Theorem grprid 18951

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18923	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18733	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712  Grpcgrp 18916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919

This theorem is referenced by:  grpridd  18953  grpinvid1  18974  grpinvid2  18975  grpidinv2  18980  grpasscan2  18985  grpidrcan  18986  grpraddf1o  18997  grpsubid1  19008  grpsubadd  19011  grppncan  19014  mulgaddcom  19081  mulgdirlem  19088  mulgmodid  19096  nmzsubg  19148  0nsg  19152  ghmquskerlem1  19266  cntzsubg  19322  cayleylem2  19394  odbezout  19539  lsmdisj2  19663  pj1lid  19682  frgpuplem  19753  abladdsub4  19792  odadd2  19830  gex2abl  19832  rnglz  20125  isabvd  20772  lmod0vrid  20850  lmodfopne  20857  islmhm2  20996  rnglidl0  21190  lsmcss  21652  mplcoe1  21995  mdetero  22548  mdetunilem6  22555  opnsubg  24046  tgpconncompeqg  24050  snclseqg  24054  clmvz  25062  deg1add  26060  gsumsubg  33040  ogrpaddltbi  33086  ogrpinvlt  33091  archiabllem2a  33192  archiabllem2c  33193  lindsunlem  33664  lflmul  39086  cdlemn4  41217  mapdh6cN  41757  hdmap1l6c  41831  hdmapinvlem3  41939  hdmapinvlem4  41940  hdmapglem7b  41947  fsuppind  42613