Theorem grprid 19098

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19070	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18864	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066

This theorem is used by:  grpridd  19100  grpinvid1  19121  grpinvid2  19122  grpidinv2  19127  grpasscan2  19132  grpidrcan  19133  grpraddf1o  19143  grpsubid1  19154  grpsubadd  19157  grppncan  19160  mulgaddcom  19227  mulgdirlem  19234  mulgmodid  19242  nmzsubg  19294  0nsg  19298  ghmquskerlem1  19416  cntzsubg  19472  cayleylem2  19546  odbezout  19691  lsmdisj2  19815  pj1lid  19834  frgpuplem  19905  abladdsub4  19944  odadd2  19982  gex2abl  19984  ogrpaddltbi  20272  ogrpinvlt  20277  rnglz  20306  isabvd  20984  lmod0vrid  21083  lmodfopne  21090  islmhm2  21228  rnglidl0  21424  lsmcss  21911  mplcoe1  22259  mdetero  22838  mdetunilem6  22845  opnsubg  24340  tgpconncompeqg  24344  snclseqg  24348  clmvz  25345  deg1add  26335  gsumsubg  33494  archiabllem2a  33642  archiabllem2c  33643  lindsunlem  34142  lflmul  39949  cdlemn4  42079  mapdh6cN  42619  hdmap1l6c  42693  hdmapinvlem3  42801  hdmapinvlem4  42802  hdmapglem7b  42809  fsuppind  43444