Theorem grprid 18907

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18879	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18689	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  Grpcgrp 18872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875

This theorem is referenced by:  grpridd  18909  grpinvid1  18930  grpinvid2  18931  grpidinv2  18936  grpasscan2  18941  grpidrcan  18942  grpraddf1o  18953  grpsubid1  18964  grpsubadd  18967  grppncan  18970  mulgaddcom  19037  mulgdirlem  19044  mulgmodid  19052  nmzsubg  19104  0nsg  19108  ghmquskerlem1  19222  cntzsubg  19278  cayleylem2  19350  odbezout  19495  lsmdisj2  19619  pj1lid  19638  frgpuplem  19709  abladdsub4  19748  odadd2  19786  gex2abl  19788  rnglz  20081  isabvd  20728  lmod0vrid  20806  lmodfopne  20813  islmhm2  20952  rnglidl0  21146  lsmcss  21608  mplcoe1  21951  mdetero  22504  mdetunilem6  22511  opnsubg  24002  tgpconncompeqg  24006  snclseqg  24010  clmvz  25018  deg1add  26015  gsumsubg  32993  ogrpaddltbi  33039  ogrpinvlt  33044  archiabllem2a  33155  archiabllem2c  33156  lindsunlem  33627  lflmul  39068  cdlemn4  41199  mapdh6cN  41739  hdmap1l6c  41813  hdmapinvlem3  41921  hdmapinvlem4  41922  hdmapglem7b  41929  fsuppind  42585