Theorem grprid 18898

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18870	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18680	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866

This theorem is referenced by:  grpridd  18900  grpinvid1  18921  grpinvid2  18922  grpidinv2  18927  grpasscan2  18932  grpidrcan  18933  grpraddf1o  18944  grpsubid1  18955  grpsubadd  18958  grppncan  18961  mulgaddcom  19028  mulgdirlem  19035  mulgmodid  19043  nmzsubg  19094  0nsg  19098  ghmquskerlem1  19212  cntzsubg  19268  cayleylem2  19342  odbezout  19487  lsmdisj2  19611  pj1lid  19630  frgpuplem  19701  abladdsub4  19740  odadd2  19778  gex2abl  19780  ogrpaddltbi  20068  ogrpinvlt  20073  rnglz  20100  isabvd  20745  lmod0vrid  20844  lmodfopne  20851  islmhm2  20990  rnglidl0  21184  lsmcss  21647  mplcoe1  21992  mdetero  22554  mdetunilem6  22561  opnsubg  24052  tgpconncompeqg  24056  snclseqg  24060  clmvz  25067  deg1add  26064  gsumsubg  33129  archiabllem2a  33276  archiabllem2c  33277  lindsunlem  33781  lflmul  39324  cdlemn4  41454  mapdh6cN  41994  hdmap1l6c  42068  hdmapinvlem3  42176  hdmapinvlem4  42177  hdmapglem7b  42184  fsuppind  42829