Theorem elmap 8849

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	⊢ 𝐴 ∈ V
elmap.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elmap	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elmap.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		elmapg 8816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⟶wf 6513  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-map 8805

This theorem is referenced by:  mapval2  8850  fvmptmap  8859  mapsnconst  8870  mapsncnv  8871  xpmapenlem  9112  pwfseqlem3  10615  tskcard  10736  ingru  10770  rpnnen1lem1  12976  rpnnen1lem3  12977  rpnnen1lem4  12978  rpnnen1lem5  12979  facmapnn  14295  prmreclem2  16936  1arith  16946  vdwlem6  17005  vdwlem7  17006  vdwlem8  17007  vdwlem9  17008  vdwlem11  17010  vdwlem13  17012  prmgapprmo  17081  isfunc  17880  isfuncd  17881  idfucl  17897  cofucl  17904  funcres2b  17913  wunfunc  17917  catcfuccl  18134  funcestrcsetclem9  18163  ismgmhm  18713  ismhm  18802  efmnd1bas  18910  smndex1ibas  18917  smndex1gbas  18919  smndex1gbasOLD  18920  dfrhm2  20502  isabv  20840  pjdm  21739  pjfval2  21741  psrelbas  21967  psraddcl  21971  psrmulcllem  21977  psrvscacl  21983  psr0cl  21984  psrnegcl  21986  psr1cl  21992  subrgpsr  22009  mvrf  22016  mplmon  22068  mplcoe1  22070  coe1fval3  22250  00ply1bas  22281  ply1plusgfvi  22283  coe1z  22306  coe1mul2  22312  coe1tm  22316  pnrmopn  23383  distgp  24139  indistgp  24140  ehl1eudis  25462  ehl2eudis  25464  elovolmlem  25516  itg2seq  25784  coeeulem  26264  coeeq  26267  aannenlem1  26369  dvntaylp  26411  taylthlem1  26413  taylthlem2  26414  pserdvlem2  26468  lgamgulmlem6  27075  sqff1o  27223  isismt  28680  elee  29040  islno  30902  nmooval  30912  ajfval  30958  h2hcau  31128  h2hlm  31129  hcau  31333  hlimadd  31342  hhcms  31352  hlim0  31384  hhsscms  31427  pjmf1  31865  hosmval  31884  hommval  31885  hodmval  31886  hfsmval  31887  hfmmval  31888  elcnop  32006  ellnop  32007  elhmop  32022  hmopex  32024  nlfnval  32030  elcnfn  32031  ellnfn  32032  dmadjss  32036  dmadjop  32037  adjeu  32038  adjval  32039  hhcno  32053  hhcnf  32054  adjbdln  32232  isst  32362  ishst  32363  maprnin  32883  fpwrelmap  32885  fpwrelmapffs  32886  ismnt  33122  mgcval  33126  fply1  33715  psrmon  33807  zarcmplem  34139  eulerpartleme  34621  eulerpartlemt  34629  eulerpartlemr  34632  eulerpartlemmf  34633  eulerpartlemgvv  34634  eulerpartlemgs2  34638  eulerpartlemn  34639  reprinfz1  34880  breprexplemb  34889  breprexpnat  34892  vtsval  34895  circlemethnat  34899  circlemethhgt  34901  ex-sategoelel12  35741  mrsubff  35826  mrsubrn  35827  msubff  35844  poimirlem3  38086  poimirlem4  38087  poimirlem17  38100  poimirlem20  38103  poimirlem24  38107  poimirlem25  38108  poimirlem29  38112  poimirlem30  38113  poimirlem31  38114  poimirlem32  38115  isrngohom  38428  islfl  39648  islpolN  42071  constmap  43258  mzpclall  43272  mzpf  43281  mzpindd  43291  mzpcompact2lem  43296  eldiophb  43302  mendring  43729  clsk1independent  44586  k0004lem3  44689  mnringmulrcld  44768  dvnprodlem3  46486  fourierdlem70  46714  fourierdlem102  46746  fourierdlem114  46758  etransclem35  46807  hoicvrrex  47094  ovnhoilem1  47139  ovnovollem2  47195  nnsum3primes4  48374  nnsum3primesprm  48376  grimfn  48465  isgrim  48468  rrx2xpref1o  49304  rrx2linesl  49329  line2  49338  line2x  49340  line2y  49341  funcf2lem  49666  aacllem  50386