Theorem grplidd 18911

Description: The identity element of a group is a left identity. Deduction associated with grplid 18909. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grplidd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grplidd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grplidd	⊢ (𝜑 → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplidd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grplidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	grplid 18909	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
7	1, 2, 6	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878

This theorem is referenced by:  eqger  19119  conjnmz  19193  rngqiprngimfolem  21257  rngqiprngfulem5  21282  ofldchr  21543  mhpaddcl  22106  r1pid2  26135  conjga  33263  erler  33358  rlocaddval  33361  rlocmulval  33362  rloccring  33363  rloc0g  33364  qsnzr  33547  qsdrngilem  33586  ressply1evls1  33657  r1pid2OLD  33701  mplgsum  33729  esplyind  33751  dimkerim  33804  rtelextdg2lem  33903  primrootspoweq0  42470  aks6d1c6lem5  42541  grpcominv1  42872