itscnhlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02p 46131

Description: Intersection of a nonhorizontal line with a circle: A nonhorizontal line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.z	⊢ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑠,𝑥,𝑦 𝑃,𝑠,𝑦 𝑅,𝑠,𝑦 𝑋,𝑠,𝑦 𝑌,𝑠,𝑦 0 ,𝑠,𝑦 𝑥,𝑃 𝑥,𝑅 𝑥,𝑋 𝑥, 0 𝑥,𝑌 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐼(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑠) 𝑍(𝑥,𝑦,𝑠)

Proof of Theorem itscnhlinecirc02p Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		itscnhlinecirc02p.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3		itscnhlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
4		itscnhlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
5		itscnhlinecirc02p.0	. . . 4 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
6		itscnhlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
7		itscnhlinecirc02p.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	itscnhlinecirc02plem3 46130	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
9	1, 3	rrx2pyel 46058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	1, 3	rrx2pyel 46058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
15	11, 14	resubcld 11403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
16	15	resqcld 13965	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
17	1, 3	rrx2pxel 46057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
20	1, 3	rrx2pxel 46057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11403	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
24	23	resqcld 13965	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
25	16, 24	readdcld 11004	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ∈ ℝ)
26	10, 13	resubcld 11403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
27	26	resqcld 13965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
28	18, 21	resubcld 11403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
29	28	resqcld 13965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
30	10	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
31	13	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
32		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
33	30, 31, 32	subne0d 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0)
34	26, 33	sqgt0d 13967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2))
35	28	sqge0d 13966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 ≤ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
36	27, 29, 34, 35	addgtge0d 11549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)))
37	36	gt0ne0d 11539	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
38	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
39		2re 12047	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 2 ∈ ℝ)
41	11, 19	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
42	22, 14	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 11403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
44	23, 43	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ∈ ℝ)
45	40, 44	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11402	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
47	43	resqcld 13965	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) ∈ ℝ)
48		rpre 12738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
50	49	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
51	50	resqcld 13965	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
52	16, 51	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
53	47, 52	resubcld 11403	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
54		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
55	25, 38, 46, 53, 54	requad2 45075	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0) ↔ 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))))))
56	8, 55	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
57		0xr 11022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ^*)
59		pnfxr 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → +∞ ∈ ℝ^*)
61		rpxr 12739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
62		rpge0 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
63		ltpnf 12856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 < +∞)
64	48, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 < +∞)
65	58, 60, 61, 62, 64	elicod 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
66		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
67	1, 2, 3, 4, 5, 66	2sphere0 46096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
75	74	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
76		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = (𝑍‘1))
77		itscnhlinecirc02p.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}
78	77	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1)
79		1ne2 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
80		1ex 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
81		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑥 ∈ V
82	80, 81	fvpr1 7065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥)
83	79, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥
84	78, 83	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍‘1) = 𝑥
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘1) = 𝑥)
86	76, 85	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = 𝑥)
87	86	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘1)↑2) = (𝑥↑2))
88		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = (𝑍‘2))
89	77	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2)
90		2ex 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ V
91		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
92	90, 91	fvpr2 7067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦)
93	79, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦
94	89, 93	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍‘2) = 𝑦
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘2) = 𝑦)
96	88, 95	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = 𝑦)
97	96	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘2)↑2) = (𝑦↑2))
98	87, 97	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
99	98	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
100	99	elrab 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
102	75, 101	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
103		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
104		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
105		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
107	106	necon3d 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌))
108	107	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)))
109	108	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
110	103, 104, 109	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
116		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
117		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
118		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
119	1, 2, 3, 6, 116, 117, 118	rrx2linest2 46090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
120	115, 119	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
121	120	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))}))
122	86	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥))
123	96	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦))
124	122, 123	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)))
125	124	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
126	125	elrab 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
128	121, 127	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
129	102, 128	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
130	129	reubidva 3322	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
131		elelpwi 4545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
132	1, 3	prelrrx2 46059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
133	132	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
134	77	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
135	133, 134	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑃)
136	135	biantrurd 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
137	136	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
138	135	biantrurd 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
139	138	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
140	137, 139	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
141	140	reubidva 3322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
142	131, 141	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
143	142	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
144	143	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
145	144	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
146	145	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
147	26, 33	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
149	148	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
150	19	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
151	22	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
152	150, 151	resubcld 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
153	11	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
154	153, 150	remulcld 11005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
155	14	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
156	151, 155	remulcld 11005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
157	154, 156	resubcld 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
158	149, 152, 157	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ))
159		simplrl 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
161	160	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
162	131	expcom 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
163	162	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
165	164	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℝ)
166	158, 161, 165	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
167		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
168		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) = -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
169		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))
170	167, 168, 169	itsclquadeu 46123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
171	166, 170	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
172	146, 171	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
173	130, 172	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
174	173	ralbidva 3111	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
175	174	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
176	175	reubidva 3322	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
177	56, 176	mpbird 256	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃!wreu 3066 {crab 3068 𝒫 cpw 4533 {csn 4561 {cpr 4563 ⟨cop 4567 class class class wbr 5074 × cxp 5587 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ↑_m cmap 8615 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 +∞cpnf 11006 ℝ^*cxr 11008 < clt 11009 − cmin 11205 -cneg 11206 2c2 12028 4c4 12030 ℝ⁺crp 12730 [,)cico 13081 ↑cexp 13782 ♯chash 14044 distcds 16971 ℝ^crrx 24547 Line_Mcline 46073 Spherecsph 46074

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-tpos 8042 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-oadd 8301 df-er 8498 df-map 8617 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-sup 9201 df-oi 9269 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-sum 15398 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-prds 17158 df-pws 17160 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-mhm 18430 df-grp 18580 df-minusg 18581 df-sbg 18582 df-subg 18752 df-ghm 18832 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-abl 19389 df-mgp 19721 df-ur 19738 df-ring 19785 df-cring 19786 df-oppr 19862 df-dvdsr 19883 df-unit 19884 df-invr 19914 df-dvr 19925 df-rnghom 19959 df-drng 19993 df-field 19994 df-subrg 20022 df-staf 20105 df-srng 20106 df-lmod 20125 df-lss 20194 df-sra 20434 df-rgmod 20435 df-xmet 20590 df-met 20591 df-cnfld 20598 df-refld 20810 df-dsmm 20939 df-frlm 20954 df-nm 23738 df-tng 23740 df-tcph 24333 df-rrx 24549 df-ehl 24550 df-line 46075 df-sph 46076

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