Theorem grpinvinvd 33426

Description: Double inverse law for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinvd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinvd.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvinvd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvinvd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvinvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinvd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvinvd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvinvd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvinvd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvinv 19118	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  Grpcgrp 19046  inv_gcminusg 19047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050

This theorem is used by:  gsummulsubdishift2  33455  vietalem  34035