Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem3 44851
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 44853. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2 ovex 7173 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
31, 2eqeltri 2910 . . 3 𝑍 ∈ V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 44849 . . . 4 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
81zlmodzxzlmod 44696 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
109eqcomd 2828 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑍) = ℤring
1211fveq2i 6655 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13 zringbas 20167 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
1413eqcomi 2831 . . . . . 6 (Base‘ℤring) = ℤ
1512, 14eqtri 2845 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
1615oveq1i 7150 . . . 4 ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
177, 16eleqtrri 2913 . . 3 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵})
18 3z 12003 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
19 6nn 11714 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
2019nnzi 11994 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
211zlmodzxzel 44697 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2218, 20, 21mp2an 691 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23 2z 12002 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 4z 12004 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
251zlmodzxzel 44697 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2623, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
274eleq1i 2904 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
285eleq1i 2904 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2927, 28anbi12i 629 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
3022, 26, 29mpbir2an 710 . . . 4 (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31 prelpwi 5317 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
3230, 31ax-mp 5 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33 lincval 44758 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))))
343, 17, 32, 33mp3an 1458 . 2 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥)))
35 lmodcmn 19673 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
3635adantr 484 . . . 4 ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
378, 36ax-mp 5 . . 3 𝑍 ∈ CMnd
38 prex 5310 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
394, 38eqeltri 2910 . . . 4 𝐴 ∈ V
40 prex 5310 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
415, 40eqeltri 2910 . . . 4 𝐵 ∈ V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 44847 . . . 4 𝐴𝐵
4339, 41, 423pm3.2i 1336 . . 3 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵)
448simpli 487 . . . . 5 𝑍 ∈ LMod
45 elmapi 8415 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
4639prid1 4672 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47 ffvelrn 6831 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4846, 47mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ ℤ
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ring = (Scalar‘𝑍)
5150eqcomi 2831 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑍) = ℤring
5251fveq2i 6655 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
5352, 14eqtri 2845 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
5449, 53eleqtrri 2913 . . . . 5 (𝐹𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
554, 22eqeltri 2910 . . . . 5 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57 eqid 2822 . . . . . 6 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58 eqid 2822 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
59 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
6056, 57, 58, 59lmodvscl 19642 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
6144, 54, 55, 60mp3an 1458 . . . 4 ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
6241prid2 4673 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63 ffvelrn 6831 . . . . . . . 8 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
6462, 63mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6 (𝐹𝐵) ∈ ℤ
6665, 53eleqtrri 2913 . . . . 5 (𝐹𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
675, 26eqeltri 2910 . . . . 5 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 19642 . . . . 5 ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
6944, 66, 67, 68mp3an 1458 . . . 4 ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
7061, 69pm3.2i 474 . . 3 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71 eqid 2822 . . . 4 (+g𝑍) = (+g𝑍)
72 fveq2 6652 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
73 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
7472, 73oveq12d 7158 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
75 fveq2 6652 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
76 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7775, 76oveq12d 7158 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
7856, 71, 74, 77gsumpr 19066 . . 3 ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) ∧ (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))) = (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)))
7937, 43, 70, 78mp3an 1458 . 2 (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑍)𝑥))) = (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
806fveq1i 6653 . . . . . 6 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81 2ex 11702 . . . . . . . 8 2 ∈ V
8239, 81fvpr1 6934 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
8480, 83eqtri 2845 . . . . 5 (𝐹𝐴) = 2
8584oveq1i 7150 . . . 4 ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠𝑍)𝐴)
866fveq1i 6653 . . . . . 6 (𝐹𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87 negex 10873 . . . . . . . 8 -3 ∈ V
8841, 87fvpr2 6935 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
9086, 89eqtri 2845 . . . . 5 (𝐹𝐵) = -3
9190oveq1i 7150 . . . 4 ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠𝑍)𝐵)
9285, 91oveq12i 7152 . . 3 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)(-3( ·𝑠𝑍)𝐵))
93 eqid 2822 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
941, 93zlmodzxz0 44698 . . . . 5 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g𝑍)
9594eqcomi 2831 . . . 4 (0g𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 44848 . . 3 ((2( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)(-3( ·𝑠𝑍)𝐵)) = (0g𝑍)
9792, 96eqtri 2845 . 2 (((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴)(+g𝑍)((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵)) = (0g𝑍)
9834, 79, 973eqtri 2849 1 (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  Vcvv 3469  𝒫 cpw 4511  {cpr 4541  cop 4545  cmpt 5122  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  m cmap 8393  0cc0 10526  1c1 10527  -cneg 10860  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  cz 11969  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  CMndccmn 18897  LModclmod 19625  ringzring 20161   freeLMod cfrlm 20433   linC clinc 44753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-linc 44755
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  44853
  Copyright terms: Public domain W3C validator