Theorem grpinvinvd 33180

Description: Double inverse law for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinvd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinvd.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvinvd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvinvd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvinvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinvd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvinvd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvinvd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvinvd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvinv 19038	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  Grpcgrp 18966  inv_gcminusg 18967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2  33210  vietalem  33837