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Theorem prelrrx2b 47478
Description: An unordered pair of ordered pairs with first components 1 and 2 and real numbers as second components is a point in a real Euclidean space of dimension 2, determined by its coordinates. (Contributed by AV, 7-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prelrrx2.i 𝐼 = {1, 2}
prelrrx2.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
prelrrx2b (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))) ↔ 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}}))

Proof of Theorem prelrrx2b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prelrrx2.b . . . . . . . . . 10 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
21eleq2i 2825 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
3 prelrrx2.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = {1, 2}
43oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
54eleq2i 2825 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
62, 5bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
7 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) β†’ 𝑍:{1, 2}βŸΆβ„)
8 1ne2 12422 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  2
9 1ex 11212 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
10 2ex 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
119, 10fprb 7197 . . . . . . . . . . 11 (1 β‰  2 β†’ (𝑍:{1, 2}βŸΆβ„ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}))
128, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑍:{1, 2}βŸΆβ„ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©})
13 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (π‘β€˜1) = ({⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}β€˜1))
14 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π‘₯ ∈ V
159, 14fvpr1 7193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}β€˜1) = π‘₯)
168, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}β€˜1) = π‘₯
1713, 16eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (π‘β€˜1) = π‘₯)
1817eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ ((π‘β€˜1) = 𝐴 ↔ π‘₯ = 𝐴))
19 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (π‘β€˜2) = ({⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}β€˜2))
20 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
2110, 20fvpr2 7195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}β€˜2) = 𝑦)
228, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}β€˜2) = 𝑦
2319, 22eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (π‘β€˜2) = 𝑦)
2423eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ ((π‘β€˜2) = 𝐡 ↔ 𝑦 = 𝐡))
2518, 24anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ↔ (π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡)))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ↔ (π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡)))
27 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ⟨1, π‘₯⟩ = ⟨1, 𝐴⟩)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ ⟨1, π‘₯⟩ = ⟨1, 𝐴⟩)
29 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝐡 β†’ ⟨2, π‘¦βŸ© = ⟨2, 𝐡⟩)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ ⟨2, π‘¦βŸ© = ⟨2, 𝐡⟩)
3128, 30preq12d 4745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩})
3231eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} ↔ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}))
3332biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ ((π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}) β†’ ((π‘₯ = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}))
3526, 34sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}))
3635ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩})))
3736rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩})))
3812, 37biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍:{1, 2}βŸΆβ„ β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩})))
397, 38syl5 34 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩})))
406, 39biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩})))
4140imp 407 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) β†’ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}))
4217eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ↔ π‘₯ = 𝑋))
4323eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ ((π‘β€˜2) = π‘Œ ↔ 𝑦 = π‘Œ))
4442, 43anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)))
46 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ⟨1, π‘₯⟩ = ⟨1, π‘‹βŸ©)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ⟨1, π‘₯⟩ = ⟨1, π‘‹βŸ©)
48 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘Œ β†’ ⟨2, π‘¦βŸ© = ⟨2, π‘ŒβŸ©)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ⟨2, π‘¦βŸ© = ⟨2, π‘ŒβŸ©)
5047, 49preq12d 4745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})
5150eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} ↔ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
5251biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}) β†’ ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
5445, 53sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
5554ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
5655rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝑍 = {⟨1, π‘₯⟩, ⟨2, π‘¦βŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
5712, 56biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍:{1, 2}βŸΆβ„ β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
587, 57syl5 34 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
596, 58biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
6059imp 407 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) β†’ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
6141, 60orim12d 963 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)) β†’ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
6261imp 407 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))) β†’ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
63 elprg 4649 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑃 β†’ (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}} ↔ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
6463ad2antlr 725 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))) β†’ (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}} ↔ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©})))
6562, 64mpbird 256 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}})
6665expl 458 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}}))
67 elpri 4650 . . 3 (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}} β†’ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}))
683, 1prelrrx2 47477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)
6968ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃)
70 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃))
7170adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∈ 𝑃))
7269, 71mpbird 256 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
73 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
748a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 1 β‰  2)
75 fvpr1g 7190 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴)
769, 73, 74, 75mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴)
77 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
78 fvpr2g 7191 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡)
7910, 77, 74, 78mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡)
8076, 79jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡))
8180ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡))
82 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ (π‘β€˜1) = ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1))
8382eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ ((π‘β€˜1) = 𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴))
84 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ (π‘β€˜2) = ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2))
8584eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ ((π‘β€˜2) = 𝐡 ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡))
8683, 85anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ↔ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡)))
8786adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ↔ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜1) = 𝐴 ∧ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}β€˜2) = 𝐡)))
8881, 87mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ ((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡))
8988orcd 871 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)))
9072, 89jca 512 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))))
9190ex 413 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)))))
923, 1prelrrx2 47477 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} ∈ 𝑃)
9392ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} ∈ 𝑃)
94 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} ∈ 𝑃))
9594adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} ∈ 𝑃))
9693, 95mpbird 256 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
97 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ 1 β‰  2)
99 fvpr1g 7190 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋)
1009, 97, 98, 99mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋)
101 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
102 fvpr2g 7191 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ V ∧ π‘Œ ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ)
10310, 101, 98, 102mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ)
104100, 103jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ))
105104ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ (({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ))
106 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ (π‘β€˜1) = ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1))
107106eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ↔ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋))
108 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ (π‘β€˜2) = ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2))
109108eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ ((π‘β€˜2) = π‘Œ ↔ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ))
110107, 109anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) ↔ (({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ)))
111110adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ) ↔ (({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜1) = 𝑋 ∧ ({⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}β€˜2) = π‘Œ)))
112105, 111mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))
113112olcd 872 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)))
11496, 113jca 512 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) ∧ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))))
115114ex 413 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©} β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)))))
11691, 115jaod 857 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ ((𝑍 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩} ∨ 𝑍 = {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}) β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)))))
11767, 116syl5 34 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ (𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}} β†’ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ)))))
11866, 117impbid 211 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ)) β†’ ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜2) = 𝐡) ∨ ((π‘β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜2) = π‘Œ))) ↔ 𝑍 ∈ {{⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐡⟩}, {⟨1, π‘‹βŸ©, ⟨2, π‘ŒβŸ©}}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„cr 11111  1c1 11113  2c2 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-2 12277
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