Theorem itg2val 25924

Description: Value of the integral on nonnegative real functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itg2val.1	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}

Assertion

Ref	Expression
itg2val	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup(𝐿, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑔,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥, 𝑔)

Proof of Theorem itg2val

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13184	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	supex 9434	. 2 ⊢ sup(𝐿, ℝ*, < ) ∈ V
3		reex 11209	. 2 ⊢ ℝ ∈ V
4		ovex 7456	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
5		breq2 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹))
6	5	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))))
7	6	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))))
8	7	abbidv 2832	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))})
9		itg2val.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}
10	8, 9	eqtr4di 2819	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))} = 𝐿)
11	10	supeq1d 9416	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ) = sup(𝐿, ℝ*, < ))
12		df-itg2 25817	. 2 ⊢ ∫2 = (𝑓 ∈ ((0[,]+∞) ↑m ℝ) ↦ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝑓 ∧ 𝑥 = (∫1‘𝑔))}, ℝ*, < ))
13	2, 3, 4, 11, 12	fvmptmap 8888	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) = sup(𝐿, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  {cab 2744  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_r cofr 7686  supcsup 9410  ℝcr 11117  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  [,]cicc 13393  ∫₁citg1 25811  ∫₂citg2 25812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-itg2 25817

This theorem is used by:  itg2cl  25928  itg2ub  25929  itg2leub  25930  itg2addnclem  38363