Theorem grprid 18944

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18916	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18723	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  Grpcgrp 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912

This theorem is referenced by:  grpridd  18946  grpinvid1  18967  grpinvid2  18968  grpidinv2  18973  grpasscan2  18978  grpidrcan  18979  grpraddf1o  18990  grpsubid1  19001  grpsubadd  19004  grppncan  19007  mulgaddcom  19074  mulgdirlem  19081  mulgmodid  19089  nmzsubg  19140  0nsg  19144  ghmquskerlem1  19258  cntzsubg  19314  cayleylem2  19388  odbezout  19533  lsmdisj2  19657  pj1lid  19676  frgpuplem  19747  abladdsub4  19786  odadd2  19824  gex2abl  19826  ogrpaddltbi  20114  ogrpinvlt  20119  rnglz  20146  isabvd  20789  lmod0vrid  20888  lmodfopne  20895  islmhm2  21033  rnglidl0  21227  lsmcss  21672  mplcoe1  22015  mdetero  22575  mdetunilem6  22582  opnsubg  24073  tgpconncompeqg  24077  snclseqg  24081  clmvz  25078  deg1add  26068  gsumsubg  33107  archiabllem2a  33255  archiabllem2c  33256  lindsunlem  33768  lflmul  39514  cdlemn4  41644  mapdh6cN  42184  hdmap1l6c  42258  hdmapinvlem3  42366  hdmapinvlem4  42367  hdmapglem7b  42374  fsuppind  43023