Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem3 46669
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 46671. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3 (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (0gβ€˜π‘)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (β„€ring freeLMod {0, 1})
2 ovex 7391 . . . 4 (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ V
31, 2eqeltri 2830 . . 3 𝑍 ∈ V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐡 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 46667 . . . 4 𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})
81zlmodzxzlmod 46516 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
9 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)) β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
109eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)) β†’ (Scalarβ€˜π‘) = β„€ring)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘) = β„€ring
1211fveq2i 6846 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜β„€ring)
13 zringbas 20891 . . . . . . 7 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
1413eqcomi 2742 . . . . . 6 (Baseβ€˜β„€ring) = β„€
1512, 14eqtri 2761 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = β„€
1615oveq1i 7368 . . . 4 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ↑m {𝐴, 𝐡}) = (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡})
177, 16eleqtrri 2833 . . 3 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ↑m {𝐴, 𝐡})
18 3z 12541 . . . . . 6 3 ∈ β„€
19 6nn 12247 . . . . . . 7 6 ∈ β„•
2019nnzi 12532 . . . . . 6 6 ∈ β„€
211zlmodzxzel 46517 . . . . . 6 ((3 ∈ β„€ ∧ 6 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
2218, 20, 21mp2an 691 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)
23 2z 12540 . . . . . 6 2 ∈ β„€
24 4z 12542 . . . . . 6 4 ∈ β„€
251zlmodzxzel 46517 . . . . . 6 ((2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
2623, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)
274eleq1i 2825 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
285eleq1i 2825 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘))
2927, 28anbi12i 628 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜π‘)))
3022, 26, 29mpbir2an 710 . . . 4 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘))
31 prelpwi 5405 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘))
3230, 31ax-mp 5 . . 3 {𝐴, 𝐡} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘)
33 lincval 46576 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ↑m {𝐴, 𝐡}) ∧ {𝐴, 𝐡} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯))))
343, 17, 32, 33mp3an 1462 . 2 (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯)))
35 lmodcmn 20385 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ CMnd)
3635adantr 482 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)) β†’ 𝑍 ∈ CMnd)
378, 36ax-mp 5 . . 3 𝑍 ∈ CMnd
38 prex 5390 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
394, 38eqeltri 2830 . . . 4 𝐴 ∈ V
40 prex 5390 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
415, 40eqeltri 2830 . . . 4 𝐡 ∈ V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 46665 . . . 4 𝐴 β‰  𝐡
4339, 41, 423pm3.2i 1340 . . 3 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  𝐡)
448simpli 485 . . . . 5 𝑍 ∈ LMod
45 elmapi 8790 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (β„€ ↑m {𝐴, 𝐡}) β†’ 𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€)
4639prid1 4724 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡}
47 ffvelcdm 7033 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
4846, 47mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€)
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΄) ∈ β„€
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β„€ring = (Scalarβ€˜π‘)
5150eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘) = β„€ring
5251fveq2i 6846 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜β„€ring)
5352, 14eqtri 2761 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = β„€
5449, 53eleqtrri 2833 . . . . 5 (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
554, 22eqeltri 2830 . . . . 5 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘)
56 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
57 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘)
58 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
59 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
6056, 57, 58, 59lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘))
6144, 54, 55, 60mp3an 1462 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘)
6241prid2 4725 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ {𝐴, 𝐡}
63 ffvelcdm 7033 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ ∧ 𝐡 ∈ {𝐴, 𝐡}) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
6462, 63mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐡}βŸΆβ„€ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€)
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΅) ∈ β„€
6665, 53eleqtrri 2833 . . . . 5 (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
675, 26eqeltri 2830 . . . . 5 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 20354 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘))
6944, 66, 67, 68mp3an 1462 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘)
7061, 69pm3.2i 472 . . 3 (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘))
71 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘)
72 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
73 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ = 𝐴)
7472, 73oveq12d 7376 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯) = ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴))
75 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
76 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ = 𝐡)
7775, 76oveq12d 7376 . . . 4 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯) = ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
7856, 71, 74, 77gsumpr 19737 . . 3 ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) ∈ (Baseβ€˜π‘))) β†’ (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯))) = (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)))
7937, 43, 70, 78mp3an 1462 . 2 (𝑍 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝐴, 𝐡} ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘)π‘₯))) = (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
806fveq1i 6844 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΄) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΄)
81 2ex 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ V
8239, 81fvpr1 7140 . . . . . . 7 (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΄) = 2)
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΄) = 2
8480, 83eqtri 2761 . . . . 5 (πΉβ€˜π΄) = 2
8584oveq1i 7368 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)
866fveq1i 6844 . . . . . 6 (πΉβ€˜π΅) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΅)
87 negex 11404 . . . . . . . 8 -3 ∈ V
8841, 87fvpr2 7142 . . . . . . 7 (𝐴 β‰  𝐡 β†’ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΅) = -3)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐡, -3⟩}β€˜π΅) = -3
9086, 89eqtri 2761 . . . . 5 (πΉβ€˜π΅) = -3
9190oveq1i 7368 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡) = (-3( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)
9285, 91oveq12i 7370 . . 3 (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)) = ((2( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)(-3( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡))
93 eqid 2733 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
941, 93zlmodzxz0 46518 . . . . 5 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0gβ€˜π‘)
9594eqcomi 2742 . . . 4 (0gβ€˜π‘) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 46666 . . 3 ((2( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)(-3( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)) = (0gβ€˜π‘)
9792, 96eqtri 2761 . 2 (((πΉβ€˜π΄)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐴)(+gβ€˜π‘)((πΉβ€˜π΅)( ·𝑠 β€˜π‘)𝐡)) = (0gβ€˜π‘)
9834, 79, 973eqtri 2765 1 (𝐹( linC β€˜π‘){𝐴, 𝐡}) = (0gβ€˜π‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444  π’« cpw 4561  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  0cc0 11056  1c1 11057  -cneg 11391  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  β„€cz 12504  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  LModclmod 20336  β„€ringczring 20885   freeLMod cfrlm 21168   linC clinc 46571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-linc 46573
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  46671
  Copyright terms: Public domain W3C validator