Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesgbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesgbe 46058
Description: Any even Goldbach number is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesgbe (𝑁 ∈ GoldbachEven β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,π‘˜

Proof of Theorem nnsum3primesgbe
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 46017 . 2 (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))))
2 2nn 12233 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
32a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ 2 ∈ β„•)
4 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 2 β†’ (1...𝑑) = (1...2))
5 df-2 12223 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
65oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = (1...(1 + 1))
7 1z 12540 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„€
8 fzpr 13503 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ β„€ β†’ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
10 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
1110preq2i 4703 . . . . . . . . . . . 12 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
126, 9, 113eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
134, 12eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 β†’ (1...𝑑) = {1, 2})
1413oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 2 β†’ (β„™ ↑m (1...𝑑)) = (β„™ ↑m {1, 2}))
15 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 β†’ (𝑑 ≀ 3 ↔ 2 ≀ 3))
1613sumeq1d 15593 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 2 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))
1716eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 β†’ (𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
1815, 17anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 2 β†’ ((𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
1914, 18rexeqbidv 3323 . . . . . . . 8 (𝑑 = 2 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
2019adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) ∧ 𝑑 = 2) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
21 1ne2 12368 . . . . . . . . . . . . 13 1 β‰  2
22 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
23 2ex 12237 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
24 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑝 ∈ V
25 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ž ∈ V
2622, 23, 24, 25fpr 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (1 β‰  2 β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}:{1, 2}⟢{𝑝, π‘ž})
2721, 26mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}:{1, 2}⟢{𝑝, π‘ž})
28 prssi 4786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ {𝑝, π‘ž} βŠ† β„™)
2927, 28fssd 6691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„™)
30 prmex 16560 . . . . . . . . . . . . 13 β„™ ∈ V
31 prex 5394 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
3230, 31pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (β„™ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
33 elmapg 8785 . . . . . . . . . . . 12 ((β„™ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„™))
3432, 33mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„™))
3529, 34mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}))
36 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} ∧ π‘˜ ∈ {1, 2}) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜))
3837sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜))
3938eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)))
4039anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©} β†’ ((2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))))
4140adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}) β†’ ((2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))))
42 prmz 16558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
43 prmz 16558 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
44 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜1))
4522, 24fvpr1 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜1) = 𝑝)
4621, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜1) = 𝑝
4744, 46eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑝)
48 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜2))
4923, 25fvpr2 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜2) = π‘ž)
5021, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜2) = π‘ž
5148, 50eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = π‘ž)
52 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„€ β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
53 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ β„€ β†’ π‘ž ∈ β„‚)
5452, 53anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚))
557, 2pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„•)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„•))
5721a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ 1 β‰  2)
5847, 51, 54, 56, 57sumpr 15640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))
5942, 43, 58syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))
60 2re 12234 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
61 3re 12240 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
62 2lt3 12332 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
6360, 61, 62ltleii 11285 . . . . . . . . . . 11 2 ≀ 3
6459, 63jctil 521 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©}β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)))
6535, 41, 64rspcedvd 3586 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)))
6665adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)))
67 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = (𝑝 + π‘ž) β†’ (𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) ↔ (𝑝 + π‘ž) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
68 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 + π‘ž) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))
6967, 68bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = (𝑝 + π‘ž) β†’ (𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž)))
7069anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (𝑝 + π‘ž) β†’ ((2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))))
7170rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (𝑝 + π‘ž) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))))
72713ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))))
7372adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = (𝑝 + π‘ž))))
7466, 73mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
753, 20, 74rspcedvd 3586 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
7675a1d 25 . . . . 5 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ (𝑁 ∈ Even β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜))))
7776ex 414 . . . 4 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž)) β†’ (𝑁 ∈ Even β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))))
7877rexlimivv 3197 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž)) β†’ (𝑁 ∈ Even β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜))))
7978impcom 409 . 2 ((𝑁 ∈ Even ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + π‘ž))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
801, 79sylbi 216 1 (𝑁 ∈ GoldbachEven β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„€cz 12506  ...cfz 13431  Ξ£csu 15577  β„™cprime 16554   Even ceven 45890   Odd codd 45891   GoldbachEven cgbe 46011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-prm 16555  df-gbe 46014
This theorem is referenced by:  nnsum4primesgbe  46059  nnsum3primesle9  46060  bgoldbnnsum3prm  46070
  Copyright terms: Public domain W3C validator