Theorem grplid 18950

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18923	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18732	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712  Grpcgrp 18916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919

This theorem is referenced by:  grplidd  18952  grprcan  18956  grpid  18958  isgrpid2  18959  grprinv  18973  grpinvid1  18974  grpinvid2  18975  grpidinv2  18980  grpinvid  18982  grplcan  18983  grpasscan1  18984  grpidlcan  18987  grplmulf1o  18996  grpidssd  18999  grpinvadd  19001  grpinvval2  19006  grplactcnv  19026  imasgrp  19039  mulgaddcom  19081  mulgdirlem  19088  subg0  19115  issubg2  19124  issubg4  19128  0subgOLD  19135  isnsg3  19143  nmzsubg  19148  ssnmz  19149  eqgid  19163  qusgrp  19169  qus0  19172  ghmid  19205  conjghm  19232  subgga  19283  cntzsubg  19322  sylow1lem2  19580  sylow2blem2  19602  sylow2blem3  19603  sylow3lem1  19608  lsmmod  19656  lsmdisj2  19663  pj1rid  19683  abladdsub4  19792  ablpncan2  19796  ablpnpcan  19800  ablnncan  19801  odadd1  19829  odadd2  19830  oddvdssubg  19836  dprdfadd  20003  pgpfac1lem3a  20059  rnglz  20125  rngrz  20126  isabvd  20772  lmod0vlid  20849  lmod0vs  20852  freshmansdream  21535  evpmodpmf1o  21556  ocvlss  21632  lsmcss  21652  psr0lid  21913  mplsubglem  21959  mplcoe1  21995  mdetunilem6  22555  mdetunilem9  22558  ghmcnp  24053  tgpt0  24057  qustgpopn  24058  mdegaddle  26031  ply1rem  26123  gsumsubg  33040  ogrpinv0le  33083  ogrpaddltrbid  33088  ogrpinv0lt  33090  ogrpinvlt  33091  cyc3genpmlem  33162  isarchi3  33185  archirngz  33187  archiabllem1b  33190  orngsqr  33326  ornglmulle  33327  orngrmulle  33328  qusker  33364  grplsm0l  33418  quslsm  33420  mxidlprm  33485  matunitlindflem1  37640  lfl0f  39087  lfladd0l  39092  lkrlss  39113  lkrin  39182  dvhgrp  41126  baerlem3lem1  41726  mapdh6bN  41756  hdmap1l6b  41830  hdmapinvlem3  41939  hdmapinvlem4  41940  hdmapglem7b  41947  fsuppind  42613  fsuppssind  42616