Theorem grpinvinvd 33120

Description: Double inverse law for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinvd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinvd.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvinvd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvinvd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvinvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinvd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvinvd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvinvd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvinvd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvinv 18972	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2  33150  vietalem  33763