Theorem map0e 8889

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

Proof of Theorem map0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdm0 8841	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
2		df1o2 8462	. 2 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  {csn 4584  (class class class)co 7413  1_oc1o 8448   ↑_m cmap 8826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1o 8455  df-map 8828

This theorem is used by:  fseqenlem1  10027  infmap2  10219  pwcfsdom  10592  cfpwsdom  10593  mat0dimbas0  22688  mavmul0  22774  mavmul0g  22775  cramer0  22915  poimirlem28  38397  pwslnmlem0  43932  lincval0  49345  lco0  49357  linds0  49395