Theorem grpsubcld 33032

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcld.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpsubcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubcld.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 18943	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  Grpcgrp 18856  -_gcsg 18858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861

This theorem is referenced by:  conjga  33150  cntrval2  33151  assalactf1o  33659