Theorem grpsubcld 33649

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcld.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpsubcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubcld.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 19236	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  Grpcgrp 19150  -_gcsg 19152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155

This theorem is used by:  gsummulsubdishift2  33677  conjga  33778  cntrval2  33779  dflring2  34072  dflring3  34076  vietadeg1  34257  vietalem  34258  assalactf1o  34314