Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem3 43925
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 43927. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2 ovex 7010 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
31, 2eqeltri 2862 . . 3 𝑍 ∈ V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 43923 . . . 4 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
81zlmodzxzlmod 43767 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
109eqcomd 2784 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑍) = ℤring
1211fveq2i 6504 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13 zringbas 20328 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
1413eqcomi 2787 . . . . . 6 (Base‘ℤring) = ℤ
1512, 14eqtri 2802 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
1615oveq1i 6988 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
177, 16eleqtrri 2865 . . 3 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
18 3z 11831 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
19 6nn 11535 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
2019nnzi 11822 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
211zlmodzxzel 43768 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2218, 20, 21mp2an 679 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23 2z 11830 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 4z 11832 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
251zlmodzxzel 43768 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2623, 24, 25mp2an 679 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
274eleq1i 2856 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
285eleq1i 2856 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2927, 28anbi12i 617 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
3022, 26, 29mpbir2an 698 . . . 4 (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31 prelpwi 5197 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
3230, 31ax-mp 5 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33 lincval 43832 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))))
343, 17, 32, 33mp3an 1440 . 2 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥)))
35 lmodcmn 19407 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
3635adantr 473 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
378, 36ax-mp 5 . . 3 𝑍 ∈ CMnd
38 prex 5190 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
394, 38eqeltri 2862 . . . 4 𝐴 ∈ V
40 prex 5190 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
415, 40eqeltri 2862 . . . 4 𝐵 ∈ V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 43921 . . . 4 𝐴𝐵
4339, 41, 423pm3.2i 1319 . . 3 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)
448simpli 476 . . . . 5 𝑍 ∈ LMod
45 elmapi 8230 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
4639prid1 4573 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47 ffvelrn 6676 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4846, 47mpan2 678 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ ℤ
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ring = (Scalar‘𝑍)
5150eqcomi 2787 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑍) = ℤring
5251fveq2i 6504 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
5352, 14eqtri 2802 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
5449, 53eleqtrri 2865 . . . . 5 (𝐹𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
554, 22eqeltri 2862 . . . . 5 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57 eqid 2778 . . . . . 6 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58 eqid 2778 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
59 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
6056, 57, 58, 59lmodvscl 19376 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
6144, 54, 55, 60mp3an 1440 . . . 4 ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
6241prid2 4574 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63 ffvelrn 6676 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
6462, 63mpan2 678 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹𝐵) ∈ ℤ
6665, 53eleqtrri 2865 . . . . 5 (𝐹𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
675, 26eqeltri 2862 . . . . 5 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 19376 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
6944, 66, 67, 68mp3an 1440 . . . 4 ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
7061, 69pm3.2i 463 . . 3 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71 eqid 2778 . . . 4 (+g𝑍) = (+g𝑍)
72 fveq2 6501 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
73 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
7472, 73oveq12d 6996 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
75 fveq2 6501 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
76 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7775, 76oveq12d 6996 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
7856, 71, 74, 77gsumpr 18831 . . 3 ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))) = (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)))
7937, 43, 70, 78mp3an 1440 . 2 (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))) = (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
806fveq1i 6502 . . . . . 6 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81 2ex 11520 . . . . . . . 8 2 ∈ V
8239, 81fvpr1 6781 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
8480, 83eqtri 2802 . . . . 5 (𝐹𝐴) = 2
8584oveq1i 6988 . . . 4 ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠𝑍)𝐴)
866fveq1i 6502 . . . . . 6 (𝐹𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87 negex 10686 . . . . . . . 8 -3 ∈ V
8841, 87fvpr2 6782 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
9086, 89eqtri 2802 . . . . 5 (𝐹𝐵) = -3
9190oveq1i 6988 . . . 4 ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠𝑍)𝐵)
9285, 91oveq12i 6990 . . 3 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)(-3( ·𝑠𝑍)𝐵))
93 eqid 2778 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
941, 93zlmodzxz0 43769 . . . . 5 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g𝑍)
9594eqcomi 2787 . . . 4 (0g𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 43922 . . 3 ((2( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)(-3( ·𝑠𝑍)𝐵)) = (0g𝑍)
9792, 96eqtri 2802 . 2 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)) = (0g𝑍)
9834, 79, 973eqtri 2806 1 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  Vcvv 3415  𝒫 cpw 4423  {cpr 4444  cop 4448  cmpt 5009  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑚 cmap 8208  0cc0 10337  1c1 10338  -cneg 10673  2c2 11498  3c3 11499  4c4 11500  6c6 11502  cz 11796  Basecbs 16342  +gcplusg 16424  Scalarcsca 16427   ·𝑠 cvsca 16428  0gc0g 16572   Σg cgsu 16573  CMndccmn 18669  LModclmod 19359  ringzring 20322   freeLMod cfrlm 20595   linC clinc 43827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-subrg 19259  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-cnfld 20251  df-zring 20323  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-linc 43829
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  43927
  Copyright terms: Public domain W3C validator