Theorem grpsubcld 33274

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcld.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpsubcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubcld.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 19077	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Grpcgrp 18990  -_gcsg 18992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2  33302  conjga  33403  cntrval2  33404  dflring2  33700  dflring3  33704  vietadeg1  33885  vietalem  33886  assalactf1o  33942