Theorem nnsum3primesgbe 48283

Description: Any even Goldbach number is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesgbe	⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesgbe

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 48242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
2		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → 2 ∈ ℕ)
4		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
5		df-2 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
7		1z 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzpr 13524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
10		1p1e2 12292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	preq2i 4669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
12	6, 9, 11	3eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...2) = {1, 2}
13	4, 12	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
14	13	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
15		breq1 5075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
16	13	sumeq1d 15653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
17	16	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
18	15, 17	anbi12d 638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
19	14, 18	rexeqbidv 3314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑑 = 2) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
21		1ne2 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 2
22		1ex 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
23		2ex 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
24		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑝 ∈ V
25		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑞 ∈ V
26	22, 23, 24, 25	fpr 7097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
27	21, 26	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
28		prssi 4752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞} ⊆ ℙ)
29	27, 28	fssd 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
30		prmex 16637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ∈ V
31		prex 5367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {1, 2} ∈ V
32	30, 31	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
33		elmapg 8776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
35	29, 34	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}))
36		fveq1 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
38	37	sumeq2dv 15655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
39	38	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
40	39	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}) → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
42		prmz 16635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43		prmz 16635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1))
45	22, 24	fvpr1 7136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝)
46	21, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝
47	44, 46	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑝)
48		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2))
49	23, 25	fvpr2 7137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞)
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞
51	48, 50	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑞)
52		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℂ)
53		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℂ)
54	52, 53	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
55	7, 2	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ))
57	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 1 ≠ 2)
58	47, 51, 54, 56, 57	sumpr 15701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
59	42, 43, 58	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
60		2re 12246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
61		3re 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
62		2lt3 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
63	60, 61, 62	ltleii 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 3
64	59, 63	jctil 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
65	35, 41, 64	rspcedvd 3562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
66	65	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
67		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ (𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
68		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
69	67, 68	bitrdi 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
70	69	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → ((2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
71	70	rexbidv 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
72	71	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
73	72	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
74	66, 73	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
75	3, 20, 74	rspcedvd 3562	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
76	75	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
77	76	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))))
78	77	rexlimivv 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
79	78	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
80	1, 79	sylbi 218	1 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  {cpr 4557  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  ℤcz 12515  ...cfz 13452  Σcsu 15639  ℙcprime 16631   Even ceven 48115   Odd codd 48116   GoldbachEven cgbe 48236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-prm 16632  df-gbe 48239

This theorem is referenced by:  nnsum4primesgbe  48284  nnsum3primesle9  48285  bgoldbnnsum3prm  48295