MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplid 18125
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p + = (+g𝐺)
grplid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18102 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grplid.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 grplid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
52, 3, 4mndlid 17923 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
61, 5sylan 583 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098
This theorem is referenced by:  grprcan  18129  grpid  18131  isgrpid2  18132  grprinv  18145  grpinvid1  18146  grpinvid2  18147  grpidinv2  18150  grpinvid  18152  grplcan  18153  grpasscan1  18154  grpidlcan  18157  grplmulf1o  18165  grpidssd  18167  grpinvadd  18169  grpinvval2  18174  grplactcnv  18194  imasgrp  18207  mulgaddcom  18243  mulgdirlem  18250  subg0  18277  issubg2  18286  issubg4  18290  0subg  18296  isnsg3  18304  nmzsubg  18309  ssnmz  18310  eqger  18322  eqgid  18324  qusgrp  18327  qus0  18330  ghmid  18356  conjghm  18381  conjnmz  18384  subgga  18422  cntzsubg  18459  sylow1lem2  18716  sylow2blem2  18738  sylow2blem3  18739  sylow3lem1  18744  lsmmod  18793  lsmdisj2  18800  pj1rid  18820  abladdsub4  18927  ablpncan2  18929  ablpnpcan  18933  ablnncan  18934  odadd1  18961  odadd2  18962  oddvdssubg  18968  dprdfadd  19135  pgpfac1lem3a  19191  ringlz  19333  ringrz  19334  isabvd  19584  lmod0vlid  19657  lmod0vs  19660  evpmodpmf1o  20285  ocvlss  20361  lsmcss  20381  psr0lid  20633  mplsubglem  20672  mplcoe1  20705  mhpaddcl  20799  mdetunilem6  21222  mdetunilem9  21225  ghmcnp  22720  tgpt0  22724  qustgpopn  22725  mdegaddle  24675  ply1rem  24764  gsumsubg  30731  ogrpinv0le  30766  ogrpaddltrbid  30771  ogrpinv0lt  30773  ogrpinvlt  30774  cyc3genpmlem  30843  isarchi3  30866  archirngz  30868  archiabllem1b  30871  freshmansdream  30909  orngsqr  30928  ornglmulle  30929  orngrmulle  30930  ofldchr  30938  qusker  30969  mxidlprm  31048  dimkerim  31111  matunitlindflem1  35053  lfl0f  36365  lfladd0l  36370  lkrlss  36391  lkrin  36460  dvhgrp  38403  baerlem3lem1  39003  mapdh6bN  39033  hdmap1l6b  39107  hdmapinvlem3  39216  hdmapinvlem4  39217  hdmapglem7b  39224  fsuppind  39454  fsuppssind  39457  rnglz  44506
  Copyright terms: Public domain W3C validator