MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem5 18141
Description: Lemma 5 for funcsetcestrc 18146. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem5
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
21adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
3 oveq12 7423 . . . . 5 ((𝑦 = π‘Œ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝑦 ↑m π‘₯) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
43ancoms 458 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (𝑦 ↑m π‘₯) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
54reseq2d 5979 . . 3 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯)) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
65adantl 481 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯)) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
7 simprl 770 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
8 simprr 772 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
9 ovexd 7449 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∈ V)
109resiexd 7222 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)) ∈ V)
112, 6, 7, 8, 10ovmpod 7567 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Ο‰com 7864   ↑m cmap 8836  WUnicwun 10715  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  SetCatcsetc 18055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419
This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem6  18142  funcsetcestrclem7  18143  funcsetcestrclem8  18144  funcsetcestrclem9  18145
  Copyright terms: Public domain W3C validator