Theorem grprid 18853

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18826	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18646	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822

This theorem is referenced by:  grpridd  18855  grpinvid1  18876  grpinvid2  18877  grpidinv2  18882  grpasscan2  18887  grpidrcan  18888  grpsubid1  18908  grpsubadd  18911  grppncan  18914  mulgaddcom  18978  mulgdirlem  18985  mulgmodid  18993  nmzsubg  19045  0nsg  19049  cntzsubg  19203  cayleylem2  19281  odbezout  19426  lsmdisj2  19550  pj1lid  19569  frgpuplem  19640  abladdsub4  19679  odadd2  19717  gex2abl  19719  ringlz  20107  isabvd  20428  lmod0vrid  20503  lmodfopne  20510  islmhm2  20649  lsmcss  21245  mplcoe1  21592  mdetero  22112  mdetunilem6  22119  opnsubg  23612  tgpconncompeqg  23616  snclseqg  23620  clmvz  24627  deg1add  25621  gsumsubg  32198  ogrpaddltbi  32236  ogrpinvlt  32241  archiabllem2a  32340  archiabllem2c  32341  ghmquskerlem1  32528  lindsunlem  32709  lflmul  37938  cdlemn4  40069  mapdh6cN  40609  hdmap1l6c  40683  hdmapinvlem3  40791  hdmapinvlem4  40792  hdmapglem7b  40799  fsuppind  41162  rnglz  46664  rnglidl0  46752