Theorem grpsubcld 33104

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcld.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpsubcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubcld.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 18954	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  Grpcgrp 18867  -_gcsg 18869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2  33133  conjga  33233  cntrval2  33234  vietadeg1  33715  vietalem  33716  assalactf1o  33773