Theorem 2arymaptfo 48575

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function onto the set of binary operations. (Contributed by AV, 23-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 48573	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3		elmapi 8889	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
5	4	2arympt 48570	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
7		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
8	7	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
10		elmapfn 8905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
12		fnov 7564	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
13	11, 12	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
14		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
15		fveq1 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0))
16		0ne1 12337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
17		c0ex 11255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18		vex 3484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	17, 18	fvpr1 7212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥)
20	16, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥
21	15, 20	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
22		fveq1 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1))
23		1ex 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
24		vex 3484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	23, 24	fvpr2 7213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦)
26	16, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦
27	22, 26	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = 𝑦)
28	21, 27	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
30	17, 23	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
31		fprg 7175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
32	30, 16, 31	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
33	32	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
34		prssi 4821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
35	34	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
36	33, 35	fssd 6753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋)
37		simp1 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38		prex 5437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {0, 1} ∈ V)
40	37, 39	elmapd 8880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋))
41	36, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
42	41	3adant1r 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
43	42	3adant1r 1178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
44		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑓𝑦) ∈ V)
45		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
46		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
47	46	nfeq2 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
48	45, 47	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
49		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
50		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑦 ∈ 𝑋
51	48, 49, 50	nf3an 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
52		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
53		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥𝑓𝑦)
54	14, 29, 43, 44, 51, 52, 53	fvmptdf 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑓𝑦))
55	54	mpoeq3dva 7510	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
56		mpoexga 8102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
57	56	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
59	1, 55, 6, 58	fvmptd2 7024	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
60	13, 59	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
61	6, 9, 60	rspcedvd 3624	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → ∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
62	61	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
63		dffo3 7122	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
64	2, 62, 63	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {cpr 4628  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8866  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  -aryF cnaryf 48547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-naryf 48548

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  48576