Theorem zlmodzxzldeplem3 48478

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 48480. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 48476	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
8	1	zlmodzxzlmod 48329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → (Scalar‘𝑍) = ℤring)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
12	11	fveq2i 6879	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
13		zringbas 21414	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ℤring) = ℤ
15	12, 14	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
16	15	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) = (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
17	7, 16	eleqtrri 2833	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵})
18		3z 12625	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		6nn 12329	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12616	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
21	1	zlmodzxzel 48330	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	18, 20, 21	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
23		2z 12624	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		4z 12626	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
25	1	zlmodzxzel 48330	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
27	4	eleq1i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
28	5	eleq1i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ↔ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
29	27, 28	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) ↔ ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)))
30	22, 26, 29	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
31		prelpwi 5422	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
33		lincval 48385	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑍)) ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))))
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1463	. 2 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥)))
35		lmodcmn 20867	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod → 𝑍 ∈ CMnd)
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍)) → 𝑍 ∈ CMnd)
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ CMnd
38		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
39	4, 38	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
40		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
41	5, 40	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 48474	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)
44	8	simpli 483	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
45		elmapi 8863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
46	39	prid1 4738	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
47		ffvelcdm 7071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
48	46, 47	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ)
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ ℤ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
51	50	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑍) = ℤring
52	51	fveq2i 6879	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘ℤring)
53	52, 14	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = ℤ
54	49, 53	eleqtrri 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
55	4, 22	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
56		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
57		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
58		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
59		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 20835	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍)
62	41	prid2 4739	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
63		ffvelcdm 7071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
64	62, 63	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ → (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ)
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ ℤ
66	65, 53	eleqtrri 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍))
67	5, 26	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 20835	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍)
70	61, 69	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))
71		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
72		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
73		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
74	72, 73	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴))
75		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
76		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
77	75, 76	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥) = ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 19936	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) ∈ (Base‘𝑍))) → (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)))
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1463	. 2 ⊢ (𝑍 Σg (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝐹‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑍)𝑥))) = (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
80	6	fveq1i 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
81		2ex 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
82	39, 81	fvpr1 7184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2
84	80, 83	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) = 2
85	84	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)
86	6	fveq1i 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐵) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵)
87		negex 11480	. . . . . . . 8 ⊢ -3 ∈ V
88	41, 87	fvpr2 7185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3)
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐵) = -3
90	86, 89	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐵) = -3
91	90	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵) = (-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)
92	85, 91	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵))
93		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
94	1, 93	zlmodzxz0 48331	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = (0g‘𝑍)
95	94	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 48475	. . 3 ⊢ ((2( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)(-3( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
97	92, 96	eqtri 2758	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐴)(+g‘𝑍)((𝐹‘𝐵)( ·𝑠 ‘𝑍)𝐵)) = (0g‘𝑍)
98	34, 79, 97	3eqtri 2762	1 ⊢ (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459  𝒫 cpw 4575  {cpr 4603  ⟨cop 4607   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  0cc0 11129  1c1 11130  -cneg 11467  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  6c6 12299  ℤcz 12588  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  CMndccmn 19761  LModclmod 20817  ℤ_ringczring 21407   freeLMod cfrlm 21706   linC clinc 48380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-linc 48382

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48480