Theorem zlmodzxzldeplem3 48348

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 48350. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 48346	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
8	1	zlmodzxzlmod 48199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
12	11	fveq2i 6910	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13		zringbas 21482	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
15	12, 14	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
16	15	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
17	7, 16	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵})
18		3z 12648	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		6nn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12639	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
21	1	zlmodzxzel 48200	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	18, 20, 21	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23		2z 12647	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		4z 12649	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
25	1	zlmodzxzel 48200	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
27	4	eleq1i 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
28	5	eleq1i 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
29	27, 28	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
30	22, 26, 29	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31		prelpwi 5458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33		lincval 48255	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))))
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1460	. 2 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥)))
35		lmodcmn 20925	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ CMnd
38		prex 5443	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
39	4, 38	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
40		prex 5443	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
41	5, 40	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 48344	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)
44	8	simpli 483	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
45		elmapi 8888	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
46	39	prid1 4767	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
48	46, 47	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
51	50	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
52	51	fveq2i 6910	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
53	52, 14	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
54	49, 53	eleqtrri 2838	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
55	4, 22	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
59		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 20893	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
62	41	prid2 4768	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
64	62, 63	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ
66	65, 53	eleqtrri 2838	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
67	5, 26	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 20893	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
70	61, 69	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
72		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
73		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
74	72, 73	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
75		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
76		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
77	75, 76	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 19988	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)))
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1460	. 2 ⊢ (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
80	6	fveq1i 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81		2ex 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
82	39, 81	fvpr1 7212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
84	80, 83	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) = 2
85	84	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)
86	6	fveq1i 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87		negex 11504	. . . . . . . 8 ⊢ -3 ∈ V
88	41, 87	fvpr2 7213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
90	86, 89	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) = -3
91	90	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)
92	85, 91	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
93		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
94	1, 93	zlmodzxz0 48201	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g‘𝑍)
95	94	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 48345	. . 3 ⊢ ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
97	92, 96	eqtri 2763	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
98	34, 79, 97	3eqtri 2767	1 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154  -cneg 11491  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  ℤcz 12611  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  CMndccmn 19813  LModclmod 20875  ℤ_ringczring 21475   freeLMod cfrlm 21784   linC clinc 48250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-linc 48252

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48350