Theorem grprid 19025

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18997	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18803	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  grpridd  19027  grpinvid1  19048  grpinvid2  19049  grpidinv2  19054  grpasscan2  19059  grpidrcan  19060  grpraddf1o  19071  grpsubid1  19082  grpsubadd  19085  grppncan  19088  mulgaddcom  19155  mulgdirlem  19162  mulgmodid  19170  nmzsubg  19222  0nsg  19226  ghmquskerlem1  19344  cntzsubg  19400  cayleylem2  19474  odbezout  19619  lsmdisj2  19743  pj1lid  19762  frgpuplem  19833  abladdsub4  19872  odadd2  19910  gex2abl  19912  ogrpaddltbi  20200  ogrpinvlt  20205  rnglz  20234  isabvd  20884  lmod0vrid  20983  lmodfopne  20990  islmhm2  21128  rnglidl0  21324  lsmcss  21802  mplcoe1  22148  mdetero  22728  mdetunilem6  22735  opnsubg  24226  tgpconncompeqg  24230  snclseqg  24234  clmvz  25231  deg1add  26221  gsumsubg  33279  archiabllem2a  33427  archiabllem2c  33428  lindsunlem  33931  lflmul  39704  cdlemn4  41834  mapdh6cN  42374  hdmap1l6c  42448  hdmapinvlem3  42556  hdmapinvlem4  42557  hdmapglem7b  42564  fsuppind  43184