Theorem grprid 18878

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18850	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18660	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  Mndcmnd 18639  Grpcgrp 18843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846

This theorem is referenced by:  grpridd  18880  grpinvid1  18901  grpinvid2  18902  grpidinv2  18907  grpasscan2  18912  grpidrcan  18913  grpraddf1o  18924  grpsubid1  18935  grpsubadd  18938  grppncan  18941  mulgaddcom  19008  mulgdirlem  19015  mulgmodid  19023  nmzsubg  19075  0nsg  19079  ghmquskerlem1  19193  cntzsubg  19249  cayleylem2  19323  odbezout  19468  lsmdisj2  19592  pj1lid  19611  frgpuplem  19682  abladdsub4  19721  odadd2  19759  gex2abl  19761  ogrpaddltbi  20049  ogrpinvlt  20054  rnglz  20081  isabvd  20725  lmod0vrid  20824  lmodfopne  20831  islmhm2  20970  rnglidl0  21164  lsmcss  21627  mplcoe1  21970  mdetero  22523  mdetunilem6  22530  opnsubg  24021  tgpconncompeqg  24025  snclseqg  24029  clmvz  25036  deg1add  26033  gsumsubg  33021  archiabllem2a  33158  archiabllem2c  33159  lindsunlem  33632  lflmul  39106  cdlemn4  41236  mapdh6cN  41776  hdmap1l6c  41850  hdmapinvlem3  41958  hdmapinvlem4  41959  hdmapglem7b  41966  fsuppind  42622