Theorem 2arymaptfo 49240

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function onto the set of binary operations. (Contributed by AV, 23-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 49238	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3		elmapi 8826	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
5	4	2arympt 49235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
7		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
8	7	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
9	8	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
10		elmapfn 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
11	10	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
12		fnov 7523	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
13	11, 12	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
14		simp1r 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
15		fveq1 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0))
16		0ne1 12286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
17		c0ex 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	17, 18	fvpr1 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥)
20	16, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥
21	15, 20	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
22		fveq1 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1))
23		1ex 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
24		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	23, 24	fvpr2 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦)
26	16, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦
27	22, 26	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = 𝑦)
28	21, 27	oveq12d 7410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
29	28	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
30	17, 23	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
31		fprg 7134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
32	30, 16, 31	mp3an13 1472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
33	32	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
34		prssi 4778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
35	34	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
36	33, 35	fssd 6705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋)
37		simp1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38		prex 5394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {0, 1} ∈ V)
40	37, 39	elmapd 8817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋))
41	36, 40	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
42	41	3adant1r 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
43	42	3adant1r 1190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
44		ovexd 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑓𝑦) ∈ V)
45		nfv 1933	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
46		nfmpt1 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
47	46	nfeq2 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
48	45, 47	nfan 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
49		nfv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
50		nfv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑦 ∈ 𝑋
51	48, 49, 50	nf3an 1920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
52		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
53		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥𝑓𝑦)
54	14, 29, 43, 44, 51, 52, 53	fvmptdf 6978	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑓𝑦))
55	54	mpoeq3dva 7469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
56		mpoexga 8054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
57	56	anidms 574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
58	57	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
59	1, 55, 6, 58	fvmptd2 6980	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
60	13, 59	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
61	6, 9, 60	rspcedvd 3583	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → ∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
62	61	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
63		dffo3 7079	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
64	2, 62, 63	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {cpr 4583  ⟨cop 4587   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  –onto→wfo 6515  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394   ↑_m cmap 8803  0cc0 11070  1c1 11071  2c2 12269  -aryF cnaryf 49212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-naryf 49213

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  49241