Theorem elmapresaun 8830

Description: fresaun 6713 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapresaun	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m (𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem elmapresaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8798	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐶)
2		elmapi 8798	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
3		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)))
4		fresaun 6713	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
6		elmapex 8797	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
7	6	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
9	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
10		elmapex 8797	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11	10	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
12		unexg 7698	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
13	9, 11, 12	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
14	13	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
15	8, 14	elmapd 8789	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m (𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶))
16	5, 15	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777

This theorem is referenced by:  satfv1lem  35575  diophin  43123  eldioph4b  43162  diophren  43164