Theorem grprid 18942

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18914	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18721	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 586	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700  Grpcgrp 18907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910

This theorem is referenced by:  grpridd  18944  grpinvid1  18965  grpinvid2  18966  grpidinv2  18971  grpasscan2  18976  grpidrcan  18977  grpraddf1o  18988  grpsubid1  18999  grpsubadd  19002  grppncan  19005  mulgaddcom  19072  mulgdirlem  19079  mulgmodid  19087  nmzsubg  19138  0nsg  19142  ghmquskerlem1  19256  cntzsubg  19312  cayleylem2  19386  odbezout  19531  lsmdisj2  19655  pj1lid  19674  frgpuplem  19745  abladdsub4  19784  odadd2  19822  gex2abl  19824  ogrpaddltbi  20112  ogrpinvlt  20117  rnglz  20144  isabvd  20791  lmod0vrid  20890  lmodfopne  20897  islmhm2  21035  rnglidl0  21229  lsmcss  21674  mplcoe1  22020  mdetero  22600  mdetunilem6  22607  opnsubg  24098  tgpconncompeqg  24102  snclseqg  24106  clmvz  25103  deg1add  26093  gsumsubg  33134  archiabllem2a  33282  archiabllem2c  33283  lindsunlem  33815  lflmul  39567  cdlemn4  41697  mapdh6cN  42237  hdmap1l6c  42311  hdmapinvlem3  42419  hdmapinvlem4  42420  hdmapglem7b  42427  fsuppind  43047