Theorem itg2val 25770

Description: Value of the integral on nonnegative real functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itg2val.1	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}

Assertion

Ref	Expression
itg2val	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup(𝐿, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem itg2val

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13140	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	supex 9407	. 2 ⊢ sup(𝐿, ℝ*, < ) ∈ V
3		reex 11161	. 2 ⊢ ℝ ∈ V
4		ovex 7425	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
5		breq2 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹))
6	5	anbi1d 640	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))))
7	6	rexbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))))
8	7	abbidv 2827	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))})
9		itg2val.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
10	8, 9	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = 𝐿)
11	10	supeq1d 9389	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) = sup(𝐿, ℝ*, < ))
12		df-itg2 25663	. 2 ⊢ ∫2 = (𝑓 ∈ ((0[,]+∞) ↑m ℝ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
13	2, 3, 4, 11, 12	fvmptmap 8859	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup(𝐿, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  {cab 2739  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_r cofr 7655  supcsup 9383  ℝcr 11069  0cc0 11070  +∞cpnf 11210  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  [,]cicc 13349  ∫₁citg1 25657  ∫₂citg2 25658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-itg2 25663

This theorem is referenced by:  itg2cl  25774  itg2ub  25775  itg2leub  25776  itg2addnclem  38134