MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvinv 18892
Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinv
StepHypRef Expression
1 grpinvinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinvinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 18874 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
4 eqid 2732 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2732 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
61, 4, 5, 2grprinv 18877 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = (0g𝐺))
73, 6syldan 591 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = (0g𝐺))
81, 4, 5, 2grplinv 18876 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
97, 8eqtr4d 2775 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋))
10 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
111, 2grpinvcl 18874 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
123, 11syldan 591 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
13 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
141, 4grplcan 18887 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋))
1510, 12, 13, 3, 14syl13anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋))
169, 15mpbid 231 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825
This theorem is referenced by:  grpinv11  18894  grpinvnz  18896  grpsubinv  18898  grpinvsub  18907  grpsubeq0  18911  grpnpcan  18917  mulgneg  18974  mulgnegneg  18975  mulginvinv  18982  mulgdir  18988  mulgass  18993  eqger  19060  frgpuptinv  19641  ablsub2inv  19678  mulgdi  19696  invghm  19703  ringm2neg  20122  unitinvinv  20209  unitnegcl  20215  irrednegb  20249  abvneg  20446  lspsnneg  20622  islindf4  21399  tgpconncomp  23624  archirngz  32376  archiabllem1b  32379  baerlem5amN  40673  baerlem5bmN  40674  baerlem5abmN  40675  fldhmf1  41041  nelsubginvcld  41156  rngm2neg  46747
  Copyright terms: Public domain W3C validator