Theorem grpinvinvd 33481

Description: Double inverse law for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinvd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinvd.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvinvd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvinvd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvinvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinvd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvinvd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvinvd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvinvd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvinv 19130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062

This theorem is used by:  gsummulsubdishift2  33510  vietalem  34090