Theorem grprid 18993

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18965	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18772	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 589	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751  Grpcgrp 18958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961

This theorem is referenced by:  grpridd  18995  grpinvid1  19016  grpinvid2  19017  grpidinv2  19022  grpasscan2  19027  grpidrcan  19028  grpraddf1o  19039  grpsubid1  19050  grpsubadd  19053  grppncan  19056  mulgaddcom  19123  mulgdirlem  19130  mulgmodid  19138  nmzsubg  19189  0nsg  19193  ghmquskerlem1  19306  cntzsubg  19362  cayleylem2  19436  odbezout  19581  lsmdisj2  19705  pj1lid  19724  frgpuplem  19795  abladdsub4  19834  odadd2  19872  gex2abl  19874  ogrpaddltbi  20162  ogrpinvlt  20167  rnglz  20194  isabvd  20841  lmod0vrid  20940  lmodfopne  20947  islmhm2  21085  rnglidl0  21279  lsmcss  21724  mplcoe1  22070  mdetero  22650  mdetunilem6  22657  opnsubg  24148  tgpconncompeqg  24152  snclseqg  24156  clmvz  25153  deg1add  26143  gsumsubg  33187  archiabllem2a  33335  archiabllem2c  33336  lindsunlem  33882  lflmul  39656  cdlemn4  41786  mapdh6cN  42326  hdmap1l6c  42400  hdmapinvlem3  42508  hdmapinvlem4  42509  hdmapglem7b  42516  fsuppind  43136