Theorem grprid 19008

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18980	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18793	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976

This theorem is referenced by:  grpridd  19010  grpinvid1  19031  grpinvid2  19032  grpidinv2  19037  grpasscan2  19042  grpidrcan  19043  grpraddf1o  19054  grpsubid1  19065  grpsubadd  19068  grppncan  19071  mulgaddcom  19138  mulgdirlem  19145  mulgmodid  19153  nmzsubg  19205  0nsg  19209  ghmquskerlem1  19323  cntzsubg  19379  cayleylem2  19455  odbezout  19600  lsmdisj2  19724  pj1lid  19743  frgpuplem  19814  abladdsub4  19853  odadd2  19891  gex2abl  19893  rnglz  20192  isabvd  20835  lmod0vrid  20913  lmodfopne  20920  islmhm2  21060  rnglidl0  21262  lsmcss  21733  mplcoe1  22078  mdetero  22637  mdetunilem6  22644  opnsubg  24137  tgpconncompeqg  24141  snclseqg  24145  clmvz  25163  deg1add  26162  gsumsubg  33029  ogrpaddltbi  33068  ogrpinvlt  33073  archiabllem2a  33174  archiabllem2c  33175  lindsunlem  33637  lflmul  39024  cdlemn4  41155  mapdh6cN  41695  hdmap1l6c  41769  hdmapinvlem3  41877  hdmapinvlem4  41878  hdmapglem7b  41885  fsuppind  42545