Theorem gsummulsubdishift2 33210

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
gsummulsubdishift2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4	ringcmnd 20321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		ovexd 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
8		gsummulsubdishift.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
9		fzfid 13980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
10		fvexd 6877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
11	8, 9, 10	fdmfifsupp 9315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 finSupp (0g‘𝑅))
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	gsumcl 19946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) ∈ 𝐵)
13		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
14	4	ringgrpd 20279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
17	1, 13, 14, 15, 16	grpsubcld 33181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	ringmneg2 20342	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))))
19	1, 13, 3	grpinvsub 19055	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐶))
21	20	oveq2d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · ((invg‘𝑅)‘(𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)))
22		gsummulsubdishift.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23		gsummulsubdishift.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		gsummulsubdishift2.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)))
25	24	fveq2d 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))))
26		0elfz 13623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
27	23, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
28	8, 27	ffvelcdmd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
29	1, 2, 4, 28, 16	ringcld 20297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵)
30		nn0fz0 13624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	23, 30	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
32	8, 31	ffvelcdmd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 4, 32, 15	ringcld 20297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵)
34	1, 13, 3	grpinvsub 19055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘0) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
35	14, 29, 33, 34	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
36	25, 35	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) = (((𝐷‘𝑁) · 𝐶) − ((𝐷‘0) · 𝐴)))
37		gsummulsubdishift2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
38	37	fveq2d 6866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
39	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Grp)
40	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
41	8	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
42		fzofzp1 13764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41, 43	ffvelcdmd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
45	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
46	1, 2, 40, 44, 45	ringcld 20297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵)
47		fzossfz 13678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
48		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
49	47, 48	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
50	41, 49	ffvelcdmd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
51	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
52	1, 2, 40, 50, 51	ringcld 20297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
53	1, 13, 3	grpinvsub 19055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
54	39, 46, 52, 53	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘(((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
55	38, 54	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) = (((𝐷‘𝑘) · 𝐶) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴)))
56	1, 22, 13, 2, 4, 15, 16, 23, 8, 36, 55	gsummulsubdishift1 33209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸)))
57	56	fveq2d 6866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))))
58	4	ringabld 20320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
59		fzofi 13981	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
60	59	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
61	1, 13, 39, 46, 52	grpsubcld 33181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
62	37, 61	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
63	1, 3, 39, 62	grpinvcld 19021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
64	63	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((invg‘𝑅)‘𝐹) ∈ 𝐵)
65	1, 6, 60, 64	gsummptcl 19998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵)
66	1, 13, 14, 29, 33	grpsubcld 33181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘0) · 𝐴) − ((𝐷‘𝑁) · 𝐶)) ∈ 𝐵)
67	24, 66	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
68	1, 3, 14, 67	grpinvcld 19021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵)
69	1, 22, 3	ablinvadd 19838	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐸) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
70	58, 65, 68, 69	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) + ((invg‘𝑅)‘𝐸))) = (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))))
71	63	fmpttd 7091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)):(0..^𝑁)⟶𝐵)
72	71, 60, 10	fidmfisupp 9312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)) finSupp (0g‘𝑅))
73	1, 5, 3, 58, 60, 71, 72	gsuminv 19977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))))
74	1, 3	grpinvf 19019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
75	14, 74	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅):𝐵⟶𝐵)
76	75, 63	cofmpt 7109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))))
77	1, 3, 39, 62	grpinvinvd 33180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹)) = 𝐹)
78	77	mpteq2dva 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
79	76, 78	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹))
80	79	oveq2d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg ((invg‘𝑅) ∘ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
81	73, 80	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)))
82	1, 3, 14, 67	grpinvinvd 33180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸)) = 𝐸)
83	81, 82	oveq12d 7409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((invg‘𝑅)‘𝐹)))) + ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝐸))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
84	57, 70, 83	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐶 − 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
85	18, 21, 84	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5178   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070  ℕ₀cn0 12475  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  ._rcmulr 17278  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460  Grpcgrp 18966  inv_gcminusg 18967  -_gcsg 18968  Abelcabl 19812  Ringcrg 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2s  33212