Theorem funcsetcestrc 18154

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only, preserving the morphisms as mappings between the corresponding base sets. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		eqid 2725	. 2 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4		eqid 2725	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5		eqid 2725	. 2 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
6		eqid 2725	. 2 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
7		eqid 2725	. 2 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
8		eqid 2725	. 2 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
9		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
10		funcsetcestrc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11	10	setccat 18073	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑆 ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
13		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
14	13	estrccat 18122	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝐸 ∈ Cat)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
17		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
18	10, 1, 16, 9, 17, 13, 2	funcsetcestrclem3 18146	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶(Base‘𝐸))
19		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
20	10, 1, 16, 9, 17, 19	funcsetcestrclem4 18148	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
21	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem8 18152	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
22	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem7 18151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎𝐺𝑎)‘((Id‘𝑆)‘𝑎)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑎)))
23	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem9 18153	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏(Hom ‘𝑆)𝑐))) → ((𝑎𝐺𝑐)‘(𝑘(⟨𝑎, 𝑏⟩(comp‘𝑆)𝑐)ℎ)) = (((𝑏𝐺𝑐)‘𝑘)(⟨(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑐))((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 20, 21, 22, 23	isfuncd 17850	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5574   ↾ cres 5679  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  ωcom 7869   ↑_m cmap 8843  WUnicwun 10723  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  Hom chom 17243  compcco 17244  Catccat 17643  Idccid 17644   Func cfunc 17839  SetCatcsetc 18063  ExtStrCatcestrc 18111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-wun 10725  df-ni 10895  df-pli 10896  df-mi 10897  df-lti 10898  df-plpq 10931  df-mpq 10932  df-ltpq 10933  df-enq 10934  df-nq 10935  df-erq 10936  df-plq 10937  df-mq 10938  df-1nq 10939  df-rq 10940  df-ltnq 10941  df-np 11004  df-plp 11006  df-ltp 11008  df-enr 11078  df-nr 11079  df-c 11144  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-cat 17647  df-cid 17648  df-func 17843  df-setc 18064  df-estrc 18112

This theorem is referenced by:  fthsetcestrc  18155  fullsetcestrc  18156