Theorem grprid 18986

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18958	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18768	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954

This theorem is referenced by:  grpridd  18988  grpinvid1  19009  grpinvid2  19010  grpidinv2  19015  grpasscan2  19020  grpidrcan  19021  grpraddf1o  19032  grpsubid1  19043  grpsubadd  19046  grppncan  19049  mulgaddcom  19116  mulgdirlem  19123  mulgmodid  19131  nmzsubg  19183  0nsg  19187  ghmquskerlem1  19301  cntzsubg  19357  cayleylem2  19431  odbezout  19576  lsmdisj2  19700  pj1lid  19719  frgpuplem  19790  abladdsub4  19829  odadd2  19867  gex2abl  19869  rnglz  20162  isabvd  20813  lmod0vrid  20891  lmodfopne  20898  islmhm2  21037  rnglidl0  21239  lsmcss  21710  mplcoe1  22055  mdetero  22616  mdetunilem6  22623  opnsubg  24116  tgpconncompeqg  24120  snclseqg  24124  clmvz  25144  deg1add  26142  gsumsubg  33049  ogrpaddltbi  33095  ogrpinvlt  33100  archiabllem2a  33201  archiabllem2c  33202  lindsunlem  33675  lflmul  39069  cdlemn4  41200  mapdh6cN  41740  hdmap1l6c  41814  hdmapinvlem3  41922  hdmapinvlem4  41923  hdmapglem7b  41930  fsuppind  42600