Theorem grprid 19184

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19156	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18950	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Mndcmnd 18928  Grpcgrp 19149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152

This theorem is used by:  grpridd  19186  grpinvid1  19207  grpinvid2  19208  grpidinv2  19213  grpasscan2  19218  grpidrcan  19219  grpraddf1o  19229  grpsubid1  19240  grpsubadd  19243  grppncan  19246  mulgaddcom  19313  mulgdirlem  19320  mulgmodid  19328  nmzsubg  19380  0nsg  19384  ghmquskerlem1  19502  cntzsubg  19558  cayleylem2  19632  odbezout  19777  lsmdisj2  19901  pj1lid  19920  frgpuplem  19991  abladdsub4  20030  odadd2  20068  gex2abl  20070  ogrpaddltbi  20358  ogrpinvlt  20363  rnglz  20392  isabvd  21074  lmod0vrid  21173  lmodfopne  21180  islmhm2  21318  rnglidl0  21514  lsmcss  22003  mplcoe1  22351  mdetero  22930  mdetunilem6  22937  opnsubg  24432  tgpconncompeqg  24436  snclseqg  24440  clmvz  25437  deg1add  26426  gsumsubg  33653  archiabllem2a  33801  archiabllem2c  33802  lindsunlem  34302  lflmul  40218  cdlemn4  42348  mapdh6cN  42888  hdmap1l6c  42962  hdmapinvlem3  43070  hdmapinvlem4  43071  hdmapglem7b  43078  fsuppind  43711