Theorem zlmodzxzldeplem3 49614

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 49616. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 49612	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
8	1	zlmodzxzlmod 49466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
12	11	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13		zringbas 21759	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
15	12, 14	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
16	15	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
17	7, 16	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵})
18		3z 12729	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		6nn 12432	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12720	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
21	1	zlmodzxzel 49467	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	18, 20, 21	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23		2z 12728	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		4z 12730	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
25	1	zlmodzxzel 49467	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
26	23, 24, 25	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
27	4	eleq1i 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
28	5	eleq1i 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
29	27, 28	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
30	22, 26, 29	mpbir2an 724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31		prelpwi 5414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33		lincval 49521	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))))
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1490	. 2 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥)))
35		lmodcmn 21185	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ CMnd
38		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
39	4, 38	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
40		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
41	5, 40	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 49610	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)
44	8	simpli 489	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
45		elmapi 8869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
46	39	prid1 4722	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47		ffvelcdm 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
48	46, 47	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
51	50	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
52	51	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
53	52, 14	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
54	49, 53	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
55	4, 22	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
59		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 21153	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
62	41	prid2 4723	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63		ffvelcdm 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
64	62, 63	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ
66	65, 53	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
67	5, 26	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 21153	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
70	61, 69	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
72		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
73		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
74	72, 73	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
75		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
76		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
77	75, 76	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 20169	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)))
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1490	. 2 ⊢ (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
80	6	fveq1i 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81		2ex 12420	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
82	39, 81	fvpr1 7197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
84	80, 83	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) = 2
85	84	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)
86	6	fveq1i 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87		negex 11555	. . . . . . . 8 ⊢ -3 ∈ V
88	41, 87	fvpr2 7198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
90	86, 89	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) = -3
91	90	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = ( -3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)
92	85, 91	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)( -3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
93		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
94	1, 93	zlmodzxz0 49468	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g‘𝑍)
95	94	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 49611	. . 3 ⊢ ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)( -3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
97	92, 96	eqtri 2783	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
98	34, 79, 97	3eqtri 2787	1 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  0cc0 11200  1c1 11201   -cneg 11542  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  6c6 12401  ℤcz 12693  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  CMndccmn 19994  LModclmod 21135  ℤ_ringczring 21752   freeLMod cfrlm 22052   linC clinc 49516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-linc 49518

This theorem is used by:  zlmodzxzldep  49616