Theorem funcsetcestrc 18258

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only, preserving the morphisms as mappings between the corresponding base sets. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5		eqid 2762	. 2 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
6		eqid 2762	. 2 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
7		eqid 2762	. 2 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
8		eqid 2762	. 2 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
9		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
10		funcsetcestrc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11	10	setccat 18180	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑆 ∈ Cat)
12	9, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
13		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
14	13	estrccat 18227	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝐸 ∈ Cat)
15	9, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
17		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
18	10, 1, 16, 9, 17, 13, 2	funcsetcestrclem3 18250	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶(Base‘𝐸))
19		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
20	10, 1, 16, 9, 17, 19	funcsetcestrclem4 18252	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
21	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem8 18256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
22	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem7 18255	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎𝐺𝑎)‘((Id‘𝑆)‘𝑎)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑎)))
23	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem9 18257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏(Hom ‘𝑆)𝑐))) → ((𝑎𝐺𝑐)‘(𝑘(⟨𝑎, 𝑏⟩(comp‘𝑆)𝑐)ℎ)) = (((𝑏𝐺𝑐)‘𝑘)(⟨(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑐))((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 20, 21, 22, 23	isfuncd 17960	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  ωcom 7866   ↑_m cmap 8830  WUnicwun 10713  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  Hom chom 17359  compcco 17360  Catccat 17758  Idccid 17759   Func cfunc 17949  SetCatcsetc 18170  ExtStrCatcestrc 18216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-wun 10715  df-ni 10885  df-pli 10886  df-mi 10887  df-lti 10888  df-plpq 10921  df-mpq 10922  df-ltpq 10923  df-enq 10924  df-nq 10925  df-erq 10926  df-plq 10927  df-mq 10928  df-1nq 10929  df-rq 10930  df-ltnq 10931  df-np 10994  df-plp 10996  df-ltp 10998  df-enr 11068  df-nr 11069  df-c 11134  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-cat 17762  df-cid 17763  df-func 17953  df-setc 18171  df-estrc 18217

This theorem is used by:  fthsetcestrc  18259  fullsetcestrc  18260