Theorem nnsum3primes4 45298

Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primes4	⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12092	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		1ne2 12227	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
3		1ex 11017	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12096	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
5	3, 4, 4, 4	fpr 7058	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6		2prm 16442	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
7	6, 6	pm3.2i 472	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
8	4, 4	prss 4759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
9	7, 8	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ {2, 2} ⊆ ℙ
10		fss 6647	. . . . . 6 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
11	9, 10	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
12	2, 5, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13		prmex 16427	. . . . 5 ⊢ ℙ ∈ V
14		prex 5364	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ V
15	13, 14	elmap 8690	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
16	12, 15	mpbir 230	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2})
17		2re 12093	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		3re 12099	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
19		2lt3 12191	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
20	17, 18, 19	ltleii 11144	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
21		2cn 12094	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		fveq2 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
23	3, 4	fvpr1 7097	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
25	22, 24	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26		fveq2 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
27	4, 4	fvpr2 7099	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
29	26, 28	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
31	30	ancri 551	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
32	3	jctl 525	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
33	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
34	25, 29, 31, 32, 33	sumpr 15505	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
35	21, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36		2p2e4 12154	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
37	35, 36	eqtr2i 2765	. . . 4 ⊢ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
38	20, 37	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39		fveq1 6803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
40	39	sumeq2sdv 15461	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
41	40	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
42	41	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
43	42	rspcev 3566	. . 3 ⊢ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
44	16, 38, 43	mp2an 690	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
45		oveq2 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46		df-2 12082	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
47	46	oveq2i 7318	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
48		1z 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
49		fzpr 13357	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51		1p1e2 12144	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
52	51	preq2i 4677	. . . . . . . 8 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
53	50, 52	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
54	47, 53	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = {1, 2}
55	45, 54	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
56	55	oveq2d 7323	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
57		breq1 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
58	55	sumeq1d 15458	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))
59	58	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘)))
60	57, 59	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
61	56, 60	rexeqbidv 3349	. . 3 ⊢ (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))))
62	61	rspcev 3566	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓‘𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘)))
63	1, 44, 62	mp2an 690	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓‘𝑘))

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892  {cpr 4567  ⟨cop 4571   class class class wbr 5081  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ↑_m cmap 8646  ℂcc 10915  1c1 10918   + caddc 10920   ≤ cle 11056  ℕcn 12019  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  ℤcz 12365  ...cfz 13285  Σcsu 15442  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-sum 15443  df-dvds 16009  df-prm 16422

This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  45299  nnsum3primesle9  45304