Theorem grprid 18398

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18372	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18194	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Mndcmnd 18173  Grpcgrp 18365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368

This theorem is referenced by:  grprcan  18401  grpinvid1  18418  grpinvid2  18419  grpidinv2  18422  grpasscan2  18427  grpidrcan  18428  grpsubid1  18448  grpsubadd  18451  grppncan  18454  mulgaddcom  18515  mulgdirlem  18522  mulgmodid  18530  nmzsubg  18581  0nsg  18585  cntzsubg  18731  cayleylem2  18805  odbezout  18949  lsmdisj2  19072  pj1lid  19091  frgpuplem  19162  abladdsub4  19199  odadd2  19234  gex2abl  19236  ringlz  19605  isabvd  19856  lmod0vrid  19930  lmodfopne  19937  islmhm2  20075  lsmcss  20654  mplcoe1  20994  mdetero  21507  mdetunilem6  21514  opnsubg  23005  tgpconncompeqg  23009  snclseqg  23013  clmvz  24008  deg1add  25001  gsumsubg  31025  ogrpaddltbi  31063  ogrpinvlt  31068  archiabllem2a  31167  archiabllem2c  31168  lindsunlem  31419  lflmul  36819  cdlemn4  38949  mapdh6cN  39489  hdmap1l6c  39563  hdmapinvlem3  39671  hdmapinvlem4  39672  hdmapglem7b  39679  fsuppind  39989  rnglz  45115