Theorem nnsum3primes4 48034

Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primes4	⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12218	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		1ne2 12348	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
3		1ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12222	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
5	3, 4, 4, 4	fpr 7099	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6		2prm 16619	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
7	6, 6	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
8	4, 4	prss 4776	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
9	7, 8	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ {2, 2} ⊆ ℙ
10		fss 6678	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
11	9, 10	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
12	2, 5, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13		prmex 16604	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
14		prex 5382	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	elmap 8809	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
16	12, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2})
17		2re 12219	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12225	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
19		2lt3 12312	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
20	17, 18, 19	ltleii 11256	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
21		2cn 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
23	3, 4	fvpr1 7138	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
25	22, 24	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
27	4, 4	fvpr2 7139	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
29	26, 28	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31	30	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
32	3	jctl 523	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
33	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
34	25, 29, 31, 32, 33	sumpr 15671	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36		2p2e4 12275	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
37	35, 36	eqtr2i 2760	. . . 4 ⊢ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
38	20, 37	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39		fveq1 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
40	39	sumeq2sdv 15626	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
41	40	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
42	41	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
43	42	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
44	16, 38, 43	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
45		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46		df-2 12208	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
47	46	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
48		1z 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
49		fzpr 13495	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51		1p1e2 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
52	51	preq2i 4694	. . . . . . . 8 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
53	50, 52	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
54	47, 53	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = {1, 2}
55	45, 54	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
56	55	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
57		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
58	55	sumeq1d 15623	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
59	58	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
60	57, 59	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
61	56, 60	rexeqbidv 3317	. . 3 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
62	61	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
63	1, 44, 62	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  ℤcz 12488  ...cfz 13423  Σcsu 15609  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  48035  nnsum3primesle9  48040