Theorem grprid 19159

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19131	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18925	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  Grpcgrp 19124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127

This theorem is used by:  grpridd  19161  grpinvid1  19182  grpinvid2  19183  grpidinv2  19188  grpasscan2  19193  grpidrcan  19194  grpraddf1o  19204  grpsubid1  19215  grpsubadd  19218  grppncan  19221  mulgaddcom  19288  mulgdirlem  19295  mulgmodid  19303  nmzsubg  19355  0nsg  19359  ghmquskerlem1  19477  cntzsubg  19533  cayleylem2  19607  odbezout  19752  lsmdisj2  19876  pj1lid  19895  frgpuplem  19966  abladdsub4  20005  odadd2  20043  gex2abl  20045  ogrpaddltbi  20333  ogrpinvlt  20338  rnglz  20367  isabvd  21049  lmod0vrid  21148  lmodfopne  21155  islmhm2  21293  rnglidl0  21489  lsmcss  21978  mplcoe1  22326  mdetero  22905  mdetunilem6  22912  opnsubg  24407  tgpconncompeqg  24411  snclseqg  24415  clmvz  25412  deg1add  26401  gsumsubg  33589  archiabllem2a  33737  archiabllem2c  33738  lindsunlem  34238  lflmul  40093  cdlemn4  42223  mapdh6cN  42763  hdmap1l6c  42837  hdmapinvlem3  42945  hdmapinvlem4  42946  hdmapglem7b  42953  fsuppind  43580