Theorem nnsum3primes4 48980

Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primes4	⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12420	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		1ne2 12557	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
3		1ex 11307	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12424	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
5	3, 4, 4, 4	fpr 7159	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6		2prm 16873	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
7	6, 6	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
8	4, 4	prss 4775	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
9	7, 8	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ {2, 2} ⊆ ℙ
10		fss 6727	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
11	9, 10	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
12	2, 5, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13		prmex 16858	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
14		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	elmap 8903	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
16	12, 15	mpbir 234	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2})
17		2re 12421	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12427	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
19		2lt3 12520	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
20	17, 18, 19	ltleii 11437	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
21		2cn 12422	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
23	3, 4	fvpr1 7198	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
25	22, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
27	4, 4	fvpr2 7199	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
29	26, 28	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31	30	ancri 559	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
32	3	jctl 533	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
33	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
34	25, 29, 31, 32, 33	sumpr 15920	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36		2p2e4 12481	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
37	35, 36	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
38	20, 37	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39		fveq1 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
40	39	sumeq2sdv 15876	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
41	40	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
42	41	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
43	42	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
44	16, 38, 43	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
45		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46		df-2 12409	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
47	46	oveq2i 7432	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
48		1z 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
49		fzpr 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51		1p1e2 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
52	51	preq2i 4694	. . . . . . . 8 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
53	50, 52	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
54	47, 53	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = {1, 2}
55	45, 54	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
56	55	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
57		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
58	55	sumeq1d 15873	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
59	58	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
60	57, 59	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
61	56, 60	rexeqbidv 3335	. . 3 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
62	61	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
63	1, 44, 62	mp2an 705	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  ℂcc 11202  1c1 11205   + caddc 11207   ≤ cle 11348  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  ℤcz 12697  ...cfz 13643  Σcsu 15859  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-dvds 16429  df-prm 16853

This theorem is used by:  nnsum4primes4  48981  nnsum3primesle9  48986