Theorem itg2val 25783

Description: Value of the integral on nonnegative real functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itg2val.1	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}

Assertion

Ref	Expression
itg2val	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup(𝐿, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem itg2val

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13203	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	supex 9532	. 2 ⊢ sup(𝐿, ℝ*, < ) ∈ V
3		reex 11275	. 2 ⊢ ℝ ∈ V
4		ovex 7481	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
5		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹))
6	5	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))))
7	6	rexbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))))
8	7	abbidv 2811	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))})
9		itg2val.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
10	8, 9	eqtr4di 2798	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = 𝐿)
11	10	supeq1d 9515	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) = sup(𝐿, ℝ*, < ))
12		df-itg2 25675	. 2 ⊢ ∫2 = (𝑓 ∈ ((0[,]+∞) ↑m ℝ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
13	2, 3, 4, 11, 12	fvmptmap 8939	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup(𝐿, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  {cab 2717  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_r cofr 7713  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410  ∫₁citg1 25669  ∫₂citg2 25670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-itg2 25675

This theorem is referenced by:  itg2cl  25787  itg2ub  25788  itg2leub  25789  itg2addnclem  37631