Theorem elmap 8821

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	⊢ 𝐴 ∈ V
elmap.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elmap	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elmap.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		elmapg 8788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777

This theorem is referenced by:  mapval2  8822  fvmptmap  8831  mapsnconst  8842  mapsncnv  8843  xpmapenlem  9084  pwfseqlem3  10583  tskcard  10704  ingru  10738  rpnnen1lem1  12903  rpnnen1lem3  12904  rpnnen1lem4  12905  rpnnen1lem5  12906  facmapnn  14220  prmreclem2  16857  1arith  16867  vdwlem6  16926  vdwlem7  16927  vdwlem8  16928  vdwlem9  16929  vdwlem11  16931  vdwlem13  16933  prmgapprmo  17002  isfunc  17800  isfuncd  17801  idfucl  17817  cofucl  17824  funcres2b  17833  wunfunc  17837  catcfuccl  18054  funcestrcsetclem9  18083  ismgmhm  18633  ismhm  18722  efmnd1bas  18830  smndex1ibas  18837  smndex1gbas  18839  dfrhm2  20422  isabv  20756  pjdm  21674  pjfval2  21676  psrelbas  21902  psraddcl  21906  psraddclOLD  21907  psrmulcllem  21913  psrvscacl  21919  psr0cl  21920  psrnegcl  21922  psr1cl  21928  subrgpsr  21945  mvrf  21952  mplmon  22002  mplcoe1  22004  coe1fval3  22161  00ply1bas  22192  ply1plusgfvi  22194  coe1z  22217  coe1mul2  22223  coe1tm  22227  pnrmopn  23299  distgp  24055  indistgp  24056  ehl1eudis  25388  ehl2eudis  25390  elovolmlem  25443  itg2seq  25711  coeeulem  26197  coeeq  26200  aannenlem1  26304  dvntaylp  26347  taylthlem1  26349  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  pserdvlem2  26406  lgamgulmlem6  27012  sqff1o  27160  isismt  28618  elee  28978  islno  30840  nmooval  30850  ajfval  30896  h2hcau  31066  h2hlm  31067  hcau  31271  hlimadd  31280  hhcms  31290  hlim0  31322  hhsscms  31365  pjmf1  31803  hosmval  31822  hommval  31823  hodmval  31824  hfsmval  31825  hfmmval  31826  elcnop  31944  ellnop  31945  elhmop  31960  hmopex  31962  nlfnval  31968  elcnfn  31969  ellnfn  31970  dmadjss  31974  dmadjop  31975  adjeu  31976  adjval  31977  hhcno  31991  hhcnf  31992  adjbdln  32170  isst  32300  ishst  32301  maprnin  32820  fpwrelmap  32822  fpwrelmapffs  32823  ismnt  33075  mgcval  33079  fply1  33650  psrmon  33725  zarcmplem  34058  eulerpartleme  34540  eulerpartlemt  34548  eulerpartlemr  34551  eulerpartlemmf  34552  eulerpartlemgvv  34553  eulerpartlemgs2  34557  eulerpartlemn  34558  reprinfz1  34799  breprexplemb  34808  breprexpnat  34811  vtsval  34814  circlemethnat  34818  circlemethhgt  34820  ex-sategoelel12  35640  mrsubff  35725  mrsubrn  35726  msubff  35743  poimirlem3  37868  poimirlem4  37869  poimirlem17  37882  poimirlem20  37885  poimirlem24  37889  poimirlem25  37890  poimirlem29  37894  poimirlem30  37895  poimirlem31  37896  poimirlem32  37897  isrngohom  38210  islfl  39430  islpolN  41853  constmap  43064  mzpclall  43078  mzpf  43087  mzpindd  43097  mzpcompact2lem  43102  eldiophb  43108  mendring  43539  clsk1independent  44396  k0004lem3  44499  mnringmulrcld  44578  dvnprodlem3  46300  fourierdlem70  46528  fourierdlem102  46560  fourierdlem114  46572  etransclem35  46621  hoicvrrex  46908  ovnhoilem1  46953  ovnovollem2  47009  nnsum3primes4  48142  nnsum3primesprm  48144  grimfn  48233  isgrim  48236  rrx2xpref1o  49072  rrx2linesl  49097  line2  49106  line2x  49108  line2y  49109  funcf2lem  49434  aacllem  50154