Theorem grprid 18655

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18629	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndrid 18451	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  +_gcplusg 17007  0_gc0g 17195  Mndcmnd 18430  Grpcgrp 18622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-0g 17197  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-grp 18625

This theorem is referenced by:  grprcan  18658  grpinvid1  18675  grpinvid2  18676  grpidinv2  18679  grpasscan2  18684  grpidrcan  18685  grpsubid1  18705  grpsubadd  18708  grppncan  18711  mulgaddcom  18772  mulgdirlem  18779  mulgmodid  18787  nmzsubg  18838  0nsg  18842  cntzsubg  18988  cayleylem2  19066  odbezout  19210  lsmdisj2  19333  pj1lid  19352  frgpuplem  19423  abladdsub4  19460  odadd2  19495  gex2abl  19497  ringlz  19871  isabvd  20125  lmod0vrid  20199  lmodfopne  20206  islmhm2  20345  lsmcss  20942  mplcoe1  21283  mdetero  21804  mdetunilem6  21811  opnsubg  23304  tgpconncompeqg  23308  snclseqg  23312  clmvz  24319  deg1add  25313  gsumsubg  31351  ogrpaddltbi  31389  ogrpinvlt  31394  archiabllem2a  31493  archiabllem2c  31494  lindsunlem  31750  lflmul  37124  cdlemn4  39254  mapdh6cN  39794  hdmap1l6c  39868  hdmapinvlem3  39976  hdmapinvlem4  39977  hdmapglem7b  39984  fsuppind  40316  rnglz  45500