Theorem nnsum3primesgbe 49026

Description: Any even Goldbach number is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesgbe	⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesgbe

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 48985	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
2		2nn 12423	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → 2 ∈ ℕ)
4		oveq2 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
5		df-2 12412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
7		1z 12733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzpr 13720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
10		1p1e2 12473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	preq2i 4694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
12	6, 9, 11	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...2) = {1, 2}
13	4, 12	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
14	13	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
15		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
16	13	sumeq1d 15876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
17	16	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
18	15, 17	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
19	14, 18	rexeqbidv 3335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑑 = 2) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
21		1ne2 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 2
22		1ex 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
23		2ex 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
24		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑝 ∈ V
25		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑞 ∈ V
26	22, 23, 24, 25	fpr 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
27	21, 26	mp1i 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
28		prssi 4776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞} ⊆ ℙ)
29	27, 28	fssd 6732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
30		prmex 16861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ∈ V
31		prex 5396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {1, 2} ∈ V
32	30, 31	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
33		elmapg 8867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
34	32, 33	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
35	29, 34	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}))
36		fveq1 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
38	37	sumeq2dv 15878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
39	38	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
40	39	anbi2d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}) → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
42		prmz 16859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43		prmz 16859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1))
45	22, 24	fvpr1 7201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝)
46	21, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝
47	44, 46	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑝)
48		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2))
49	23, 25	fvpr2 7202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞)
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞
51	48, 50	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑞)
52		zcn 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℂ)
53		zcn 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℂ)
54	52, 53	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
55	7, 2	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ))
57	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 1 ≠ 2)
58	47, 51, 54, 56, 57	sumpr 15923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
59	42, 43, 58	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
60		2re 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
61		3re 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
62		2lt3 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
63	60, 61, 62	ltleii 11440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 3
64	59, 63	jctil 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
65	35, 41, 64	rspcedvd 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
66	65	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
67		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ (𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
68		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
69	67, 68	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
70	69	anbi2d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → ((2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
71	70	rexbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
72	71	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
73	72	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
74	66, 73	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
75	3, 20, 74	rspcedvd 3578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
76	75	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
77	76	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))))
78	77	rexlimivv 3204	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))))
79	78	impcom 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
80	1, 79	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   ≤ cle 11351  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  ℤcz 12700  ...cfz 13646  Σcsu 15862  ℙcprime 16855   Even ceven 48858   Odd codd 48859   GoldbachEven cgbe 48979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-prm 16856  df-gbe 48982

This theorem is used by:  nnsum4primesgbe  49027  nnsum3primesle9  49028  bgoldbnnsum3prm  49038