Theorem prelrrx2b 49935

Description: Equivalent condition for being one of a pair of points in a real Euclidean space of dimension 2, determined by its coordinates. (Contributed by AV, 7-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2b	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌))) ↔ 𝑍 ∈ {⟨“𝐴𝐵”⟩, ⟨“𝑋𝑌”⟩}))

Proof of Theorem prelrrx2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	s2cld 15030	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ)
4		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
6	4, 5	s2cld 15030	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word ℝ)
7		elpr2g 4606	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝑍 ∈ {⟨“𝐴𝐵”⟩, ⟨“𝑋𝑌”⟩} ↔ (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∨ 𝑍 = ⟨“𝑋𝑌”⟩)))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 ∈ {⟨“𝐴𝐵”⟩, ⟨“𝑋𝑌”⟩} ↔ (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∨ 𝑍 = ⟨“𝑋𝑌”⟩)))
9		prelrrx2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
10		prelrrx2.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
11	9, 10, 1, 2	prelrrx2bd 49934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
12	9, 10, 4, 5	prelrrx2bd 49934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌))))
13	11, 12	orbi12d 932	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∨ 𝑍 = ⟨“𝑋𝑌”⟩) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵)) ∨ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌)))))
14		andi 1025	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌))) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵)) ∨ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌))))
15	13, 14	bitr4di 292	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∨ 𝑍 = ⟨“𝑋𝑌”⟩) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌)))))
16	8, 15	bitr2d 283	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘0) = 𝑋 ∧ (𝑍‘1) = 𝑌))) ↔ 𝑍 ∈ {⟨“𝐴𝐵”⟩, ⟨“𝑋𝑌”⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4586  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8854  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208  2c2 12404  ..^cfzo 13795  Word cword 14665  ⟨“cs2 15000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007

This theorem is used by:  itsclinecirc0in  49995