Theorem grpsubcld 32981

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcld.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpsubcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubcld.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 19001	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  Grpcgrp 18914  -_gcsg 18916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919

This theorem is referenced by:  assalactf1o  33621