Theorem funsneqopb 7156

Description: A singleton of an ordered pair is an ordered pair iff the components are equal. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.) (Avoid depending on this detail.)

Hypotheses

Ref	Expression
funsndifnop.a	⊢ 𝐴 ∈ V
funsndifnop.b	⊢ 𝐵 ∈ V
funsndifnop.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
funsneqopb	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem funsneqopb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsndifnop.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		opeq1 4833	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐵, 𝐵⟩)
3	2	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
4		funsndifnop.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	snopeqopsnid 5481	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐵, 𝐵⟩} = ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩
6	3, 5	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩)
7	1, 6	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐺 = ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩)
8		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
9	8, 8	opelvv 5691	. . 3 ⊢ ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩ ∈ (V × V)
10	7, 9	eqeltrdi 2869	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐺 ∈ (V × V))
11		funsndifnop.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
12	11, 4, 1	funsndifnop 7155	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
13	12	necon4ai 2987	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → 𝐴 = 𝐵)
14	10, 13	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐺 ∈ (V × V))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is used by: (None)