Theorem grprid 18865

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18837	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18647	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626  Grpcgrp 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833

This theorem is referenced by:  grpridd  18867  grpinvid1  18888  grpinvid2  18889  grpidinv2  18894  grpasscan2  18899  grpidrcan  18900  grpraddf1o  18911  grpsubid1  18922  grpsubadd  18925  grppncan  18928  mulgaddcom  18995  mulgdirlem  19002  mulgmodid  19010  nmzsubg  19062  0nsg  19066  ghmquskerlem1  19180  cntzsubg  19236  cayleylem2  19310  odbezout  19455  lsmdisj2  19579  pj1lid  19598  frgpuplem  19669  abladdsub4  19708  odadd2  19746  gex2abl  19748  ogrpaddltbi  20036  ogrpinvlt  20041  rnglz  20068  isabvd  20715  lmod0vrid  20814  lmodfopne  20821  islmhm2  20960  rnglidl0  21154  lsmcss  21617  mplcoe1  21960  mdetero  22513  mdetunilem6  22520  opnsubg  24011  tgpconncompeqg  24015  snclseqg  24019  clmvz  25027  deg1add  26024  gsumsubg  33012  archiabllem2a  33146  archiabllem2c  33147  lindsunlem  33596  lflmul  39046  cdlemn4  41177  mapdh6cN  41717  hdmap1l6c  41791  hdmapinvlem3  41899  hdmapinvlem4  41900  hdmapglem7b  41907  fsuppind  42563