Theorem prelrrx2b 46012

Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2, determined by its coordinates. (Contributed by AV, 7-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2b	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))) ↔ 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}}))

Proof of Theorem prelrrx2b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelrrx2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	eleq2i 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
3		prelrrx2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
4	3	oveq2i 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
5	4	eleq2i 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
6	2, 5	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
7		elmapi 8611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) → 𝑍:{1, 2}⟶ℝ)
8		1ne2 12164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
9		1ex 10955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
10		2ex 12033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
11	9, 10	fprb 7063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 2 → (𝑍:{1, 2}⟶ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍:{1, 2}⟶ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩})
13		fveq1 6767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1))
14		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	9, 14	fvpr1 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥)
16	8, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘1) = 𝑥
17	13, 16	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (𝑍‘1) = 𝑥)
18	17	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → ((𝑍‘1) = 𝐴 ↔ 𝑥 = 𝐴))
19		fveq1 6767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2))
20		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	10, 20	fvpr2 7061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦)
22	8, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}‘2) = 𝑦
23	19, 22	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (𝑍‘2) = 𝑦)
24	23	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → ((𝑍‘2) = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
25	18, 24	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)))
27		opeq2 4810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, 𝐴⟩)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, 𝐴⟩)
29		opeq2 4810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨2, 𝑦⟩ = ⟨2, 𝐵⟩)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ⟨2, 𝑦⟩ = ⟨2, 𝐵⟩)
31	28, 30	preq12d 4682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩})
32	31	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ↔ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}))
33	32	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}))
35	26, 34	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}))
36	35	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩})))
37	36	rexlimdvva 3224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩})))
38	12, 37	syl5bi 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍:{1, 2}⟶ℝ → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩})))
39	7, 38	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩})))
40	6, 39	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 ∈ 𝑃 → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩})))
41	40	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) → 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}))
42	17	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → ((𝑍‘1) = 𝑋 ↔ 𝑥 = 𝑋))
43	23	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → ((𝑍‘2) = 𝑌 ↔ 𝑦 = 𝑌))
44	42, 43	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) ↔ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) ↔ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)))
46		opeq2 4810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, 𝑋⟩)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, 𝑋⟩)
48		opeq2 4810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⟨2, 𝑦⟩ = ⟨2, 𝑌⟩)
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ⟨2, 𝑦⟩ = ⟨2, 𝑌⟩)
50	47, 49	preq12d 4682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})
51	50	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} ↔ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
52	51	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
54	45, 53	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
55	54	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
56	55	rexlimdvva 3224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩} → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
57	12, 56	syl5bi 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍:{1, 2}⟶ℝ → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
58	7, 57	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
59	6, 58	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 ∈ 𝑃 → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
60	59	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) → 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
61	41, 60	orim12d 961	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)) → (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
62	61	imp 406	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))) → (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
63		elprg 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}} ↔ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
64	63	ad2antlr 723	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))) → (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}} ↔ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩})))
65	62, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))) → 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}})
66	65	expl 457	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))) → 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}}))
67		elpri 4588	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}} → (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}))
68	3, 1	prelrrx2 46011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)
69	68	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃)
70		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃))
71	70	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∈ 𝑃))
72	69, 71	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → 𝑍 ∈ 𝑃)
73		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
74	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
75		fvpr1g 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴)
76	9, 73, 74, 75	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		fvpr2g 7057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵)
79	10, 77, 74, 78	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵)
80	76, 79	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵))
81	80	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵))
82		fveq1 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1))
83	82	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → ((𝑍‘1) = 𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴))
84		fveq1 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2))
85	84	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → ((𝑍‘2) = 𝐵 ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵))
86	83, 85	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ↔ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵)))
87	86	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ↔ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}‘2) = 𝐵)))
88	81, 87	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → ((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵))
89	88	orcd 869	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)))
90	72, 89	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}) → (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))))
91	90	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} → (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)))))
92	3, 1	prelrrx2 46011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∈ 𝑃)
93	92	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∈ 𝑃)
94		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∈ 𝑃))
95	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} ∈ 𝑃))
96	93, 95	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → 𝑍 ∈ 𝑃)
97		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
98	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
99		fvpr1g 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋)
100	9, 97, 98, 99	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋)
101		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
102		fvpr2g 7057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌)
103	10, 101, 98, 102	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌)
104	100, 103	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌))
105	104	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌))
106		fveq1 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → (𝑍‘1) = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1))
107	106	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → ((𝑍‘1) = 𝑋 ↔ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋))
108		fveq1 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → (𝑍‘2) = ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2))
109	108	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → ((𝑍‘2) = 𝑌 ↔ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌))
110	107, 109	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) ↔ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌)))
111	110	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌) ↔ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}‘2) = 𝑌)))
112	105, 111	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))
113	112	olcd 870	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)))
114	96, 113	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))))
115	114	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩} → (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)))))
116	91, 115	jaod 855	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}) → (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)))))
117	67, 116	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}} → (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌)))))
118	66, 117	impbid 211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = 𝐴 ∧ (𝑍‘2) = 𝐵) ∨ ((𝑍‘1) = 𝑋 ∧ (𝑍‘2) = 𝑌))) ↔ 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}, {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩}}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∃wrex 3066  Vcvv 3430  {cpr 4568  ⟨cop 4572  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ↑_m cmap 8589  ℝcr 10854  1c1 10856  2c2 12011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-2 12019

This theorem is referenced by:  itsclinecirc0in  46073