Theorem gsummulsubdishift2 33326

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
gsummulsubdishift2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4	ringcmnd 20363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		ovexd 7443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
8		gsummulsubdishift.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
9		fzfid 14005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
10		fvexd 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
11	8, 9, 10	fdmfifsupp 9331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 finSupp (0g‘𝑅))
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	gsumcl 19981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) ∈ 𝐵)
13		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
14	4	ringgrpd 20320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	1, 13, 14, 15, 16	grpsubcld 33298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	ringmneg2 20384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
19	1, 13, 3	grpinvsub 19084	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
21	20	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)))
22		gsummulsubdishift.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23		gsummulsubdishift.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		gsummulsubdishift2.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
25	24	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))))
26		0elfz 13648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
27	23, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
28	8, 27	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 4, 28, 16	ringcld 20338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵)
30		nn0fz0 13649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	23, 30	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
32	8, 31	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 4, 32, 15	ringcld 20338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵)
34	1, 13, 3	grpinvsub 19084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
35	14, 29, 33, 34	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
36	25, 35	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
37		gsummulsubdishift2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
38	37	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
39	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
40	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
41	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
42		fzofzp1 13789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41, 43	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
45	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 40, 44, 45	ringcld 20338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵)
47		fzossfz 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
48		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
49	47, 48	sselid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
50	41, 49	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
51	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
52	1, 2, 40, 50, 51	ringcld 20338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
53	1, 13, 3	grpinvsub 19084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
54	39, 46, 52, 53	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
55	38, 54	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
56	1, 22, 13, 2, 4, 15, 16, 23, 8, 36, 55	gsummulsubdishift1 33325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸)))
57	56	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))))
58	4	ringabld 20362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
59		fzofi 14006	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
60	59	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
61	1, 13, 39, 46, 52	grpsubcld 33298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
62	37, 61	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
63	1, 3, 39, 62	grpinvcld 19051	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
64	63	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
65	1, 6, 60, 64	gsummptcl 20033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵)
66	1, 13, 14, 29, 33	grpsubcld 33298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
67	24, 66	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
68	1, 3, 14, 67	grpinvcld 19051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵)
69	1, 22, 3	ablinvadd 19873	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
70	58, 65, 68, 69	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
71	63	fmpttd 7108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)):(0..^𝑁)⟶𝐵)
72	71, 60, 10	fidmfisupp 9328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)) finSupp (0g‘𝑅))
73	1, 5, 3, 58, 60, 71, 72	gsuminv 20012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))))
74	1, 3	grpinvf 19049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
75	14, 74	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
76	75, 63	cofmpt 7126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))))
77	1, 3, 39, 62	grpinvinvd 33297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹)) = 𝐹)
78	77	mpteq2dva 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
79	76, 78	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
80	79	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
81	73, 80	eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
82	1, 3, 14, 67	grpinvinvd 33297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸)) = 𝐸)
83	81, 82	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
84	57, 70, 83	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
85	18, 21, 84	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℕ₀cn0 12500  ...cfz 13531  ..^cfzo 13678  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  Grpcgrp 18996  inv_gcminusg 18997  -_gcsg 18998  Abelcabl 19847  Ringcrg 20311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2s  33328