Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptfo 46826
Description: The mapping of binary (endo)functions is a function onto the set of binary operations. (Contributed by AV, 23-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptfo (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)

Proof of Theorem 2arymaptfo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2arymaptf.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
212arymaptf 46824 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
3 elmapi 8790 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
542arympt 46821 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
63, 5sylan2 594 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
7 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝐻𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
87eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
98adantl 483 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
10 elmapfn 8806 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
1110adantl 483 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
12 fnov 7488 . . . . . 6 (𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑓 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
1311, 12sylib 217 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
14 simp1r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
15 fveq1 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0))
16 0ne1 12229 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
17 c0ex 11154 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
18 vex 3448 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
1917, 18fvpr1 7140 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥)
2016, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥
2115, 20eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
22 fveq1 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1))
23 1ex 11156 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
24 vex 3448 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2523, 24fvpr2 7142 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦)
2616, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦
2722, 26eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = 𝑦)
2821, 27oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
2928adantl 483 . . . . . . . 8 (((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
3017, 23pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
31 fprg 7102 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
3230, 16, 31mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
33323adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
34 prssi 4782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
35343adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
3633, 35fssd 6687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋)
37 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑋𝑉)
38 prex 5390 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {0, 1} ∈ V)
4037, 39elmapd 8782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋))
4136, 40mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
42413adant1r 1178 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
43423adant1r 1178 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
44 ovexd 7393 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑓𝑦) ∈ V)
45 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
46 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . 11 𝑎(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
4746nfeq2 2921 . . . . . . . . . 10 𝑎 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
4845, 47nfan 1903 . . . . . . . . 9 𝑎((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
49 nfv 1918 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑥𝑋
50 nfv 1918 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑦𝑋
5148, 49, 50nf3an 1905 . . . . . . . 8 𝑎(((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋)
52 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑎{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
53 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑎(𝑥𝑓𝑦)
5414, 29, 43, 44, 51, 52, 53fvmptdf 6955 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑓𝑦))
5554mpoeq3dva 7435 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
56 mpoexga 8011 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
5756anidms 568 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
5857adantr 482 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
591, 55, 6, 58fvmptd2 6957 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
6013, 59eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
616, 9, 60rspcedvd 3582 . . 3 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → ∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
6261ralrimiva 3140 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
63 dffo3 7053 . 2 (𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔)))
642, 62, 63sylanbrc 584 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3444  wss 3911  {cpr 4589  cop 4593  cmpt 5189   × cxp 5632   Fn wfn 6492  wf 6493  ontowfo 6495  cfv 6497  (class class class)co 7358  cmpo 7360  m cmap 8768  0cc0 11056  1c1 11057  2c2 12213  -aryF cnaryf 46798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-naryf 46799
This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  46827
  Copyright terms: Public domain W3C validator