itscnhlinecirc02p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02p 49277

Description: Intersection of a nonhorizontal line with a circle: A nonhorizontal line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points. (Contributed by AV, 28-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.z	⊢ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑠,𝑥,𝑦 𝑃,𝑠,𝑦 𝑅,𝑠,𝑦 𝑋,𝑠,𝑦 𝑌,𝑠,𝑦 0 ,𝑠,𝑦 𝑥,𝑃 𝑥,𝑅 𝑥,𝑋 𝑥, 0 𝑥,𝑌 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐼(𝑥,𝑦,𝑠) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑠) 𝑍(𝑥,𝑦,𝑠)

Proof of Theorem itscnhlinecirc02p Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		itscnhlinecirc02p.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3		itscnhlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
4		itscnhlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
5		itscnhlinecirc02p.0	. . . 4 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
6		itscnhlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
7		itscnhlinecirc02p.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	itscnhlinecirc02plem3 49276	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
9	1, 3	rrx2pyel 49204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
12	1, 3	rrx2pyel 49204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
15	11, 14	resubcld 11573	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
16	15	resqcld 14082	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
17	1, 3	rrx2pxel 49203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
20	1, 3	rrx2pxel 49203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11573	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
24	23	resqcld 14082	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
25	16, 24	readdcld 11169	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ∈ ℝ)
26	10, 13	resubcld 11573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) ∈ ℝ)
28	18, 21	resubcld 11573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
29	28	resqcld 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2) ∈ ℝ)
30	10	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
31	13	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
32		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
33	30, 31, 32	subne0d 11509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0)
34	26, 33	sqgt0d 14207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < (((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2))
35	28	sqge0d 14094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 ≤ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
36	27, 29, 34, 35	addgtge0d 11719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 0 < ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)))
37	36	gt0ne0d 11709	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) ≠ 0)
39		2re 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 2 ∈ ℝ)
41	11, 19	remulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
42	22, 14	remulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 11573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
44	23, 43	remulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ∈ ℝ)
45	40, 44	remulcld 11170	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11572	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ∈ ℝ)
47	43	resqcld 14082	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) ∈ ℝ)
48		rpre 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
51	50	resqcld 14082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
52	16, 51	remulcld 11170	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
53	47, 52	resubcld 11573	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
54		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
55	25, 38, 46, 53, 54	requad2 48115	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0) ↔ 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))))))
56	8, 55	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
57		0xr 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ^*)
59		pnfxr 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → +∞ ∈ ℝ^*)
61		rpxr 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
62		rpge0 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
63		ltpnf 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 < +∞)
64	48, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 < +∞)
65	58, 60, 61, 62, 64	elicod 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
66		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
67	1, 2, 3, 4, 5, 66	2sphere0 49242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
75	74	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
76		fveq1 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = (𝑍‘1))
77		itscnhlinecirc02p.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}
78	77	fveq1i 6837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1)
79		1ne2 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 2
80		1ex 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
81		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑥 ∈ V
82	80, 81	fvpr1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥)
83	79, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥
84	78, 83	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍‘1) = 𝑥
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘1) = 𝑥)
86	76, 85	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘1) = 𝑥)
87	86	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘1)↑2) = (𝑥↑2))
88		fveq1 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = (𝑍‘2))
89	77	fveq1i 6837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2)
90		2ex 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ V
91		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
92	90, 91	fvpr2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦)
93	79, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦
94	89, 93	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍‘2) = 𝑦
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑍‘2) = 𝑦)
96	88, 95	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (𝑝‘2) = 𝑦)
97	96	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((𝑝‘2)↑2) = (𝑦↑2))
98	87, 97	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
99	98	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
100	99	elrab 3635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
102	75, 101	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
103		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
104		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
105		fveq1 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
107	106	necon3d 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌))
108	107	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)))
109	108	3imp 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
110	103, 104, 109	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
116		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
117		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
118		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
119	1, 2, 3, 6, 116, 117, 118	rrx2linest2 49236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
120	115, 119	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))})
121	120	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))}))
122	86	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥))
123	96	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦))
124	122, 123	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)))
125	124	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑍 → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
126	125	elrab 3635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
128	121, 127	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
129	102, 128	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
130	129	reubidva 3357	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
131		elelpwi 4552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
132	1, 3	prelrrx2 49205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
133	132	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
134	77	eleq1i 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ∈ 𝑃)
135	133, 134	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑃)
136	135	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2))))
137	136	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)))
138	135	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
139	138	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
140	137, 139	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
141	140	reubidva 3357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
142	131, 141	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
143	142	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
144	143	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
145	144	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))))
146	145	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
147	26, 33	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
149	148	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0))
150	19	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
151	22	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
152	150, 151	resubcld 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
153	11	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
154	153, 150	remulcld 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
155	14	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
156	151, 155	remulcld 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
157	154, 156	resubcld 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
158	149, 152, 157	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ))
159		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
161	160	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
162	131	expcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
163	162	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
164	163	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑦 ∈ ℝ))
165	164	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℝ)
166	158, 161, 165	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
167		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) = ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2))
168		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) = -(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))
169		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))
170	167, 168, 169	itsclquadeu 49269	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ≠ 0) ∧ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
171	166, 170	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
172	146, 171	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · 𝑥) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · 𝑦)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
173	130, 172	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
174	173	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) ∧ (♯‘𝑠) = 2) → (∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
175	174	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ℝ) → (((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
176	175	reubidva 3357	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (𝑦↑2)) + ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) · 𝑦) + (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2))))) = 0)))
177	56, 176	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑠 ∈ 𝒫 ℝ((♯‘𝑠) = 2 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃!wreu 3341 {crab 3390 𝒫 cpw 4542 {csn 4568 {cpr 4570 ⟨cop 4574 class class class wbr 5086 × cxp 5624 ‘cfv 6494 (class class class)co 7362 ↑_m cmap 8768 ℝcr 11032 0cc0 11033 1c1 11034 + caddc 11036 · cmul 11038 +∞cpnf 11171 ℝ^*cxr 11173 < clt 11174 − cmin 11372 -cneg 11373 2c2 12231 4c4 12233 ℝ⁺crp 12937 [,)cico 13295 ↑cexp 14018 ♯chash 14287 distcds 17224 ℝ^crrx 25364 Line_Mcline 49219 Spherecsph 49220

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5304 ax-pr 5372 ax-un 7684 ax-inf2 9557 ax-cnex 11089 ax-resscn 11090 ax-1cn 11091 ax-icn 11092 ax-addcl 11093 ax-addrcl 11094 ax-mulcl 11095 ax-mulrcl 11096 ax-mulcom 11097 ax-addass 11098 ax-mulass 11099 ax-distr 11100 ax-i2m1 11101 ax-1ne0 11102 ax-1rid 11103 ax-rnegex 11104 ax-rrecex 11105 ax-cnre 11106 ax-pre-lttri 11107 ax-pre-lttrn 11108 ax-pre-ltadd 11109 ax-pre-mulgt0 11110 ax-pre-sup 11111 ax-addf 11112 ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5521 df-eprel 5526 df-po 5534 df-so 5535 df-fr 5579 df-se 5580 df-we 5581 df-xp 5632 df-rel 5633 df-cnv 5634 df-co 5635 df-dm 5636 df-rn 5637 df-res 5638 df-ima 5639 df-pred 6261 df-ord 6322 df-on 6323 df-lim 6324 df-suc 6325 df-iota 6450 df-fun 6496 df-fn 6497 df-f 6498 df-f1 6499 df-fo 6500 df-f1o 6501 df-fv 6502 df-isom 6503 df-riota 7319 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7626 df-om 7813 df-1st 7937 df-2nd 7938 df-supp 8106 df-tpos 8171 df-frecs 8226 df-wrecs 8257 df-recs 8306 df-rdg 8344 df-1o 8400 df-2o 8401 df-oadd 8404 df-er 8638 df-map 8770 df-ixp 8841 df-en 8889 df-dom 8890 df-sdom 8891 df-fin 8892 df-fsupp 9270 df-sup 9350 df-oi 9420 df-dju 9820 df-card 9858 df-pnf 11176 df-mnf 11177 df-xr 11178 df-ltxr 11179 df-le 11180 df-sub 11374 df-neg 11375 df-div 11803 df-nn 12170 df-2 12239 df-3 12240 df-4 12241 df-5 12242 df-6 12243 df-7 12244 df-8 12245 df-9 12246 df-n0 12433 df-z 12520 df-dec 12640 df-uz 12784 df-rp 12938 df-xneg 13058 df-xadd 13059 df-xmul 13060 df-ico 13299 df-icc 13300 df-fz 13457 df-fzo 13604 df-seq 13959 df-exp 14019 df-hash 14288 df-cj 15056 df-re 15057 df-im 15058 df-sqrt 15192 df-abs 15193 df-clim 15445 df-sum 15644 df-struct 17112 df-sets 17129 df-slot 17147 df-ndx 17159 df-base 17175 df-ress 17196 df-plusg 17228 df-mulr 17229 df-starv 17230 df-sca 17231 df-vsca 17232 df-ip 17233 df-tset 17234 df-ple 17235 df-ds 17237 df-unif 17238 df-hom 17239 df-cco 17240 df-0g 17399 df-gsum 17400 df-prds 17405 df-pws 17407 df-mgm 18603 df-sgrp 18682 df-mnd 18698 df-mhm 18746 df-grp 18907 df-minusg 18908 df-sbg 18909 df-subg 19094 df-ghm 19183 df-cntz 19287 df-cmn 19752 df-abl 19753 df-mgp 20117 df-rng 20129 df-ur 20158 df-ring 20211 df-cring 20212 df-oppr 20312 df-dvdsr 20332 df-unit 20333 df-invr 20363 df-dvr 20376 df-rhm 20447 df-subrng 20518 df-subrg 20542 df-drng 20703 df-field 20704 df-staf 20811 df-srng 20812 df-lmod 20852 df-lss 20922 df-sra 21164 df-rgmod 21165 df-xmet 21341 df-met 21342 df-cnfld 21349 df-refld 21599 df-dsmm 21726 df-frlm 21741 df-nm 24561 df-tng 24563 df-tcph 25150 df-rrx 25366 df-ehl 25367 df-line 49221 df-sph 49222

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