Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrc 17485
 Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only, preserving the morphisms as mappings between the corresponding base sets. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrc (𝜑𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑆)
2 eqid 2758 . 2 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3 eqid 2758 . 2 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4 eqid 2758 . 2 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5 eqid 2758 . 2 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
6 eqid 2758 . 2 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
7 eqid 2758 . 2 (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
8 eqid 2758 . 2 (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
9 funcsetcestrc.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
10 funcsetcestrc.s . . . 4 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
1110setccat 17416 . . 3 (𝑈 ∈ WUni → 𝑆 ∈ Cat)
129, 11syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Cat)
13 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
1413estrccat 17454 . . 3 (𝑈 ∈ WUni → 𝐸 ∈ Cat)
159, 14syl 17 . 2 (𝜑𝐸 ∈ Cat)
16 funcsetcestrc.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
17 funcsetcestrc.o . . 3 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
1810, 1, 16, 9, 17, 13, 2funcsetcestrclem3 17477 . 2 (𝜑𝐹:𝐶⟶(Base‘𝐸))
19 funcsetcestrc.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
2010, 1, 16, 9, 17, 19funcsetcestrclem4 17479 . 2 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
2110, 1, 16, 9, 17, 19, 13funcsetcestrclem8 17483 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏)))
2210, 1, 16, 9, 17, 19, 13funcsetcestrclem7 17482 . 2 ((𝜑𝑎𝐶) → ((𝑎𝐺𝑎)‘((Id‘𝑆)‘𝑎)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑎)))
2310, 1, 16, 9, 17, 19, 13funcsetcestrclem9 17484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶𝑐𝐶) ∧ ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏(Hom ‘𝑆)𝑐))) → ((𝑎𝐺𝑐)‘(𝑘(⟨𝑎, 𝑏⟩(comp‘𝑆)𝑐))) = (((𝑏𝐺𝑐)‘𝑘)(⟨(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑐))((𝑎𝐺𝑏)‘)))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 20, 21, 22, 23isfuncd 17199 1 (𝜑𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115   I cid 5432   ↾ cres 5529  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  ωcom 7584   ↑m cmap 8421  WUnicwun 10165  ndxcnx 16543  Basecbs 16546  Hom chom 16639  compcco 16640  Catccat 16998  Idccid 16999   Func cfunc 17188  SetCatcsetc 17406  ExtStrCatcestrc 17443 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-wun 10167  df-ni 10337  df-pli 10338  df-mi 10339  df-lti 10340  df-plpq 10373  df-mpq 10374  df-ltpq 10375  df-enq 10376  df-nq 10377  df-erq 10378  df-plq 10379  df-mq 10380  df-1nq 10381  df-rq 10382  df-ltnq 10383  df-np 10446  df-plp 10448  df-ltp 10450  df-enr 10520  df-nr 10521  df-c 10586  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-hom 16652  df-cco 16653  df-cat 17002  df-cid 17003  df-func 17192  df-setc 17407  df-estrc 17444 This theorem is referenced by:  fthsetcestrc  17486  fullsetcestrc  17487
 Copyright terms: Public domain W3C validator