Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem3 47493
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 47495. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3 (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (0gβ€˜π‘)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
2 ovex 7447 . . . 4 (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ V
31, 2eqeltri 2824 . . 3 𝑍 ∈ V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 47491 . . . 4 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})
81zlmodzxzlmod 47341 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)) β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
109eqcomd 2733 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)) β†’ (Scalarβ€˜π‘) = β„€ring)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘) = β„€ring
1211fveq2i 6894 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜β„€ring)
13 zringbas 21366 . . . . . . 7 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
1413eqcomi 2736 . . . . . 6 (Baseβ€˜β„€ring) = β„€
1512, 14eqtri 2755 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = β„€
1615oveq1i 7424 . . . 4 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ↑m {𝐴, 𝐡}) = (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})
177, 16eleqtrri 2827 . . 3 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ↑m {𝐴, 𝐡})
18 3z 12617 . . . . . 6 3 ∈ β„€
19 6nn 12323 . . . . . . 7 6 ∈ β„•
2019nnzi 12608 . . . . . 6 6 ∈ β„€
211zlmodzxzel 47342 . . . . . 6 ((3 ∈ β„€ ∧ 6 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
2218, 20, 21mp2an 691 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)
23 2z 12616 . . . . . 6 2 ∈ β„€
24 4z 12618 . . . . . 6 4 ∈ β„€
251zlmodzxzel 47342 . . . . . 6 ((2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
2623, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)
274eleq1i 2819 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
285eleq1i 2819 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
2927, 28anbi12i 626 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)))
3022, 26, 29mpbir2an 710 . . . 4 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘))
31 prelpwi 5443 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘))
3230, 31ax-mp 5 . . 3 {𝐴, 𝐡} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘)
33 lincval 47400 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ↑m {𝐴, 𝐡}) ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯))))
343, 17, 32, 33mp3an 1458 . 2 (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯)))
35 lmodcmn 20782 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ CMnd)
3635adantr 480 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)) β†’ 𝑍 ∈ CMnd)
378, 36ax-mp 5 . . 3 𝑍 ∈ CMnd
38 prex 5428 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
394, 38eqeltri 2824 . . . 4 𝐴 ∈ V
40 prex 5428 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
415, 40eqeltri 2824 . . . 4 𝐡 ∈ V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 47489 . . . 4 𝐴 β‰  𝐡
4339, 41, 423pm3.2i 1337 . . 3 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  𝐡)
448simpli 483 . . . . 5 𝑍 ∈ LMod
45 elmapi 8859 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡}) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€)
4639prid1 4762 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡}
47 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
4846, 47mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)
5150eqcomi 2736 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘) = β„€ring
5251fveq2i 6894 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜β„€ring)
5352, 14eqtri 2755 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = β„€
5449, 53eleqtrri 2827 . . . . 5 (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
554, 22eqeltri 2824 . . . . 5 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘)
56 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
57 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘)
58 eqid 2727 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
59 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
6056, 57, 58, 59lmodvscl 20750 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘))
6144, 54, 55, 60mp3an 1458 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘)
6241prid2 4763 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ {𝐴, 𝐡}
63 ffvelcdm 7085 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ ∧ 𝐡 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
6462, 63mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€
6665, 53eleqtrri 2827 . . . . 5 (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
675, 26eqeltri 2824 . . . . 5 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 20750 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘))
6944, 66, 67, 68mp3an 1458 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘)
7061, 69pm3.2i 470 . . 3 (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘))
71 eqid 2727 . . . 4 (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘)
72 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
73 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ = 𝐴)
7472, 73oveq12d 7432 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯) = ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴))
75 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
76 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ = 𝐡)
7775, 76oveq12d 7432 . . . 4 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯) = ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
7856, 71, 74, 77gsumpr 19901 . . 3 ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯))) = (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)))
7937, 43, 70, 78mp3an 1458 . 2 (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯))) = (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
806fveq1i 6892 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΄) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΄)
81 2ex 12311 . . . . . . . 8 2 ∈ V
8239, 81fvpr1 7196 . . . . . . 7 (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΄) = 2)
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΄) = 2
8480, 83eqtri 2755 . . . . 5 (πΉβ€˜π΄) = 2
8584oveq1i 7424 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)
866fveq1i 6892 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΅) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΅)
87 negex 11480 . . . . . . . 8 -3 ∈ V
8841, 87fvpr2 7198 . . . . . . 7 (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΅) = -3)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΅) = -3
9086, 89eqtri 2755 . . . . 5 (πΉβ€˜π΅) = -3
9190oveq1i 7424 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) = (-3( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)
9285, 91oveq12i 7426 . . 3 (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)) = ((2( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)(-3( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
93 eqid 2727 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
941, 93zlmodzxz0 47343 . . . . 5 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0gβ€˜π‘)
9594eqcomi 2736 . . . 4 (0gβ€˜π‘) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 47490 . . 3 ((2( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)(-3( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)) = (0gβ€˜π‘)
9792, 96eqtri 2755 . 2 (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)) = (0gβ€˜π‘)
9834, 79, 973eqtri 2759 1 (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (0gβ€˜π‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469  π’« cpw 4598  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  0cc0 11130  1c1 11131  -cneg 11467  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  6c6 12293  β„€cz 12580  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  CMndccmn 19726  LModclmod 20732  β„€ringczring 21359   freeLMod cfrlm 21667   linC clinc 47395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-linc 47397
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  47495
  Copyright terms: Public domain W3C validator