Theorem nnsum3primes4 48145

Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primes4	⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12230	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		1ne2 12360	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
3		1ex 11140	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12234	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
5	3, 4, 4, 4	fpr 7109	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6		2prm 16631	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
7	6, 6	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
8	4, 4	prss 4778	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
9	7, 8	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ {2, 2} ⊆ ℙ
10		fss 6686	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
11	9, 10	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
12	2, 5, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13		prmex 16616	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
14		prex 5384	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	elmap 8821	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
16	12, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2})
17		2re 12231	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12237	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
19		2lt3 12324	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
20	17, 18, 19	ltleii 11268	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
21		2cn 12232	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
23	3, 4	fvpr1 7148	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
25	22, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
27	4, 4	fvpr2 7149	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
29	26, 28	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31	30	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
32	3	jctl 523	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
33	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
34	25, 29, 31, 32, 33	sumpr 15683	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36		2p2e4 12287	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
37	35, 36	eqtr2i 2761	. . . 4 ⊢ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
38	20, 37	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
40	39	sumeq2sdv 15638	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
41	40	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
42	41	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
43	42	rspcev 3578	. . 3 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
44	16, 38, 43	mp2an 693	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
45		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46		df-2 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
47	46	oveq2i 7379	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
48		1z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
49		fzpr 13507	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51		1p1e2 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
52	51	preq2i 4696	. . . . . . . 8 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
53	50, 52	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
54	47, 53	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = {1, 2}
55	45, 54	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
56	55	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
57		breq1 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
58	55	sumeq1d 15635	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
59	58	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
60	57, 59	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
61	56, 60	rexeqbidv 3319	. . 3 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
62	61	rspcev 3578	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
63	1, 44, 62	mp2an 693	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  ℤcz 12500  ...cfz 13435  Σcsu 15621  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  48146  nnsum3primesle9  48151