Theorem zlmodzxzldeplem3 48419

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 48421. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 48417	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
8	1	zlmodzxzlmod 48270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
12	11	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13		zringbas 21464	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
15	12, 14	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
16	15	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
17	7, 16	eleqtrri 2840	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵})
18		3z 12650	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		6nn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12641	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
21	1	zlmodzxzel 48271	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	18, 20, 21	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23		2z 12649	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		4z 12651	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
25	1	zlmodzxzel 48271	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
27	4	eleq1i 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
28	5	eleq1i 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
29	27, 28	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
30	22, 26, 29	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31		prelpwi 5452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33		lincval 48326	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))))
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1463	. 2 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥)))
35		lmodcmn 20908	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ CMnd
38		prex 5437	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
39	4, 38	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
40		prex 5437	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
41	5, 40	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 48415	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)
44	8	simpli 483	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
45		elmapi 8889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
46	39	prid1 4762	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
48	46, 47	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
51	50	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
52	51	fveq2i 6909	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
53	52, 14	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
54	49, 53	eleqtrri 2840	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
55	4, 22	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
59		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 20876	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
62	41	prid2 4763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
64	62, 63	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ
66	65, 53	eleqtrri 2840	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
67	5, 26	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 20876	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
70	61, 69	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
72		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
73		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
74	72, 73	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
75		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
76		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
77	75, 76	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 19973	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)))
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1463	. 2 ⊢ (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
80	6	fveq1i 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81		2ex 12343	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
82	39, 81	fvpr1 7212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
84	80, 83	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) = 2
85	84	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)
86	6	fveq1i 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87		negex 11506	. . . . . . . 8 ⊢ -3 ∈ V
88	41, 87	fvpr2 7213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
90	86, 89	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) = -3
91	90	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)
92	85, 91	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
93		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
94	1, 93	zlmodzxz0 48272	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g‘𝑍)
95	94	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 48416	. . 3 ⊢ ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
97	92, 96	eqtri 2765	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
98	34, 79, 97	3eqtri 2769	1 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  ℤcz 12613  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798  LModclmod 20858  ℤ_ringczring 21457   freeLMod cfrlm 21766   linC clinc 48321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-linc 48323

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48421