Theorem grprid 18128

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18104	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 17926	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  0_gc0g 16707  Mndcmnd 17905  Grpcgrp 18097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100

This theorem is referenced by:  grprcan  18131  grpinvid1  18148  grpinvid2  18149  grpidinv2  18152  grpasscan2  18157  grpidrcan  18158  grpsubid1  18178  grpsubadd  18181  grppncan  18184  mulgaddcom  18245  mulgdirlem  18252  mulgmodid  18260  nmzsubg  18311  0nsg  18315  cntzsubg  18461  cayleylem2  18535  odbezout  18679  lsmdisj2  18802  pj1lid  18821  frgpuplem  18892  abladdsub4  18928  odadd2  18963  gex2abl  18965  ringlz  19331  isabvd  19585  lmod0vrid  19659  lmodfopne  19666  islmhm2  19804  mplcoe1  20240  mhpinvcl  20333  lsmcss  20830  mdetero  21213  mdetunilem6  21220  opnsubg  22710  tgpconncompeqg  22714  snclseqg  22718  clmvz  23709  deg1add  24691  gsumsubg  30679  ogrpaddltbi  30714  ogrpinvlt  30719  archiabllem2a  30818  archiabllem2c  30819  lindsunlem  31015  lflmul  36198  cdlemn4  38328  mapdh6cN  38868  hdmap1l6c  38942  hdmapinvlem3  39050  hdmapinvlem4  39051  hdmapglem7b  39058  rnglz  44149