Theorem grplid 18882

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18855	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18664	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Mndcmnd 18644  Grpcgrp 18848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851

This theorem is referenced by:  grplidd  18884  grprcan  18888  grpid  18890  isgrpid2  18891  grprinv  18905  grpinvid1  18906  grpinvid2  18907  grpidinv2  18912  grpinvid  18914  grplcan  18915  grpasscan1  18916  grpidlcan  18919  grplmulf1o  18928  grpidssd  18931  grpinvadd  18933  grpinvval2  18938  grplactcnv  18958  imasgrp  18971  mulgaddcom  19013  mulgdirlem  19020  subg0  19047  issubg2  19056  issubg4  19060  isnsg3  19074  nmzsubg  19079  ssnmz  19080  eqgid  19094  qusgrp  19100  qus0  19103  ghmid  19136  conjghm  19163  subgga  19214  cntzsubg  19253  sylow1lem2  19513  sylow2blem2  19535  sylow2blem3  19536  sylow3lem1  19541  lsmmod  19589  lsmdisj2  19596  pj1rid  19616  abladdsub4  19725  ablpncan2  19729  ablpnpcan  19733  ablnncan  19734  odadd1  19762  odadd2  19763  oddvdssubg  19769  dprdfadd  19936  pgpfac1lem3a  19992  ogrpinv0le  20050  ogrpaddltrbid  20055  ogrpinv0lt  20057  ogrpinvlt  20058  rnglz  20085  rngrz  20086  isabvd  20729  orngsqr  20783  ornglmulle  20784  orngrmulle  20785  lmod0vlid  20827  lmod0vs  20830  freshmansdream  21513  evpmodpmf1o  21535  ocvlss  21611  lsmcss  21631  psr0lid  21892  mplsubglem  21937  mplcoe1  21973  mdetunilem6  22533  mdetunilem9  22536  ghmcnp  24031  tgpt0  24035  qustgpopn  24036  mdegaddle  26007  ply1rem  26099  gsumsubg  33033  cyc3genpmlem  33127  isarchi3  33163  archirngz  33165  archiabllem1b  33168  qusker  33321  grplsm0l  33375  quslsm  33377  mxidlprm  33442  matunitlindflem1  37676  lfl0f  39188  lfladd0l  39193  lkrlss  39214  lkrin  39283  dvhgrp  41226  baerlem3lem1  41826  mapdh6bN  41856  hdmap1l6b  41930  hdmapinvlem3  42039  hdmapinvlem4  42040  hdmapglem7b  42047  fsuppind  42708  fsuppssind  42711