Theorem gsummulsubdishift2 33130

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
gsummulsubdishift2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4	ringcmnd 20265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		ovexd 7402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
8		gsummulsubdishift.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
9		fzfid 13935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
10		fvexd 6855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
11	8, 9, 10	fdmfifsupp 9288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 finSupp (0g‘𝑅))
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	gsumcl 19890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) ∈ 𝐵)
13		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
14	4	ringgrpd 20223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	1, 13, 14, 15, 16	grpsubcld 33101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	ringmneg2 20286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
19	1, 13, 3	grpinvsub 18998	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
21	20	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)))
22		gsummulsubdishift.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23		gsummulsubdishift.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		gsummulsubdishift2.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
25	24	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))))
26		0elfz 13578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
27	23, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
28	8, 27	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 4, 28, 16	ringcld 20241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵)
30		nn0fz0 13579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	23, 30	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
32	8, 31	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 4, 32, 15	ringcld 20241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵)
34	1, 13, 3	grpinvsub 18998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
35	14, 29, 33, 34	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
36	25, 35	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
37		gsummulsubdishift2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
38	37	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
39	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
40	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
41	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
42		fzofzp1 13719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41, 43	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
45	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 40, 44, 45	ringcld 20241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵)
47		fzossfz 13633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
49	47, 48	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
50	41, 49	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
51	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
52	1, 2, 40, 50, 51	ringcld 20241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
53	1, 13, 3	grpinvsub 18998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
54	39, 46, 52, 53	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
55	38, 54	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
56	1, 22, 13, 2, 4, 15, 16, 23, 8, 36, 55	gsummulsubdishift1 33129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸)))
57	56	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))))
58	4	ringabld 20264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
59		fzofi 13936	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
60	59	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
61	1, 13, 39, 46, 52	grpsubcld 33101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
62	37, 61	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
63	1, 3, 39, 62	grpinvcld 18964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
64	63	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
65	1, 6, 60, 64	gsummptcl 19942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵)
66	1, 13, 14, 29, 33	grpsubcld 33101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
67	24, 66	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
68	1, 3, 14, 67	grpinvcld 18964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵)
69	1, 22, 3	ablinvadd 19782	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
70	58, 65, 68, 69	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
71	63	fmpttd 7067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)):(0..^𝑁)⟶𝐵)
72	71, 60, 10	fidmfisupp 9285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)) finSupp (0g‘𝑅))
73	1, 5, 3, 58, 60, 71, 72	gsuminv 19921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))))
74	1, 3	grpinvf 18962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
75	14, 74	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
76	75, 63	cofmpt 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))))
77	1, 3, 39, 62	grpinvinvd 33100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹)) = 𝐹)
78	77	mpteq2dva 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
79	76, 78	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
80	79	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
81	73, 80	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
82	1, 3, 14, 67	grpinvinvd 33100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸)) = 𝐸)
83	81, 82	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
84	57, 70, 83	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
85	18, 21, 84	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  -_gcsg 18911  Abelcabl 19756  Ringcrg 20214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2s  33132