Theorem 2arymaptfo 45969

Description: The mapping of binary (endo)functions is a function onto the set of binary operations. (Contributed by AV, 23-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑦,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2arymaptf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
2	1	2arymaptf 45967	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
3		elmapi 8620	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
5	4	2arympt 45964	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
7		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
8	7	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
10		elmapfn 8636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
11	10	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
12		fnov 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
13	11, 12	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
14		simp1r 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
15		fveq1 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0))
16		0ne1 12044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
17		c0ex 10970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18		vex 3435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	17, 18	fvpr1 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥)
20	16, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥
21	15, 20	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
22		fveq1 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1))
23		1ex 10972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
24		vex 3435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	23, 24	fvpr2 7064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦)
26	16, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦
27	22, 26	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = 𝑦)
28	21, 27	oveq12d 7289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
30	17, 23	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
31		fprg 7024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
32	30, 16, 31	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
33	32	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
34		prssi 4760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
35	34	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
36	33, 35	fssd 6616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋)
37		simp1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38		prex 5359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {0, 1} ∈ V)
40	37, 39	elmapd 8612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋))
41	36, 40	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
42	41	3adant1r 1176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
43	42	3adant1r 1176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}))
44		ovexd 7306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑓𝑦) ∈ V)
45		nfv 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))
46		nfmpt1 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
47	46	nfeq2 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
48	45, 47	nfan 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
49		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
50		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑦 ∈ 𝑋
51	48, 49, 50	nf3an 1908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)
52		nfcv 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
53		nfcv 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥𝑓𝑦)
54	14, 29, 43, 44, 51, 52, 53	fvmptdf 6878	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑓𝑦))
55	54	mpoeq3dva 7346	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
56		mpoexga 7911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
57	56	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
58	57	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
59	1, 55, 6, 58	fvmptd2 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
60	13, 59	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
61	6, 9, 60	rspcedvd 3564	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))) → ∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
62	61	ralrimiva 3110	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
63		dffo3 6975	. 2 ⊢ (𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
64	2, 62, 63	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  {cpr 4569  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5162   × cxp 5588   Fn wfn 6427  ⟶wf 6428  –onto→wfo 6430  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273   ↑_m cmap 8598  0cc0 10872  1c1 10873  2c2 12028  -aryF cnaryf 45941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-naryf 45942

This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  45970