itscnhlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02p 49288

Description: Intersection of a nonhorizontal line with a circle: A nonhorizontal line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.z	⊢ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑠,𝑥,𝑦 𝑃,𝑠,𝑦 𝑅,𝑠,𝑦 𝑋,𝑠,𝑦 𝑌,𝑠,𝑦 0 ,𝑠,𝑦 𝑥,𝑃 𝑥,𝑅 𝑥,𝑋 𝑥, 0 𝑥,𝑌 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐼(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑠) 𝑍(𝑥,𝑦,𝑠)

Proof of Theorem itscnhlinecirc02p Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		itscnhlinecirc02p.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3		itscnhlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
4		itscnhlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
5		itscnhlinecirc02p.0	. . . 4 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
6		itscnhlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
7		itscnhlinecirc02p.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	itscnhlinecirc02plem3 49287	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
9	1, 3	rrx2pyel 49215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	1, 3	rrx2pyel 49215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
14	13	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
15	11, 14	resubcld 11574	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
16	15	resqcld 14082	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
17	1, 3	rrx2pxel 49214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
20	1, 3	rrx2pxel 49214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant1 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
22	21	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11574	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
24	23	resqcld 14082	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
25	16, 24	readdcld 11170	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ∈ ℝ)
26	10, 13	resubcld 11574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
28	18, 21	resubcld 11574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
29	28	resqcld 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
30	10	recnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
31	13	recnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
32		simp3 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
33	30, 31, 32	subne0d 11510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0)
34	26, 33	sqgt0d 14207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2))
35	28	sqge0d 14094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 ≤ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
36	27, 29, 34, 35	addgtge0d 11720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)))
37	36	gt0ne0d 11710	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
38	37	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
39		2re 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 2 ∈ ℝ)
41	11, 19	remulcld 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
42	22, 14	remulcld 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 11574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
44	23, 43	remulcld 11171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ∈ ℝ)
45	40, 44	remulcld 11171	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11573	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
47	43	resqcld 14082	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) ∈ ℝ)
48		rpre 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
49	48	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
50	49	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
51	50	resqcld 14082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
52	16, 51	remulcld 11171	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
53	47, 52	resubcld 11574	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
54		eqidd 2742	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
55	25, 38, 46, 53, 54	requad2 48126	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0) ↔ 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))))))
56	8, 55	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
57		0xr 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ^*)
59		pnfxr 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → +∞ ∈ ℝ^*)
61		rpxr 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
62		rpge0 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
63		ltpnf 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 < +∞)
64	48, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 < +∞)
65	58, 60, 61, 62, 64	elicod 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
66		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
67	1, 2, 3, 4, 5, 66	2sphere0 49253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
69	68	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
70	69	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
71	70	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
72	71	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
73	72	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
74	73	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
75	74	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
76		fveq1 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = (𝑍‘1))
77		itscnhlinecirc02p.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}
78	77	fveq1i 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1)
79		1ne2 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
80		1ex 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
81		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑥 ∈ V
82	80, 81	fvpr1 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥)
83	79, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥
84	78, 83	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍‘1) = 𝑥
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘1) = 𝑥)
86	76, 85	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = 𝑥)
87	86	oveq1d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘1)↑2) = (𝑥↑2))
88		fveq1 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = (𝑍‘2))
89	77	fveq1i 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2)
90		2ex 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ V
91		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
92	90, 91	fvpr2 7140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦)
93	79, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦
94	89, 93	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍‘2) = 𝑦
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘2) = 𝑦)
96	88, 95	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = 𝑦)
97	96	oveq1d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘2)↑2) = (𝑦↑2))
98	87, 97	oveq12d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
99	98	eqeq1d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
100	99	elrab 3630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
102	75, 101	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
103		simp1 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
104		simp2 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
105		fveq1 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
107	106	necon3d 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌))
108	107	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)))
109	108	3imp 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
110	103, 104, 109	3jca 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
111	110	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
112	111	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
113	112	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
114	113	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
115	114	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
116		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
117		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
118		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
119	1, 2, 3, 6, 116, 117, 118	rrx2linest2 49247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
120	115, 119	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
121	120	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))}))
122	86	oveq2d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥))
123	96	oveq2d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦))
124	122, 123	oveq12d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)))
125	124	eqeq1d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
126	125	elrab 3630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
128	121, 127	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
129	102, 128	anbi12d 639	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
130	129	reubidva 3360	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
131		elelpwi 4541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
132	1, 3	prelrrx2 49216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
133	132	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
134	77	eleq1i 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
135	133, 134	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑃)
136	135	biantrurd 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
137	136	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
138	135	biantrurd 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
139	138	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
140	137, 139	anbi12d 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
141	140	reubidva 3360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
142	131, 141	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
143	142	expcom 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
144	143	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
145	144	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
146	145	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
147	26, 33	jca 517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
148	147	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
149	148	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
150	19	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
151	22	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
152	150, 151	resubcld 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
153	11	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
154	153, 150	remulcld 11171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
155	14	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
156	151, 155	remulcld 11171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
157	154, 156	resubcld 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
158	149, 152, 157	3jca 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ))
159		simplrl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
160	159	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
161	160	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
162	131	expcom 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
163	162	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
164	163	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
165	164	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℝ)
166	158, 161, 165	3jca 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
167		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
168		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) = -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
169		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))
170	167, 168, 169	itsclquadeu 49280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
171	166, 170	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
172	146, 171	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
173	130, 172	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
174	173	ralbidva 3162	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
175	174	pm5.32da 585	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
176	175	reubidva 3360	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
177	56, 176	mpbird 259	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 ∧ w3a 1093 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ≠ wne 2936 ∀wral 3055 ∃!wreu 3344 {crab 3393 𝒫 cpw 4531 {csn 4557 {cpr 4559 ⟨cop 4563 class class class wbr 5074 × cxp 5618 ‘cfv 6488 (class class class)co 7359 ↑_m cmap 8767 ℝcr 11033 0cc0 11034 1c1 11035 + caddc 11037 · cmul 11039 +∞cpnf 11172 ℝ^*cxr 11174 < clt 11175 − cmin 11373 -cneg 11374 2c2 12231 4c4 12233 ℝ⁺crp 12937 [,)cico 13295 ↑cexp 14018 ♯chash 14287 distcds 17224 ℝ^crrx 25371 Line_Mcline 49230 Spherecsph 49231

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-rep 5201 ax-sep 5220 ax-nul 5230 ax-pow 5296 ax-pr 5364 ax-un 7681 ax-inf2 9557 ax-cnex 11090 ax-resscn 11091 ax-1cn 11092 ax-icn 11093 ax-addcl 11094 ax-addrcl 11095 ax-mulcl 11096 ax-mulrcl 11097 ax-mulcom 11098 ax-addass 11099 ax-mulass 11100 ax-distr 11101 ax-i2m1 11102 ax-1ne0 11103 ax-1rid 11104 ax-rnegex 11105 ax-rrecex 11106 ax-cnre 11107 ax-pre-lttri 11108 ax-pre-lttrn 11109 ax-pre-ltadd 11110 ax-pre-mulgt0 11111 ax-pre-sup 11112 ax-addf 11113 ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3725 df-csb 3833 df-dif 3887 df-un 3889 df-in 3891 df-ss 3901 df-pss 3904 df-nul 4264 df-if 4457 df-pw 4533 df-sn 4558 df-pr 4560 df-tp 4562 df-op 4564 df-uni 4841 df-int 4880 df-iun 4925 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5156 df-tr 5182 df-id 5515 df-eprel 5520 df-po 5528 df-so 5529 df-fr 5573 df-se 5574 df-we 5575 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-isom 6497 df-riota 7316 df-ov 7362 df-oprab 7363 df-mpo 7364 df-of 7623 df-om 7810 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-tpos 8168 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-oadd 8403 df-er 8637 df-map 8769 df-ixp 8840 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-fsupp 9269 df-sup 9349 df-oi 9419 df-dju 9820 df-card 9858 df-pnf 11177 df-mnf 11178 df-xr 11179 df-ltxr 11180 df-le 11181 df-sub 11375 df-neg 11376 df-div 11804 df-nn 12170 df-2 12239 df-3 12240 df-4 12241 df-5 12242 df-6 12243 df-7 12244 df-8 12245 df-9 12246 df-n0 12433 df-z 12520 df-dec 12640 df-uz 12784 df-rp 12938 df-xneg 13058 df-xadd 13059 df-xmul 13060 df-ico 13299 df-icc 13300 df-fz 13457 df-fzo 13604 df-seq 13959 df-exp 14019 df-hash 14288 df-cj 15056 df-re 15057 df-im 15058 df-sqrt 15192 df-abs 15193 df-clim 15445 df-sum 15644 df-struct 17112 df-sets 17129 df-slot 17147 df-ndx 17159 df-base 17175 df-ress 17196 df-plusg 17228 df-mulr 17229 df-starv 17230 df-sca 17231 df-vsca 17232 df-ip 17233 df-tset 17234 df-ple 17235 df-ds 17237 df-unif 17238 df-hom 17239 df-cco 17240 df-0g 17399 df-gsum 17400 df-prds 17405 df-pws 17407 df-mgm 18603 df-sgrp 18682 df-mnd 18698 df-mhm 18746 df-grp 18907 df-minusg 18908 df-sbg 18909 df-subg 19094 df-ghm 19183 df-cntz 19286 df-cmn 19751 df-abl 19752 df-mgp 20116 df-rng 20128 df-ur 20157 df-ring 20210 df-cring 20211 df-oppr 20311 df-dvdsr 20331 df-unit 20332 df-invr 20362 df-dvr 20375 df-rhm 20446 df-subrng 20521 df-subrg 20545 df-drng 20706 df-field 20707 df-staf 20814 df-srng 20815 df-lmod 20855 df-lss 20925 df-sra 21166 df-rgmod 21167 df-xmet 21343 df-met 21344 df-cnfld 21351 df-refld 21583 df-dsmm 21710 df-frlm 21725 df-nm 24568 df-tng 24570 df-tcph 25157 df-rrx 25373 df-ehl 25374 df-line 49232 df-sph 49233

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