Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primes4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primes4 46755
Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primes4 βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜))
Distinct variable group:   𝑓,𝑑,π‘˜

Proof of Theorem nnsum3primes4
StepHypRef Expression
1 2nn 12290 . 2 2 ∈ β„•
2 1ne2 12425 . . . . 5 1 β‰  2
3 1ex 11215 . . . . . 6 1 ∈ V
4 2ex 12294 . . . . . 6 2 ∈ V
53, 4, 4, 4fpr 7154 . . . . 5 (1 β‰  2 β†’ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟢{2, 2})
6 2prm 16634 . . . . . . . 8 2 ∈ β„™
76, 6pm3.2i 470 . . . . . . 7 (2 ∈ β„™ ∧ 2 ∈ β„™)
84, 4prss 4823 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„™ ∧ 2 ∈ β„™) ↔ {2, 2} βŠ† β„™)
97, 8mpbi 229 . . . . . 6 {2, 2} βŠ† β„™
10 fss 6734 . . . . . 6 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟢{2, 2} ∧ {2, 2} βŠ† β„™) β†’ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™)
119, 10mpan2 688 . . . . 5 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟢{2, 2} β†’ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™)
122, 5, 11mp2b 10 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™
13 prmex 16619 . . . . 5 β„™ ∈ V
14 prex 5432 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14elmap 8869 . . . 4 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}βŸΆβ„™)
1612, 15mpbir 230 . . 3 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (β„™ ↑m {1, 2})
17 2re 12291 . . . . 5 2 ∈ ℝ
18 3re 12297 . . . . 5 3 ∈ ℝ
19 2lt3 12389 . . . . 5 2 < 3
2017, 18, 19ltleii 11342 . . . 4 2 ≀ 3
21 2cn 12292 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
22 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜1))
233, 4fvpr1 7193 . . . . . . . . 9 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜1) = 2)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜1) = 2
2522, 24eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = 2)
26 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜2))
274, 4fvpr2 7195 . . . . . . . . 9 (1 β‰  2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜2) = 2)
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜2) = 2
2926, 28eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = 2)
30 id 22 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
3130ancri 549 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚))
323jctl 523 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ β„‚))
332a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ 1 β‰  2)
3425, 29, 31, 32, 33sumpr 15699 . . . . . 6 (2 ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = (2 + 2))
3521, 34ax-mp 5 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜) = (2 + 2)
36 2p2e4 12352 . . . . 5 (2 + 2) = 4
3735, 36eqtr2i 2760 . . . 4 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜)
3820, 37pm3.2i 470 . . 3 (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))
39 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))
4039sumeq2sdv 15655 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))
4140eqeq2d 2742 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ (4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜) ↔ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜)))
4241anbi2d 628 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} β†’ ((2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))))
4342rspcev 3612 . . 3 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (β„™ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
4416, 38, 43mp2an 689 . 2 βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))
45 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑑 = 2 β†’ (1...𝑑) = (1...2))
46 df-2 12280 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4746oveq2i 7423 . . . . . . 7 (1...2) = (1...(1 + 1))
48 1z 12597 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
49 fzpr 13561 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„€ β†’ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51 1p1e2 12342 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
5251preq2i 4741 . . . . . . . 8 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
5350, 52eqtri 2759 . . . . . . 7 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
5447, 53eqtri 2759 . . . . . 6 (1...2) = {1, 2}
5545, 54eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝑑 = 2 β†’ (1...𝑑) = {1, 2})
5655oveq2d 7428 . . . 4 (𝑑 = 2 β†’ (β„™ ↑m (1...𝑑)) = (β„™ ↑m {1, 2}))
57 breq1 5151 . . . . 5 (𝑑 = 2 β†’ (𝑑 ≀ 3 ↔ 2 ≀ 3))
5855sumeq1d 15652 . . . . . 6 (𝑑 = 2 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))
5958eqeq2d 2742 . . . . 5 (𝑑 = 2 β†’ (4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜)))
6057, 59anbi12d 630 . . . 4 (𝑑 = 2 β†’ ((𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
6156, 60rexeqbidv 3342 . . 3 (𝑑 = 2 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))))
6261rspcev 3612 . 2 ((2 ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m {1, 2})(2 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2} (π‘“β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜)))
631, 44, 62mp2an 689 1 βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≀ 3 ∧ 4 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑑)(π‘“β€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824  β„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  β„€cz 12563  ...cfz 13489  Ξ£csu 15637  β„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  46756  nnsum3primesle9  46761
  Copyright terms: Public domain W3C validator