Theorem grplid 18351

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18326	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18147	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  0_gc0g 16898  Mndcmnd 18127  Grpcgrp 18319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322

This theorem is referenced by:  grprcan  18355  grpid  18357  isgrpid2  18358  grprinv  18371  grpinvid1  18372  grpinvid2  18373  grpidinv2  18376  grpinvid  18378  grplcan  18379  grpasscan1  18380  grpidlcan  18383  grplmulf1o  18391  grpidssd  18393  grpinvadd  18395  grpinvval2  18400  grplactcnv  18420  imasgrp  18433  mulgaddcom  18469  mulgdirlem  18476  subg0  18503  issubg2  18512  issubg4  18516  0subg  18522  isnsg3  18530  nmzsubg  18535  ssnmz  18536  eqger  18548  eqgid  18550  qusgrp  18553  qus0  18556  ghmid  18582  conjghm  18607  conjnmz  18610  subgga  18648  cntzsubg  18685  sylow1lem2  18942  sylow2blem2  18964  sylow2blem3  18965  sylow3lem1  18970  lsmmod  19019  lsmdisj2  19026  pj1rid  19046  abladdsub4  19153  ablpncan2  19155  ablpnpcan  19159  ablnncan  19160  odadd1  19187  odadd2  19188  oddvdssubg  19194  dprdfadd  19361  pgpfac1lem3a  19417  ringlz  19559  ringrz  19560  isabvd  19810  lmod0vlid  19883  lmod0vs  19886  evpmodpmf1o  20512  ocvlss  20588  lsmcss  20608  psr0lid  20874  mplsubglem  20915  mplcoe1  20948  mhpaddcl  21045  mdetunilem6  21468  mdetunilem9  21471  ghmcnp  22966  tgpt0  22970  qustgpopn  22971  mdegaddle  24926  ply1rem  25015  gsumsubg  30979  ogrpinv0le  31014  ogrpaddltrbid  31019  ogrpinv0lt  31021  ogrpinvlt  31022  cyc3genpmlem  31091  isarchi3  31114  archirngz  31116  archiabllem1b  31119  freshmansdream  31157  orngsqr  31176  ornglmulle  31177  orngrmulle  31178  ofldchr  31186  qusker  31217  grplsm0l  31259  quslsm  31261  mxidlprm  31308  dimkerim  31376  matunitlindflem1  35459  lfl0f  36769  lfladd0l  36774  lkrlss  36795  lkrin  36864  dvhgrp  38807  baerlem3lem1  39407  mapdh6bN  39437  hdmap1l6b  39511  hdmapinvlem3  39620  hdmapinvlem4  39621  hdmapglem7b  39628  fsuppind  39930  fsuppssind  39933  rnglz  45058