MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmpreima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmhmpreima 20896
Description: The inverse image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x 𝑋 = (LSubSpβ€˜π‘†)
lmhmima.y π‘Œ = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmhmpreima ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ 𝑋)
Proof of Theorem lmhmpreima
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 20879 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2 lmhmlmod2 20880 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 lmhmima.y . . . . 5 π‘Œ = (LSubSpβ€˜π‘‡)
43lsssubg 20804 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
52, 4sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
6 ghmpreima 19163 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
71, 5, 6syl2an2r 682 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
8 lmhmlmod1 20881 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
98ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
10 simprl 768 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
11 cnvimass 6074 . . . . . . . 8 (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† dom 𝐹
12 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
13 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
1412, 13lmhmf 20882 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
1611, 15fssdm 6731 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
1716sselda 3977 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1817adantrl 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
20 eqid 2726 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
21 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
2212, 19, 20, 21lmodvscl 20724 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
239, 10, 18, 22syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
24 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
25 eqid 2726 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
2619, 21, 12, 20, 25lmhmlin 20883 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)))
2724, 10, 18, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)))
282ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
29 simplr 766 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ π‘Œ)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
3119, 30lmhmsca 20878 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
3332fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
3433eleq2d 2813 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
3534biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
3635adantrr 714 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
3715ffund 6715 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ Fun 𝐹)
38 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
39 fvimacnvi 7047 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
4037, 38, 39syl2an2r 682 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
41 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
4230, 25, 41, 3lssvscl 20802 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ π‘ˆ)
4328, 29, 36, 40, 42syl22anc 836 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘)) ∈ π‘ˆ)
4427, 43eqeltrd 2827 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏)) ∈ π‘ˆ)
45 ffn 6711 . . . . . 6 (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†))
46 elpreima 7053 . . . . . 6 (𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘†) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏)) ∈ π‘ˆ)))
4715, 45, 463syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏)) ∈ π‘ˆ)))
4847adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏)) ∈ π‘ˆ)))
4923, 44, 48mpbir2and 710 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
5049ralrimivva 3194 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))βˆ€π‘ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))
518adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
52 lmhmima.x . . . 4 𝑋 = (LSubSpβ€˜π‘†)
5319, 21, 12, 20, 52islss4 20809 . . 3 (𝑆 ∈ LMod β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ 𝑋 ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))βˆ€π‘ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
5451, 53syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ 𝑋 ↔ ((◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))βˆ€π‘ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑏) ∈ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
557, 50, 54mpbir2and 710 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘ˆ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  SubGrpcsubg 19047   GrpHom cghm 19138  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778   LMHom clmhm 20867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870
This theorem is referenced by:  lmhmlsp  20897  lmhmkerlss  20899  lnmepi  42410
  Copyright terms: Public domain W3C validator