Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptfo 48575
Description: The mapping of binary (endo)functions is a function onto the set of binary operations. (Contributed by AV, 23-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptfo (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑦,𝑋   ,𝑉,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)

Proof of Theorem 2arymaptfo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2arymaptf.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
212arymaptf 48573 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
3 elmapi 8889 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
542arympt 48570 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
63, 5sylan2 593 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) ∈ (2-aryF 𝑋))
7 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝐻𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
87eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
98adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))))
10 elmapfn 8905 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋))
12 fnov 7564 . . . . . 6 (𝑓 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑓 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
1311, 12sylib 218 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
14 simp1r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
15 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0))
16 0ne1 12337 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
17 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
18 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
1917, 18fvpr1 7212 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥)
2016, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘0) = 𝑥
2115, 20eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
22 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1))
23 1ex 11257 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
24 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2523, 24fvpr2 7213 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦)
2616, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}‘1) = 𝑦
2722, 26eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → (𝑎‘1) = 𝑦)
2821, 27oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
2928adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) → ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)) = (𝑥𝑓𝑦))
3017, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
31 fprg 7175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
3230, 16, 31mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
33323adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶{𝑥, 𝑦})
34 prssi 4821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
35343adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
3633, 35fssd 6753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋)
37 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑋𝑉)
38 prex 5437 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {0, 1} ∈ V)
4037, 39elmapd 8880 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}:{0, 1}⟶𝑋))
4136, 40mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
42413adant1r 1178 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
43423adant1r 1178 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ (𝑋m {0, 1}))
44 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑓𝑦) ∈ V)
45 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
46 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . 11 𝑎(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
4746nfeq2 2923 . . . . . . . . . 10 𝑎 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))
4845, 47nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑎((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1))))
49 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑥𝑋
50 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑦𝑋
5148, 49, 50nf3an 1901 . . . . . . . 8 𝑎(((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋)
52 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑎{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
53 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑎(𝑥𝑓𝑦)
5414, 29, 43, 44, 51, 52, 53fvmptdf 7022 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑓𝑦))
5554mpoeq3dva 7510 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
56 mpoexga 8102 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
5756anidms 566 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
5857adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)) ∈ V)
591, 55, 6, 58fvmptd2 7024 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝑓𝑦)))
6013, 59eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑎‘0)𝑓(𝑎‘1)))))
616, 9, 60rspcedvd 3624 . . 3 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))) → ∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
6261ralrimiva 3146 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
63 dffo3 7122 . 2 (𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐻:(2-aryF 𝑋)⟶(𝑋m (𝑋 × 𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋m (𝑋 × 𝑋))∃𝑔 ∈ (2-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔)))
642, 62, 63sylanbrc 583 1 (𝑋𝑉𝐻:(2-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m (𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  {cpr 4628  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  -aryF cnaryf 48547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-naryf 48548
This theorem is referenced by:  2arymaptf1o  48576
  Copyright terms: Public domain W3C validator