Theorem map0e 8914

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

Proof of Theorem map0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdm0 8866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
2		df1o2 8487	. 2 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  {csn 4584  (class class class)co 7421  1_oc1o 8473   ↑_m cmap 8851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1o 8480  df-map 8853

This theorem is used by:  fseqenlem1  10107  infmap2  10299  pwcfsdom  10672  cfpwsdom  10673  mat0dimbas0  22787  mavmul0  22873  mavmul0g  22874  cramer0  23014  poimirlem28  38660  pwslnmlem0  44187  lincval0  49621  lco0  49633  linds0  49671