Theorem grplid 18899

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18872	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18681	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by:  grplidd  18901  grprcan  18905  grpid  18907  isgrpid2  18908  grprinv  18922  grpinvid1  18923  grpinvid2  18924  grpidinv2  18929  grpinvid  18931  grplcan  18932  grpasscan1  18933  grpidlcan  18936  grplmulf1o  18945  grpidssd  18948  grpinvadd  18950  grpinvval2  18955  grplactcnv  18975  imasgrp  18988  mulgaddcom  19030  mulgdirlem  19037  subg0  19064  issubg2  19073  issubg4  19077  0subgOLD  19084  isnsg3  19092  nmzsubg  19097  ssnmz  19098  eqgid  19112  qusgrp  19118  qus0  19121  ghmid  19154  conjghm  19181  subgga  19232  cntzsubg  19271  sylow1lem2  19529  sylow2blem2  19551  sylow2blem3  19552  sylow3lem1  19557  lsmmod  19605  lsmdisj2  19612  pj1rid  19632  abladdsub4  19741  ablpncan2  19745  ablpnpcan  19749  ablnncan  19750  odadd1  19778  odadd2  19779  oddvdssubg  19785  dprdfadd  19952  pgpfac1lem3a  20008  rnglz  20074  rngrz  20075  isabvd  20721  lmod0vlid  20798  lmod0vs  20801  freshmansdream  21484  evpmodpmf1o  21505  ocvlss  21581  lsmcss  21601  psr0lid  21862  mplsubglem  21908  mplcoe1  21944  mdetunilem6  22504  mdetunilem9  22507  ghmcnp  24002  tgpt0  24006  qustgpopn  24007  mdegaddle  25979  ply1rem  26071  gsumsubg  32986  ogrpinv0le  33029  ogrpaddltrbid  33034  ogrpinv0lt  33036  ogrpinvlt  33037  cyc3genpmlem  33108  isarchi3  33141  archirngz  33143  archiabllem1b  33146  orngsqr  33282  ornglmulle  33283  orngrmulle  33284  qusker  33320  grplsm0l  33374  quslsm  33376  mxidlprm  33441  matunitlindflem1  37610  lfl0f  39062  lfladd0l  39067  lkrlss  39088  lkrin  39157  dvhgrp  41101  baerlem3lem1  41701  mapdh6bN  41731  hdmap1l6b  41805  hdmapinvlem3  41914  hdmapinvlem4  41915  hdmapglem7b  41922  fsuppind  42578  fsuppssind  42581