Theorem funsneqopb 7124

Description: A singleton of an ordered pair is an ordered pair iff the components are equal. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.) (Avoid depending on this detail.)

Hypotheses

Ref	Expression
funsndifnop.a	⊢ 𝐴 ∈ V
funsndifnop.b	⊢ 𝐵 ∈ V
funsndifnop.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
funsneqopb	⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem funsneqopb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsndifnop.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		opeq1 4837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐵, 𝐵⟩)
3	2	sneqd 4601	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
4		funsndifnop.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	snopeqopsnid 5469	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐵, 𝐵⟩} = ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩
6	3, 5	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩)
7	1, 6	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐺 = ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩)
8		snex 5391	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
9	8, 8	opelvv 5678	. . 3 ⊢ ⟨{𝐵}, {𝐵}⟩ ∈ (V × V)
10	7, 9	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐺 ∈ (V × V))
11		funsndifnop.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
12	11, 4, 1	funsndifnop 7123	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
13	12	necon4ai 2956	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → 𝐴 = 𝐵)
14	10, 13	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519

This theorem is referenced by: (None)