Theorem zlmodzxzldeplem3 44911

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 44913. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		ovex 7168	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2886	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 44909	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
8	1	zlmodzxzlmod 44756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	eqcomd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
12	11	fveq2i 6648	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13		zringbas 20169	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13	eqcomi 2807	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
15	12, 14	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
16	15	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
17	7, 16	eleqtrri 2889	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵})
18		3z 12003	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		6nn 11714	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
20	19	nnzi 11994	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
21	1	zlmodzxzel 44757	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	18, 20, 21	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23		2z 12002	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		4z 12004	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
25	1	zlmodzxzel 44757	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
26	23, 24, 25	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
27	4	eleq1i 2880	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
28	5	eleq1i 2880	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
29	27, 28	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
30	22, 26, 29	mpbir2an 710	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31		prelpwi 5305	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33		lincval 44818	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))))
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1458	. 2 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥)))
35		lmodcmn 19675	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
36	35	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ CMnd
38		prex 5298	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
39	4, 38	eqeltri 2886	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
40		prex 5298	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
41	5, 40	eqeltri 2886	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 44907	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)
44	8	simpli 487	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
45		elmapi 8411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
46	39	prid1 4658	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47		ffvelrn 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
48	46, 47	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
51	50	eqcomi 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
52	51	fveq2i 6648	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
53	52, 14	eqtri 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
54	49, 53	eleqtrri 2889	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
55	4, 22	eqeltri 2886	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
59		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 19644	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
62	41	prid2 4659	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63		ffvelrn 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
64	62, 63	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ
66	65, 53	eleqtrri 2889	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
67	5, 26	eqeltri 2886	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 19644	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
70	61, 69	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
72		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
73		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
74	72, 73	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
75		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
76		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
77	75, 76	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 19068	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)))
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1458	. 2 ⊢ (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
80	6	fveq1i 6646	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81		2ex 11702	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
82	39, 81	fvpr1 6929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
84	80, 83	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) = 2
85	84	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)
86	6	fveq1i 6646	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87		negex 10873	. . . . . . . 8 ⊢ -3 ∈ V
88	41, 87	fvpr2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
90	86, 89	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) = -3
91	90	oveq1i 7145	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)
92	85, 91	oveq12i 7147	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
93		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
94	1, 93	zlmodzxz0 44758	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g‘𝑍)
95	94	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 44908	. . 3 ⊢ ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
97	92, 96	eqtri 2821	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
98	34, 79, 97	3eqtri 2825	1 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4497  {cpr 4527  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  0cc0 10526  1c1 10527  -cneg 10860  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  ℤcz 11969  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  CMndccmn 18898  LModclmod 19627  ℤ_ringzring 20163   freeLMod cfrlm 20435   linC clinc 44813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-linc 44815

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  44913