Theorem funcsetcestrclem5 18313

Description: Lemma 5 for funcsetcestrc 18318. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
3		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑌 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑌 ↑m 𝑋))
4	3	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑌 ↑m 𝑋))
5	4	reseq2d 5970	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥)) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
7		simprl 783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
8		simprr 785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9		ovexd 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ∈ V)
10	9	resiexd 7214	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)) ∈ V)
11	2, 6, 7, 8, 10	ovmpod 7564	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ωcom 7866   ↑_m cmap 8831  WUnicwun 10766  ndxcnx 17351  Basecbs 17367  SetCatcsetc 18230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417

This theorem is used by:  funcsetcestrclem6  18314  funcsetcestrclem7  18315  funcsetcestrclem8  18316  funcsetcestrclem9  18317