Theorem funcsetcestrc 18116

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only, preserving the morphisms as mappings between the corresponding base sets. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4		eqid 2733	. 2 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5		eqid 2733	. 2 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
6		eqid 2733	. 2 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
7		eqid 2733	. 2 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
8		eqid 2733	. 2 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
9		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
10		funcsetcestrc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11	10	setccat 18035	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑆 ∈ Cat)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
13		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
14	13	estrccat 18084	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝐸 ∈ Cat)
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
16		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
17		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
18	10, 1, 16, 9, 17, 13, 2	funcsetcestrclem3 18108	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶(Base‘𝐸))
19		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
20	10, 1, 16, 9, 17, 19	funcsetcestrclem4 18110	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
21	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem8 18114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
22	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem7 18113	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎𝐺𝑎)‘((Id‘𝑆)‘𝑎)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑎)))
23	10, 1, 16, 9, 17, 19, 13	funcsetcestrclem9 18115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏(Hom ‘𝑆)𝑐))) → ((𝑎𝐺𝑐)‘(𝑘(⟨𝑎, 𝑏⟩(comp‘𝑆)𝑐)ℎ)) = (((𝑏𝐺𝑐)‘𝑘)(⟨(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑐))((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 20, 21, 22, 23	isfuncd 17815	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ωcom 7855   ↑_m cmap 8820  WUnicwun 10695  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609   Func cfunc 17804  SetCatcsetc 18025  ExtStrCatcestrc 18073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-wun 10697  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976  df-plp 10978  df-ltp 10980  df-enr 11050  df-nr 11051  df-c 11116  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-cat 17612  df-cid 17613  df-func 17808  df-setc 18026  df-estrc 18074

This theorem is referenced by:  fthsetcestrc  18117  fullsetcestrc  18118