Theorem grplid 18943

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18916	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18722	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  Grpcgrp 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912

This theorem is referenced by:  grplidd  18945  grprcan  18949  grpid  18951  isgrpid2  18952  grprinv  18966  grpinvid1  18967  grpinvid2  18968  grpidinv2  18973  grpinvid  18975  grplcan  18976  grpasscan1  18977  grpidlcan  18980  grplmulf1o  18989  grpidssd  18992  grpinvadd  18994  grpinvval2  18999  grplactcnv  19019  imasgrp  19032  mulgaddcom  19074  mulgdirlem  19081  subg0  19108  issubg2  19117  issubg4  19121  isnsg3  19135  nmzsubg  19140  ssnmz  19141  eqgid  19155  qusgrp  19161  qus0  19164  ghmid  19197  conjghm  19224  subgga  19275  cntzsubg  19314  sylow1lem2  19574  sylow2blem2  19596  sylow2blem3  19597  sylow3lem1  19602  lsmmod  19650  lsmdisj2  19657  pj1rid  19677  abladdsub4  19786  ablpncan2  19790  ablpnpcan  19794  ablnncan  19795  odadd1  19823  odadd2  19824  oddvdssubg  19830  dprdfadd  19997  pgpfac1lem3a  20053  ogrpinv0le  20111  ogrpaddltrbid  20116  ogrpinv0lt  20118  ogrpinvlt  20119  rnglz  20146  rngrz  20147  isabvd  20789  orngsqr  20843  ornglmulle  20844  orngrmulle  20845  lmod0vlid  20887  lmod0vs  20890  freshmansdream  21554  evpmodpmf1o  21576  ocvlss  21652  lsmcss  21672  psr0lid  21932  mplsubglem  21977  mplcoe1  22015  mdetunilem6  22582  mdetunilem9  22585  ghmcnp  24080  tgpt0  24084  qustgpopn  24085  mdegaddle  26039  ply1rem  26131  gsumsubg  33107  cyc3genpmlem  33212  isarchi3  33248  archirngz  33250  archiabllem1b  33253  qusker  33409  grplsm0l  33463  quslsm  33465  mxidlprm  33530  matunitlindflem1  37937  lfl0f  39515  lfladd0l  39520  lkrlss  39541  lkrin  39610  dvhgrp  41553  baerlem3lem1  42153  mapdh6bN  42183  hdmap1l6b  42257  hdmapinvlem3  42366  hdmapinvlem4  42367  hdmapglem7b  42374  fsuppind  43023  fsuppssind  43026