Theorem grprid 18883

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18855	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18665	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Mndcmnd 18644  Grpcgrp 18848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851

This theorem is referenced by:  grpridd  18885  grpinvid1  18906  grpinvid2  18907  grpidinv2  18912  grpasscan2  18917  grpidrcan  18918  grpraddf1o  18929  grpsubid1  18940  grpsubadd  18943  grppncan  18946  mulgaddcom  19013  mulgdirlem  19020  mulgmodid  19028  nmzsubg  19079  0nsg  19083  ghmquskerlem1  19197  cntzsubg  19253  cayleylem2  19327  odbezout  19472  lsmdisj2  19596  pj1lid  19615  frgpuplem  19686  abladdsub4  19725  odadd2  19763  gex2abl  19765  ogrpaddltbi  20053  ogrpinvlt  20058  rnglz  20085  isabvd  20729  lmod0vrid  20828  lmodfopne  20835  islmhm2  20974  rnglidl0  21168  lsmcss  21631  mplcoe1  21973  mdetero  22526  mdetunilem6  22533  opnsubg  24024  tgpconncompeqg  24028  snclseqg  24032  clmvz  25039  deg1add  26036  gsumsubg  33033  archiabllem2a  33170  archiabllem2c  33171  lindsunlem  33658  lflmul  39187  cdlemn4  41317  mapdh6cN  41857  hdmap1l6c  41931  hdmapinvlem3  42039  hdmapinvlem4  42040  hdmapglem7b  42047  fsuppind  42708