Theorem gsummulsubdishift2 33389

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
gsummulsubdishift2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4	ringcmnd 20363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
8		gsummulsubdishift.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
9		fzfid 14005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
10		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
11	8, 9, 10	fdmfifsupp 9331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 finSupp (0g‘𝑅))
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	gsumcl 19980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) ∈ 𝐵)
13		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
14	4	ringgrpd 20319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	1, 13, 14, 15, 16	grpsubcld 33361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	ringmneg2 20384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
19	1, 13, 3	grpinvsub 19083	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
21	20	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)))
22		gsummulsubdishift.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23		gsummulsubdishift.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		gsummulsubdishift2.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
25	24	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))))
26		0elfz 13648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
27	23, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
28	8, 27	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 4, 28, 16	ringcld 20334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵)
30		nn0fz0 13649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	23, 30	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
32	8, 31	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 4, 32, 15	ringcld 20334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵)
34	1, 13, 3	grpinvsub 19083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
35	14, 29, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
36	25, 35	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
37		gsummulsubdishift2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
38	37	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
39	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
40	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
41	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
42		fzofzp1 13789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41, 43	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
45	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 40, 44, 45	ringcld 20334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵)
47		fzossfz 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
48		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
49	47, 48	sselid 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
50	41, 49	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
51	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
52	1, 2, 40, 50, 51	ringcld 20334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
53	1, 13, 3	grpinvsub 19083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
54	39, 46, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
55	38, 54	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
56	1, 22, 13, 2, 4, 15, 16, 23, 8, 36, 55	gsummulsubdishift1 33388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸)))
57	56	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))))
58	4	ringabld 20362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
59		fzofi 14006	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
60	59	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
61	1, 13, 39, 46, 52	grpsubcld 33361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
62	37, 61	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
63	1, 3, 39, 62	grpinvcld 19050	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
64	63	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
65	1, 6, 60, 64	gsummptcl 20032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵)
66	1, 13, 14, 29, 33	grpsubcld 33361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
67	24, 66	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
68	1, 3, 14, 67	grpinvcld 19050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵)
69	1, 22, 3	ablinvadd 19872	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
70	58, 65, 68, 69	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
71	63	fmpttd 7110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)):(0..^𝑁)⟶𝐵)
72	71, 60, 10	fidmfisupp 9328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)) finSupp (0g‘𝑅))
73	1, 5, 3, 58, 60, 71, 72	gsuminv 20011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))))
74	1, 3	grpinvf 19048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
75	14, 74	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
76	75, 63	cofmpt 7128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))))
77	1, 3, 39, 62	grpinvinvd 33360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹)) = 𝐹)
78	77	mpteq2dva 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
79	76, 78	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
80	79	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
81	73, 80	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
82	1, 3, 14, 67	grpinvinvd 33360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸)) = 𝐸)
83	81, 82	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
84	57, 70, 83	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
85	18, 21, 84	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  Abelcabl 19846  Ringcrg 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2s  33391