Theorem elmapresaun 8818

Description: fresaun 6705 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapresaun	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m (𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem elmapresaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8786	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐶)
2		elmapi 8786	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
3		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)))
4		fresaun 6705	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
6		elmapex 8785	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
7	6	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
9	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
10		elmapex 8785	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11	10	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
12		unexg 7688	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
14	13	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
15	8, 14	elmapd 8777	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m (𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶))
16	5, 15	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765

This theorem is referenced by:  satfv1lem  35556  diophin  43010  eldioph4b  43049  diophren  43051