Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem4 21234
 Description: Lemma 4 for m2detleib 21235. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
m2detleiblem3.m · = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   · (𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem4
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19243 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4 m2detleiblem3.m . . 3 · = (+g𝐺)
51fvexi 6673 . . . 4 𝐺 ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ V)
7 1ex 10631 . . . . . . 7 1 ∈ V
8 2nn 11705 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
9 prex 5321 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
109prid2 4684 . . . . . . . 8 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
11 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
13 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
1411, 12, 13symg2bas 18519 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
1510, 14eleqtrrid 2923 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
167, 8, 15mp2an 691 . . . . . 6 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
17 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
1816, 17mpbiri 261 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄𝑃)
19 m2detleiblem2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2013oveq1i 7156 . . . . . . 7 (𝑁 Mat 𝑅) = ({1, 2} Mat 𝑅)
2119, 20eqtri 2847 . . . . . 6 𝐴 = ({1, 2} Mat 𝑅)
22 m2detleiblem2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2313fveq2i 6662 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘{1, 2})
2423fveq2i 6662 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2512, 24eqtri 2847 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2621, 22, 25matepmcl 21066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2718, 26syl3an2 1161 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2813mpteq1i 5143 . . . . 5 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
2928fmpt 6863 . . . 4 (∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
3027, 29sylib 221 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
313, 4, 6, 30gsumpr12val 17897 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)))
327prid1 4683 . . . . . 6 1 ∈ {1, 2}
3332, 13eleqtrri 2915 . . . . 5 1 ∈ 𝑁
3419, 22, 12matepmcl 21066 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
3518, 34syl3an2 1161 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
36 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘1))
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
3836, 37oveq12d 7164 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘1)𝑀1))
3938eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)))
4039rspcva 3607 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
4133, 35, 40sylancr 590 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
42 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
4338, 42fvmptg 6755 . . . . 5 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4433, 41, 43sylancr 590 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
45 fveq1 6658 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘1) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘1))
46 1ne2 11840 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
47 2ex 11709 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
487, 47fvpr1 6941 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘1) = 2)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘1) = 2
5045, 49syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘1) = 2)
51503ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘1) = 2)
5251oveq1d 7161 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) = (2𝑀1))
5344, 52eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = (2𝑀1))
5447prid2 4684 . . . . . 6 2 ∈ {1, 2}
5554, 13eleqtrri 2915 . . . . 5 2 ∈ 𝑁
56 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘2))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → 𝑛 = 2)
5856, 57oveq12d 7164 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘2)𝑀2))
5958eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)))
6059rspcva 3607 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6155, 35, 60sylancr 590 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6258, 42fvmptg 6755 . . . . 5 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6355, 61, 62sylancr 590 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
64 fveq1 6658 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘2) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘2))
6547, 7fvpr2 6942 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘2) = 1)
6646, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘2) = 1
6764, 66syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘2) = 1)
68673ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘2) = 1)
6968oveq1d 7161 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) = (1𝑀2))
7063, 69eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = (1𝑀2))
7153, 70oveq12d 7164 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
7231, 71eqtrd 2859 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  Vcvv 3480  {cpr 4552  ⟨cop 4556   ↦ cmpt 5133  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  1c1 10532  ℕcn 11632  2c2 11687  Basecbs 16481  +gcplusg 16563   Σg cgsu 16712  SymGrpcsymg 18493  mulGrpcmgp 19237  Ringcrg 19295   Mat cmat 21011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-seq 13372  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-hom 16587  df-cco 16588  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-prds 16719  df-pws 16721  df-efmnd 18032  df-symg 18494  df-mgp 19238  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-dsmm 20871  df-frlm 20886  df-mat 21012 This theorem is referenced by:  m2detleib  21235
 Copyright terms: Public domain W3C validator