Theorem grprid 18935

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18907	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18714	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903

This theorem is referenced by:  grpridd  18937  grpinvid1  18958  grpinvid2  18959  grpidinv2  18964  grpasscan2  18969  grpidrcan  18970  grpraddf1o  18981  grpsubid1  18992  grpsubadd  18995  grppncan  18998  mulgaddcom  19065  mulgdirlem  19072  mulgmodid  19080  nmzsubg  19131  0nsg  19135  ghmquskerlem1  19249  cntzsubg  19305  cayleylem2  19379  odbezout  19524  lsmdisj2  19648  pj1lid  19667  frgpuplem  19738  abladdsub4  19777  odadd2  19815  gex2abl  19817  ogrpaddltbi  20105  ogrpinvlt  20110  rnglz  20137  isabvd  20780  lmod0vrid  20879  lmodfopne  20886  islmhm2  21025  rnglidl0  21219  lsmcss  21682  mplcoe1  22025  mdetero  22585  mdetunilem6  22592  opnsubg  24083  tgpconncompeqg  24087  snclseqg  24091  clmvz  25088  deg1add  26078  gsumsubg  33122  archiabllem2a  33270  archiabllem2c  33271  lindsunlem  33784  lflmul  39528  cdlemn4  41658  mapdh6cN  42198  hdmap1l6c  42272  hdmapinvlem3  42380  hdmapinvlem4  42381  hdmapglem7b  42388  fsuppind  43037