Theorem map0e 8832

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

Proof of Theorem map0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdm0 8791	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = {∅})
2		df1o2 8414	. 2 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  {csn 4582  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1o 8407  df-map 8777

This theorem is referenced by:  fseqenlem1  9946  infmap2  10139  pwcfsdom  10506  cfpwsdom  10507  mat0dimbas0  22422  mavmul0  22508  mavmul0g  22509  cramer0  22646  poimirlem28  37896  pwslnmlem0  43445  lincval0  48772  lco0  48784  linds0  48822