Theorem grprid 18591

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18565	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18387	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  0_gc0g 17131  Mndcmnd 18366  Grpcgrp 18558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561

This theorem is referenced by:  grprcan  18594  grpinvid1  18611  grpinvid2  18612  grpidinv2  18615  grpasscan2  18620  grpidrcan  18621  grpsubid1  18641  grpsubadd  18644  grppncan  18647  mulgaddcom  18708  mulgdirlem  18715  mulgmodid  18723  nmzsubg  18774  0nsg  18778  cntzsubg  18924  cayleylem2  19002  odbezout  19146  lsmdisj2  19269  pj1lid  19288  frgpuplem  19359  abladdsub4  19396  odadd2  19431  gex2abl  19433  ringlz  19807  isabvd  20061  lmod0vrid  20135  lmodfopne  20142  islmhm2  20281  lsmcss  20878  mplcoe1  21219  mdetero  21740  mdetunilem6  21747  opnsubg  23240  tgpconncompeqg  23244  snclseqg  23248  clmvz  24255  deg1add  25249  gsumsubg  31285  ogrpaddltbi  31323  ogrpinvlt  31328  archiabllem2a  31427  archiabllem2c  31428  lindsunlem  31684  lflmul  37061  cdlemn4  39191  mapdh6cN  39731  hdmap1l6c  39805  hdmapinvlem3  39913  hdmapinvlem4  39914  hdmapglem7b  39921  fsuppind  40259  rnglz  45394