Theorem map0e 8901

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

Proof of Theorem map0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdm0 8861	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
2		df1o2 8492	. 2 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	eqtr4di 2789	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4313  {csn 4606  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478   ↑_m cmap 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1o 8485  df-map 8847

This theorem is referenced by:  fseqenlem1  10043  infmap2  10236  pwcfsdom  10602  cfpwsdom  10603  mat0dimbas0  22409  mavmul0  22495  mavmul0g  22496  cramer0  22633  poimirlem28  37677  pwslnmlem0  43090  lincval0  48371  lco0  48383  linds0  48421