MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem3 21238
Description: Lemma 3 for m2detleib 21240. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
m2detleiblem3.m · = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   · (𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19245 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4 m2detleiblem3.m . . 3 · = (+g𝐺)
51fvexi 6675 . . . 4 𝐺 ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ V)
7 1ex 10635 . . . . . . 7 1 ∈ V
8 2nn 11707 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
9 prex 5320 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
109prid1 4683 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
11 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
13 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
1411, 12, 13symg2bas 18521 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
1510, 14eleqtrrid 2923 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
167, 8, 15mp2an 691 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
17 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
1816, 17mpbiri 261 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄𝑃)
19 m2detleiblem2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2013oveq1i 7159 . . . . . . 7 (𝑁 Mat 𝑅) = ({1, 2} Mat 𝑅)
2119, 20eqtri 2847 . . . . . 6 𝐴 = ({1, 2} Mat 𝑅)
22 m2detleiblem2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2313fveq2i 6664 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘{1, 2})
2423fveq2i 6664 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2512, 24eqtri 2847 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2621, 22, 25matepmcl 21071 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2718, 26syl3an2 1161 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2813mpteq1i 5142 . . . . 5 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
2928fmpt 6865 . . . 4 (∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
3027, 29sylib 221 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
313, 4, 6, 30gsumpr12val 17899 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)))
327prid1 4683 . . . . . 6 1 ∈ {1, 2}
3332, 13eleqtrri 2915 . . . . 5 1 ∈ 𝑁
3419, 22, 12matepmcl 21071 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
3518, 34syl3an2 1161 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
36 fveq2 6661 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘1))
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
3836, 37oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘1)𝑀1))
3938eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)))
4039rspcva 3607 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
4133, 35, 40sylancr 590 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
42 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
4338, 42fvmptg 6757 . . . . 5 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4433, 41, 43sylancr 590 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
45 fveq1 6660 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
46 1ne2 11842 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
477, 7fvpr1 6943 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1
4945, 48syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = 1)
50493ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘1) = 1)
5150oveq1d 7164 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) = (1𝑀1))
5244, 51eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = (1𝑀1))
53 2ex 11711 . . . . . . 7 2 ∈ V
5453prid2 4684 . . . . . 6 2 ∈ {1, 2}
5554, 13eleqtrri 2915 . . . . 5 2 ∈ 𝑁
56 fveq2 6661 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘2))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → 𝑛 = 2)
5856, 57oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘2)𝑀2))
5958eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)))
6059rspcva 3607 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6155, 35, 60sylancr 590 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6258, 42fvmptg 6757 . . . . 5 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6355, 61, 62sylancr 590 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
64 fveq1 6660 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
6553, 53fvpr2 6944 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
6646, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
6764, 66syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = 2)
68673ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘2) = 2)
6968oveq1d 7164 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) = (2𝑀2))
7063, 69eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = (2𝑀2))
7152, 70oveq12d 7167 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
7231, 71eqtrd 2859 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  Vcvv 3480  {cpr 4552  cop 4556  cmpt 5132  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  1c1 10536  cn 11634  2c2 11689  Basecbs 16483  +gcplusg 16565   Σg cgsu 16714  SymGrpcsymg 18495  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297   Mat cmat 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-efmnd 18034  df-symg 18496  df-mgp 19240  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017
This theorem is referenced by:  m2detleib  21240
  Copyright terms: Public domain W3C validator