Theorem nnsum3primes4 46100

Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primes4	⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12235	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		1ne2 12370	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
3		1ex 11160	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12239	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
5	3, 4, 4, 4	fpr 7105	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6		2prm 16579	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
7	6, 6	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
8	4, 4	prss 4785	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
9	7, 8	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ {2, 2} ⊆ ℙ
10		fss 6690	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
11	9, 10	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
12	2, 5, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13		prmex 16564	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
14		prex 5394	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	elmap 8816	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
16	12, 15	mpbir 230	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2})
17		2re 12236	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12242	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
19		2lt3 12334	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
20	17, 18, 19	ltleii 11287	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
21		2cn 12237	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		fveq2 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
23	3, 4	fvpr1 7144	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
25	22, 24	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26		fveq2 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
27	4, 4	fvpr2 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
29	26, 28	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31	30	ancri 550	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
32	3	jctl 524	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
33	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
34	25, 29, 31, 32, 33	sumpr 15644	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36		2p2e4 12297	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
37	35, 36	eqtr2i 2760	. . . 4 ⊢ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
38	20, 37	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39		fveq1 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
40	39	sumeq2sdv 15600	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
41	40	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
42	41	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
43	42	rspcev 3582	. . 3 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
44	16, 38, 43	mp2an 690	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
45		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46		df-2 12225	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
47	46	oveq2i 7373	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
48		1z 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
49		fzpr 13506	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51		1p1e2 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
52	51	preq2i 4703	. . . . . . . 8 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
53	50, 52	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
54	47, 53	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = {1, 2}
55	45, 54	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
56	55	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
57		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
58	55	sumeq1d 15597	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
59	58	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
60	57, 59	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
61	56, 60	rexeqbidv 3318	. . 3 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
62	61	rspcev 3582	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
63	1, 44, 62	mp2an 690	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8772  ℂcc 11058  1c1 11061   + caddc 11063   ≤ cle 11199  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  ℤcz 12508  ...cfz 13434  Σcsu 15582  ℙcprime 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-dvds 16148  df-prm 16559

This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  46101  nnsum3primesle9  46106