Theorem funcsetcestrc 18209

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only, preserving the morphisms as mappings between the corresponding base sets. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
7		eqid 2737	. 2 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
8		eqid 2737	. 2 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
9		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
10		funcsetcestrc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11	10	setccat 18130	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑆 ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
13		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
14	13	estrccat 18177	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝐸 ∈ Cat)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
17		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
18	10, 1, 16, 9, 17, 13, 2	funcsetcestrclem3 18201	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶(Base‘𝐸))
19		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
20	10, 1, 16, 9, 17, 19	funcsetcestrclem4 18203	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
21	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem8 18207	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
22	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem7 18206	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎𝐺𝑎)‘((Id‘𝑆)‘𝑎)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑎)))
23	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem9 18208	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏(Hom ‘𝑆)𝑐))) → ((𝑎𝐺𝑐)‘(𝑘(⟨𝑎, 𝑏⟩(comp‘𝑆)𝑐)ℎ)) = (((𝑏𝐺𝑐)‘𝑘)(⟨(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑐))((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 20, 21, 22, 23	isfuncd 17910	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ωcom 7887   ↑_m cmap 8866  WUnicwun 10740  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  Hom chom 17308  compcco 17309  Catccat 17707  Idccid 17708   Func cfunc 17899  SetCatcsetc 18120  ExtStrCatcestrc 18166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-wun 10742  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-plp 11023  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-c 11161  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-hom 17321  df-cco 17322  df-cat 17711  df-cid 17712  df-func 17903  df-setc 18121  df-estrc 18167

This theorem is referenced by:  fthsetcestrc  18210  fullsetcestrc  18211