatcsetc 18129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem6  18216  funcsetcestrclem7  18217  funcsetcestrclem8  18218  funcsetcestrclem9  18219