Theorem grprid 18900

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18872	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18682	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by:  grpridd  18902  grpinvid1  18923  grpinvid2  18924  grpidinv2  18929  grpasscan2  18934  grpidrcan  18935  grpraddf1o  18946  grpsubid1  18957  grpsubadd  18960  grppncan  18963  mulgaddcom  19030  mulgdirlem  19037  mulgmodid  19045  nmzsubg  19097  0nsg  19101  ghmquskerlem1  19215  cntzsubg  19271  cayleylem2  19343  odbezout  19488  lsmdisj2  19612  pj1lid  19631  frgpuplem  19702  abladdsub4  19741  odadd2  19779  gex2abl  19781  rnglz  20074  isabvd  20721  lmod0vrid  20799  lmodfopne  20806  islmhm2  20945  rnglidl0  21139  lsmcss  21601  mplcoe1  21944  mdetero  22497  mdetunilem6  22504  opnsubg  23995  tgpconncompeqg  23999  snclseqg  24003  clmvz  25011  deg1add  26008  gsumsubg  32986  ogrpaddltbi  33032  ogrpinvlt  33037  archiabllem2a  33148  archiabllem2c  33149  lindsunlem  33620  lflmul  39061  cdlemn4  41192  mapdh6cN  41732  hdmap1l6c  41806  hdmapinvlem3  41914  hdmapinvlem4  41915  hdmapglem7b  41922  fsuppind  42578