| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elvv 5760 | . . 3
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) ↔
∃𝑥∃𝑦 𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉) | 
| 2 |  | funsndifnop.g | . . . . . 6
⊢ 𝐺 = {〈𝐴, 𝐵〉} | 
| 3 |  | funsndifnop.a | . . . . . . . 8
⊢ 𝐴 ∈ V | 
| 4 |  | funsndifnop.b | . . . . . . . 8
⊢ 𝐵 ∈ V | 
| 5 | 3, 4 | funsn 6619 | . . . . . . 7
⊢ Fun
{〈𝐴, 𝐵〉} | 
| 6 |  | funeq 6586 | . . . . . . 7
⊢ (𝐺 = {〈𝐴, 𝐵〉} → (Fun 𝐺 ↔ Fun {〈𝐴, 𝐵〉})) | 
| 7 | 5, 6 | mpbiri 258 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 = {〈𝐴, 𝐵〉} → Fun 𝐺) | 
| 8 | 2, 7 | ax-mp 5 | . . . . 5
⊢ Fun 𝐺 | 
| 9 |  | funeq 6586 | . . . . . . 7
⊢ (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (Fun 𝐺 ↔ Fun 〈𝑥, 𝑦〉)) | 
| 10 |  | vex 3484 | . . . . . . . 8
⊢ 𝑥 ∈ V | 
| 11 |  | vex 3484 | . . . . . . . 8
⊢ 𝑦 ∈ V | 
| 12 | 10, 11 | funop 7169 | . . . . . . 7
⊢ (Fun
〈𝑥, 𝑦〉 ↔ ∃𝑎(𝑥 = {𝑎} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉})) | 
| 13 | 9, 12 | bitrdi 287 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (Fun 𝐺 ↔ ∃𝑎(𝑥 = {𝑎} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉}))) | 
| 14 |  | eqeq2 2749 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉} → (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 𝐺 = {〈𝑎, 𝑎〉})) | 
| 15 |  | eqeq1 2741 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐺 = {〈𝐴, 𝐵〉} → (𝐺 = {〈𝑎, 𝑎〉} ↔ {〈𝐴, 𝐵〉} = {〈𝑎, 𝑎〉})) | 
| 16 |  | opex 5469 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
〈𝐴, 𝐵〉 ∈ V | 
| 17 | 16 | sneqr 4840 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
({〈𝐴, 𝐵〉} = {〈𝑎, 𝑎〉} → 〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑎, 𝑎〉) | 
| 18 | 3, 4 | opth 5481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑎, 𝑎〉 ↔ (𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑎)) | 
| 19 |  | eqtr3 2763 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑎) → 𝐴 = 𝐵) | 
| 20 | 19 | a1d 25 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 = 𝑎 ∧ 𝐵 = 𝑎) → (𝑥 = {𝑎} → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 21 | 18, 20 | sylbi 217 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑎, 𝑎〉 → (𝑥 = {𝑎} → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 22 | 17, 21 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
({〈𝐴, 𝐵〉} = {〈𝑎, 𝑎〉} → (𝑥 = {𝑎} → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 23 | 15, 22 | biimtrdi 253 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐺 = {〈𝐴, 𝐵〉} → (𝐺 = {〈𝑎, 𝑎〉} → (𝑥 = {𝑎} → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 24 | 2, 23 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐺 = {〈𝑎, 𝑎〉} → (𝑥 = {𝑎} → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 25 | 14, 24 | biimtrdi 253 | . . . . . . . . . 10
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉} → (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑥 = {𝑎} → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 26 | 25 | com23 86 | . . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉} → (𝑥 = {𝑎} → (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 27 | 26 | impcom 407 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 = {𝑎} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉}) → (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 28 | 27 | exlimiv 1930 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑎(𝑥 = {𝑎} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉}) → (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 29 | 28 | com12 32 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (∃𝑎(𝑥 = {𝑎} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = {〈𝑎, 𝑎〉}) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 30 | 13, 29 | sylbid 240 | . . . . 5
⊢ (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (Fun 𝐺 → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 31 | 8, 30 | mpi 20 | . . . 4
⊢ (𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝐴 = 𝐵) | 
| 32 | 31 | exlimivv 1932 | . . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦 𝐺 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝐴 = 𝐵) | 
| 33 | 1, 32 | sylbi 217 | . 2
⊢ (𝐺 ∈ (V × V) →
𝐴 = 𝐵) | 
| 34 | 33 | necon3ai 2965 | 1
⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)) |