Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptfo 47620
Description: The mapping of binary (endo)functions is a function onto the set of binary operations. (Contributed by AV, 23-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptfo (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)

Proof of Theorem 2arymaptfo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2arymaptf.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
212arymaptf 47618 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
3 elmapi 8845 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
542arympt 47615 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
63, 5sylan2 592 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
7 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝐻𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
87eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
98adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
10 elmapfn 8861 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
12 fnov 7536 . . . . . 6 (𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑓 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
1311, 12sylib 217 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
14 simp1r 1195 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
15 fveq1 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0))
16 0ne1 12287 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
17 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
18 vex 3472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
1917, 18fvpr1 7187 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥)
2016, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥
2115, 20eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
22 fveq1 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1))
23 1ex 11214 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
24 vex 3472 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2523, 24fvpr2 7189 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦)
2616, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦
2722, 26eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = 𝑦)
2821, 27oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
2928adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
3017, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
31 fprg 7149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
3230, 16, 31mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
33323adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
34 prssi 4819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
35343adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
3633, 35fssd 6729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋)
37 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑋𝑉)
38 prex 5425 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {0, 1} ∈ V)
4037, 39elmapd 8836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋))
4136, 40mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
42413adant1r 1174 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
43423adant1r 1174 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
44 ovexd 7440 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑓𝑦) ∈ V)
45 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
46 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . 11 𝑎(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
4746nfeq2 2914 . . . . . . . . . 10 𝑎 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
4845, 47nfan 1894 . . . . . . . . 9 𝑎((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
49 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑥𝑋
50 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑦𝑋
5148, 49, 50nf3an 1896 . . . . . . . 8 𝑎(((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋)
52 nfcv 2897 . . . . . . . 8 𝑎{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
53 nfcv 2897 . . . . . . . 8 𝑎(𝑥𝑓𝑦)
5414, 29, 43, 44, 51, 52, 53fvmptdf 6998 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑓𝑦))
5554mpoeq3dva 7482 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
56 mpoexga 8063 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
5756anidms 566 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
5857adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
591, 55, 6, 58fvmptd2 7000 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
6013, 59eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
616, 9, 60rspcedvd 3608 . . 3 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → ∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
6261ralrimiva 3140 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
63 dffo3 7097 . 2 (𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔)))
642, 62, 63sylanbrc 582 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468  wss 3943  {cpr 4625  cop 4629  cmpt 5224   × cxp 5667   Fn wfn 6532  wf 6533  ontowfo 6535  cfv 6537  (class class class)co 7405  cmpo 7407  m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  -aryF cnaryf 47592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-naryf 47593
This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  47621
  Copyright terms: Public domain W3C validator