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Theorem itscnhlinecirc02p 45186
 Description: Intersection of a nonhorizontal line with a circle: A nonhorizontal line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.z 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02p (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦   𝑃,𝑠,𝑦   𝑅,𝑠,𝑦   𝑋,𝑠,𝑦   𝑌,𝑠,𝑦   0 ,𝑠,𝑦   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑠)

Proof of Theorem itscnhlinecirc02p
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 itscnhlinecirc02p.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 itscnhlinecirc02p.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
5 itscnhlinecirc02p.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
6 itscnhlinecirc02p.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
7 itscnhlinecirc02p.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7itscnhlinecirc02plem3 45185 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
91, 3rrx2pyel 45113 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1110adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
121, 3rrx2pyel 45113 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1413adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1511, 14resubcld 11061 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
1615resqcld 13611 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
171, 3rrx2pxel 45112 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
18173ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
1918adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
201, 3rrx2pxel 45112 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11061 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
2423resqcld 13611 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
2516, 24readdcld 10663 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ∈ ℝ)
2610, 13resubcld 11061 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
2726resqcld 13611 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
2818, 21resubcld 11061 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
2928resqcld 13611 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
3010recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
3113recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
32 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
3330, 31, 32subne0d 10999 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0)
3426, 33sqgt0d 13613 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2))
3528sqge0d 13612 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 ≤ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
3627, 29, 34, 35addgtge0d 11207 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)))
3736gt0ne0d 11197 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
3837adantr 484 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
39 2re 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 2 ∈ ℝ)
4111, 19remulcld 10664 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
4222, 14remulcld 10664 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11061 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
4423, 43remulcld 10664 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ∈ ℝ)
4540, 44remulcld 10664 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
4645renegcld 11060 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
4743resqcld 13611 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) ∈ ℝ)
48 rpre 12389 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
4948adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
5049adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
5150resqcld 13611 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5216, 51remulcld 10664 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
5347, 52resubcld 11061 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
54 eqidd 2802 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
5525, 38, 46, 53, 54requad2 44128 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0) ↔ 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))))))
568, 55mpbird 260 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
57 0xr 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ*)
59 pnfxr 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
61 rpxr 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
62 rpge0 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
63 ltpnf 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 < +∞)
6448, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < +∞)
6558, 60, 61, 62, 64elicod 12779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ (0[,)+∞))
66 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
671, 2, 3, 4, 5, 662sphere0 45151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
6968adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
7069adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
7271adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
7372adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
7473adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
7574eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
76 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = (𝑍‘1))
77 itscnhlinecirc02p.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}
7877fveq1i 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1)
79 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 2
80 1ex 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ V
81 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
8280, 81fvpr1 6933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥)
8379, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥
8478, 83eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍‘1) = 𝑥
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘1) = 𝑥)
8676, 85eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = 𝑥)
8786oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘1)↑2) = (𝑥↑2))
88 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = (𝑍‘2))
8977fveq1i 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2)
90 2ex 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ V
91 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
9290, 91fvpr2 6934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦)
9379, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦
9489, 93eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍‘2) = 𝑦
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘2) = 𝑦)
9688, 95eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = 𝑦)
9796oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘2)↑2) = (𝑦↑2))
9887, 97oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑍 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
9998eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
10099elrab 3631 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
101100a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
10275, 101bitrd 282 . . . . . . . 8 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
103 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋𝑃)
104 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑌𝑃)
105 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
107106necon3d 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋𝑌))
108107ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋𝑃 → (𝑌𝑃 → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋𝑌)))
1091083imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋𝑌)
110103, 104, 1093jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
111110adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
112111adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
113112adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
114113adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
115114adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
116 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
117 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
118 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
1191, 2, 3, 6, 116, 117, 118rrx2linest2 45145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
120115, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
121120eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))}))
12286oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑍 → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥))
12396oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑍 → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦))
124122, 123oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)))
125124eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑍 → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
126125elrab 3631 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
128121, 127bitrd 282 . . . . . . . 8 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
129102, 128anbi12d 633 . . . . . . 7 (((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
130129reubidva 3344 . . . . . 6 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
131 elelpwi 4512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑠𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1321, 3prelrrx2 45114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
133132ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
13477eleq1i 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
135133, 134sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑍𝑃)
136135biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
137136bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
138135biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
139138bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
140137, 139anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
141140reubidva 3344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
142131, 141syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑠𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
143142expcom 417 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
144143adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
145144adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
146145imp 410 . . . . . . 7 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
14726, 33jca 515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
148147adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
149148ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
15019ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
15122ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
152150, 151resubcld 11061 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
15311ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
154153, 150remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
15514ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
156151, 155remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
157154, 156resubcld 11061 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
158149, 152, 1573jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ))
159 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
160159adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → 𝑅 ∈ ℝ+)
161160adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ+)
162131expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑠𝑦 ∈ ℝ))
163162adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝑠𝑦 ∈ ℝ))
164163adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦𝑠𝑦 ∈ ℝ))
165164imp 410 . . . . . . . . 9 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦 ∈ ℝ)
166158, 161, 1653jca 1125 . . . . . . . 8 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ))
167 eqid 2801 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
168 eqid 2801 . . . . . . . . 9 -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) = -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
169 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))
170167, 168, 169itsclquadeu 45178 . . . . . . . 8 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
171166, 170syl 17 . . . . . . 7 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
172146, 171bitrd 282 . . . . . 6 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
173130, 172bitrd 282 . . . . 5 ((((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
174173ralbidva 3164 . . . 4 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (∀𝑦𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∀𝑦𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
175174pm5.32da 582 . . 3 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
176175reubidva 3344 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
17756, 176mpbird 260 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃!wreu 3111  {crab 3113  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  {cpr 4530  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   × cxp 5521  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   − cmin 10863  -cneg 10864  2c2 11684  4c4 11686  ℝ+crp 12381  [,)cico 12732  ↑cexp 13429  ♯chash 13690  distcds 16569  ℝ^crrx 23990  LineMcline 45128  Spherecsph 45129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-field 19501  df-subrg 19529  df-staf 19612  df-srng 19613  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-xmet 20087  df-met 20088  df-cnfld 20095  df-refld 20297  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-nm 23192  df-tng 23194  df-tcph 23777  df-rrx 23992  df-ehl 23993  df-line 45130  df-sph 45131 This theorem is referenced by: (None)
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