Theorem grplid 19024

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18997	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18802	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  grplidd  19026  grprcan  19030  grpid  19032  isgrpid2  19033  grprinv  19047  grpinvid1  19048  grpinvid2  19049  grpidinv2  19054  grpinvid  19056  grplcan  19057  grpasscan1  19058  grpidlcan  19061  grplmulf1o  19070  grpidssd  19073  grpinvadd  19075  grpinvval2  19080  grplactcnv  19100  imasgrp  19113  mulgaddcom  19155  mulgdirlem  19162  subg0  19189  issubg2  19199  issubg4  19203  isnsg3  19217  nmzsubg  19222  ssnmz  19223  eqgid  19239  qusgrp  19248  qus0  19251  ghmid  19283  conjghm  19310  subgga  19361  cntzsubg  19400  sylow1lem2  19660  sylow2blem2  19682  sylow2blem3  19683  sylow3lem1  19688  lsmmod  19736  lsmdisj2  19743  pj1rid  19763  abladdsub4  19872  ablpncan2  19876  ablpnpcan  19880  ablnncan  19881  odadd1  19909  odadd2  19910  oddvdssubg  19916  dprdfadd  20083  pgpfac1lem3a  20139  ogrpinv0le  20197  ogrpaddltrbid  20202  ogrpinv0lt  20204  ogrpinvlt  20205  rnglz  20234  rngrz  20235  isabvd  20884  orngsqr  20938  ornglmulle  20939  orngrmulle  20940  lmod0vlid  20982  lmod0vs  20985  freshmansdream  21684  evpmodpmf1o  21706  ocvlss  21782  lsmcss  21802  psr0lid  22063  mplsubglem  22108  mplcoe1  22148  mdetunilem6  22735  mdetunilem9  22738  ghmcnp  24233  tgpt0  24237  qustgpopn  24238  mdegaddle  26192  ply1rem  26284  gsumsubg  33279  cyc3genpmlem  33384  isarchi3  33420  archirngz  33422  archiabllem1b  33425  qusker  33584  grplsm0l  33628  quslsm  33630  mxidlprm  33670  matunitlindflem1  38127  lfl0f  39705  lfladd0l  39710  lkrlss  39731  lkrin  39800  dvhgrp  41743  baerlem3lem1  42343  mapdh6bN  42373  hdmap1l6b  42447  hdmapinvlem3  42556  hdmapinvlem4  42557  hdmapglem7b  42564  fsuppind  43184  fsuppssind  43187