Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primes4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primes4 46456
Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primes4 βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜))
Distinct variable group:   𝑓,𝑑,π‘˜

Proof of Theorem nnsum3primes4
StepHypRef Expression
1 2nn 12285 . 2 2 ∈ β„•
2 1ne2 12420 . . . . 5 1 β‰  2
3 1ex 11210 . . . . . 6 1 ∈ V
4 2ex 12289 . . . . . 6 2 ∈ V
53, 4, 4, 4fpr 7152 . . . . 5 (1 β‰  2 β†’ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟢{2, 2})
6 2prm 16629 . . . . . . . 8 2 ∈ β„™
76, 6pm3.2i 472 . . . . . . 7 (2 ∈ β„™ ∧ 2 ∈ β„™)
84, 4prss 4824 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„™ ∧ 2 ∈ β„™) ↔ {2, 2} βŠ† β„™)
97, 8mpbi 229 . . . . . 6 {2, 2} βŠ† β„™
10 fss 6735 . . . . . 6 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟢{2, 2} ∧ {2, 2} βŠ† β„™) β†’ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™)
119, 10mpan2 690 . . . . 5 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟢{2, 2} β†’ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™)
122, 5, 11mp2b 10 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™
13 prmex 16614 . . . . 5 β„™ ∈ V
14 prex 5433 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14elmap 8865 . . . 4 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™)
1612, 15mpbir 230 . . 3 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (β„™ ↑m {1, 2})
17 2re 12286 . . . . 5 2 ∈ ℝ
18 3re 12292 . . . . 5 3 ∈ ℝ
19 2lt3 12384 . . . . 5 2 < 3
2017, 18, 19ltleii 11337 . . . 4 2 ≀ 3
21 2cn 12287 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
22 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜1))
233, 4fvpr1 7191 . . . . . . . . 9 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜1) = 2)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜1) = 2
2522, 24eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = 2)
26 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜2))
274, 4fvpr2 7193 . . . . . . . . 9 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜2) = 2)
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜2) = 2
2926, 28eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = 2)
30 id 22 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
3130ancri 551 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚))
323jctl 525 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ β„‚))
332a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ 1 β‰  2)
3425, 29, 31, 32, 33sumpr 15694 . . . . . 6 (2 ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = (2 + 2))
3521, 34ax-mp 5 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = (2 + 2)
36 2p2e4 12347 . . . . 5 (2 + 2) = 4
3735, 36eqtr2i 2762 . . . 4 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜)
3820, 37pm3.2i 472 . . 3 (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))
39 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))
4039sumeq2sdv 15650 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))
4140eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ (4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) ↔ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜)))
4241anbi2d 630 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ ((2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))))
4342rspcev 3613 . . 3 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
4416, 38, 43mp2an 691 . 2 βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))
45 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑑 = 2 β†’ (1...𝑑) = (1...2))
46 df-2 12275 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4746oveq2i 7420 . . . . . . 7 (1...2) = (1...(1 + 1))
48 1z 12592 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
49 fzpr 13556 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„€ β†’ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51 1p1e2 12337 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
5251preq2i 4742 . . . . . . . 8 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
5350, 52eqtri 2761 . . . . . . 7 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
5447, 53eqtri 2761 . . . . . 6 (1...2) = {1, 2}
5545, 54eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑑 = 2 β†’ (1...𝑑) = {1, 2})
5655oveq2d 7425 . . . 4 (𝑑 = 2 β†’ (β„™ ↑m (1...𝑑)) = (β„™ ↑m {1, 2}))
57 breq1 5152 . . . . 5 (𝑑 = 2 β†’ (𝑑 ≀ 3 ↔ 2 ≀ 3))
5855sumeq1d 15647 . . . . . 6 (𝑑 = 2 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))
5958eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑑 = 2 β†’ (4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
6057, 59anbi12d 632 . . . 4 (𝑑 = 2 β†’ ((𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
6156, 60rexeqbidv 3344 . . 3 (𝑑 = 2 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
6261rspcev 3613 . 2 ((2 ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
631, 44, 62mp2an 691 1 βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  β„€cz 12558  ...cfz 13484  Ξ£csu 15632  β„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  46457  nnsum3primesle9  46462
  Copyright terms: Public domain W3C validator