Theorem grplid 18877

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18850	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18659	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  Mndcmnd 18639  Grpcgrp 18843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846

This theorem is referenced by:  grplidd  18879  grprcan  18883  grpid  18885  isgrpid2  18886  grprinv  18900  grpinvid1  18901  grpinvid2  18902  grpidinv2  18907  grpinvid  18909  grplcan  18910  grpasscan1  18911  grpidlcan  18914  grplmulf1o  18923  grpidssd  18926  grpinvadd  18928  grpinvval2  18933  grplactcnv  18953  imasgrp  18966  mulgaddcom  19008  mulgdirlem  19015  subg0  19042  issubg2  19051  issubg4  19055  0subgOLD  19062  isnsg3  19070  nmzsubg  19075  ssnmz  19076  eqgid  19090  qusgrp  19096  qus0  19099  ghmid  19132  conjghm  19159  subgga  19210  cntzsubg  19249  sylow1lem2  19509  sylow2blem2  19531  sylow2blem3  19532  sylow3lem1  19537  lsmmod  19585  lsmdisj2  19592  pj1rid  19612  abladdsub4  19721  ablpncan2  19725  ablpnpcan  19729  ablnncan  19730  odadd1  19758  odadd2  19759  oddvdssubg  19765  dprdfadd  19932  pgpfac1lem3a  19988  ogrpinv0le  20046  ogrpaddltrbid  20051  ogrpinv0lt  20053  ogrpinvlt  20054  rnglz  20081  rngrz  20082  isabvd  20725  orngsqr  20779  ornglmulle  20780  orngrmulle  20781  lmod0vlid  20823  lmod0vs  20826  freshmansdream  21509  evpmodpmf1o  21531  ocvlss  21607  lsmcss  21627  psr0lid  21888  mplsubglem  21934  mplcoe1  21970  mdetunilem6  22530  mdetunilem9  22533  ghmcnp  24028  tgpt0  24032  qustgpopn  24033  mdegaddle  26004  ply1rem  26096  gsumsubg  33021  cyc3genpmlem  33115  isarchi3  33151  archirngz  33153  archiabllem1b  33156  qusker  33309  grplsm0l  33363  quslsm  33365  mxidlprm  33430  matunitlindflem1  37655  lfl0f  39107  lfladd0l  39112  lkrlss  39133  lkrin  39202  dvhgrp  41145  baerlem3lem1  41745  mapdh6bN  41775  hdmap1l6b  41849  hdmapinvlem3  41958  hdmapinvlem4  41959  hdmapglem7b  41966  fsuppind  42622  fsuppssind  42625