Theorem grplid 18864

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18837	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18646	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626  Grpcgrp 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833

This theorem is referenced by:  grplidd  18866  grprcan  18870  grpid  18872  isgrpid2  18873  grprinv  18887  grpinvid1  18888  grpinvid2  18889  grpidinv2  18894  grpinvid  18896  grplcan  18897  grpasscan1  18898  grpidlcan  18901  grplmulf1o  18910  grpidssd  18913  grpinvadd  18915  grpinvval2  18920  grplactcnv  18940  imasgrp  18953  mulgaddcom  18995  mulgdirlem  19002  subg0  19029  issubg2  19038  issubg4  19042  0subgOLD  19049  isnsg3  19057  nmzsubg  19062  ssnmz  19063  eqgid  19077  qusgrp  19083  qus0  19086  ghmid  19119  conjghm  19146  subgga  19197  cntzsubg  19236  sylow1lem2  19496  sylow2blem2  19518  sylow2blem3  19519  sylow3lem1  19524  lsmmod  19572  lsmdisj2  19579  pj1rid  19599  abladdsub4  19708  ablpncan2  19712  ablpnpcan  19716  ablnncan  19717  odadd1  19745  odadd2  19746  oddvdssubg  19752  dprdfadd  19919  pgpfac1lem3a  19975  ogrpinv0le  20033  ogrpaddltrbid  20038  ogrpinv0lt  20040  ogrpinvlt  20041  rnglz  20068  rngrz  20069  isabvd  20715  orngsqr  20769  ornglmulle  20770  orngrmulle  20771  lmod0vlid  20813  lmod0vs  20816  freshmansdream  21499  evpmodpmf1o  21521  ocvlss  21597  lsmcss  21617  psr0lid  21878  mplsubglem  21924  mplcoe1  21960  mdetunilem6  22520  mdetunilem9  22523  ghmcnp  24018  tgpt0  24022  qustgpopn  24023  mdegaddle  25995  ply1rem  26087  gsumsubg  33012  cyc3genpmlem  33106  isarchi3  33139  archirngz  33141  archiabllem1b  33144  qusker  33296  grplsm0l  33350  quslsm  33352  mxidlprm  33417  matunitlindflem1  37595  lfl0f  39047  lfladd0l  39052  lkrlss  39073  lkrin  39142  dvhgrp  41086  baerlem3lem1  41686  mapdh6bN  41716  hdmap1l6b  41790  hdmapinvlem3  41899  hdmapinvlem4  41900  hdmapglem7b  41907  fsuppind  42563  fsuppssind  42566