Theorem gsummulsubdishift2 33729

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
gsummulsubdishift2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4	ringcmnd 20564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		ovexd 7486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
8		gsummulsubdishift.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
9		fzfid 14156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
10		fvexd 6931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
11	8, 9, 10	fdmfifsupp 9404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 finSupp (0g‘𝑅))
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	gsumcl 20180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) ∈ 𝐵)
13		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
14	4	ringgrpd 20520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	1, 13, 14, 15, 16	grpsubcld 33701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	ringmneg2 20587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
19	1, 13, 3	grpinvsub 19282	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
21	20	oveq2d 7467	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)))
22		gsummulsubdishift.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23		gsummulsubdishift.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		gsummulsubdishift2.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
25	24	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))))
26		0elfz 13798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
27	23, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
28	8, 27	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 4, 28, 16	ringcld 20535	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵)
30		nn0fz0 13799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	23, 30	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
32	8, 31	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 4, 32, 15	ringcld 20535	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵)
34	1, 13, 3	grpinvsub 19282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
35	14, 29, 33, 34	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
36	25, 35	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
37		gsummulsubdishift2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
38	37	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
39	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
40	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
41	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
42		fzofzp1 13939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41, 43	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
45	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 40, 44, 45	ringcld 20535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵)
47		fzossfz 13853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
48		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
49	47, 48	sselid 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
50	41, 49	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
51	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
52	1, 2, 40, 50, 51	ringcld 20535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
53	1, 13, 3	grpinvsub 19282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
54	39, 46, 52, 53	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
55	38, 54	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
56	1, 22, 13, 2, 4, 15, 16, 23, 8, 36, 55	gsummulsubdishift1 33728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸)))
57	56	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))))
58	4	ringabld 20563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
59		fzofi 14157	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
60	59	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
61	1, 13, 39, 46, 52	grpsubcld 33701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
62	37, 61	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
63	1, 3, 39, 62	grpinvcld 19249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
64	63	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
65	1, 6, 60, 64	gsummptcl 20232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵)
66	1, 13, 14, 29, 33	grpsubcld 33701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
67	24, 66	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
68	1, 3, 14, 67	grpinvcld 19249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵)
69	1, 22, 3	ablinvadd 20072	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
70	58, 65, 68, 69	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
71	63	fmpttd 7147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)):(0..^𝑁)⟶𝐵)
72	71, 60, 10	fdmfifsupp 9404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)) finSupp (0g‘𝑅))
73	1, 5, 3, 58, 60, 71, 72	gsuminv 20211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))))
74	1, 3	grpinvf 19247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
75	14, 74	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
76	75, 63	cofmpt 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))))
77	1, 3, 39, 62	grpinvinvd 33700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹)) = 𝐹)
78	77	mpteq2dva 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
79	76, 78	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
80	79	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
81	73, 80	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
82	1, 3, 14, 67	grpinvinvd 33700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸)) = 𝐸)
83	81, 82	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
84	57, 70, 83	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
85	18, 21, 84	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  Abelcabl 20046  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512

This theorem is used by:  gsummulsubdishift2s  33731