Theorem grplid 19097

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19070	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18863	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066

This theorem is used by:  grplidd  19099  grprcan  19103  grpid  19105  isgrpid2  19106  grprinv  19120  grpinvid1  19121  grpinvid2  19122  grpidinv2  19127  grpinvid  19129  grplcan  19130  grpasscan1  19131  grpidlcan  19134  grplmulf1o  19142  grpidssd  19145  grpinvadd  19147  grpinvval2  19152  grplactcnv  19172  imasgrp  19185  mulgaddcom  19227  mulgdirlem  19234  subg0  19261  issubg2  19271  issubg4  19275  isnsg3  19289  nmzsubg  19294  ssnmz  19295  eqgid  19311  qusgrp  19320  qus0  19323  ghmid  19355  conjghm  19382  subgga  19433  cntzsubg  19472  sylow1lem2  19732  sylow2blem2  19754  sylow2blem3  19755  sylow3lem1  19760  lsmmod  19808  lsmdisj2  19815  pj1rid  19835  abladdsub4  19944  ablpncan2  19948  ablpnpcan  19952  ablnncan  19953  odadd1  19981  odadd2  19982  oddvdssubg  19988  dprdfadd  20155  pgpfac1lem3a  20211  ogrpinv0le  20269  ogrpaddltrbid  20274  ogrpinv0lt  20276  ogrpinvlt  20277  rnglz  20306  rngrz  20307  isabvd  20984  orngsqr  21038  ornglmulle  21039  orngrmulle  21040  lmod0vlid  21082  lmod0vs  21085  freshmansdream  21793  evpmodpmf1o  21815  ocvlss  21891  lsmcss  21911  psr0lid  22174  mplsubglem  22219  mplcoe1  22259  mdetunilem6  22845  mdetunilem9  22848  matunitlindflem1  22907  ghmcnp  24347  tgpt0  24351  qustgpopn  24352  mdegaddle  26306  ply1rem  26398  gsumsubg  33494  cyc3genpmlem  33599  isarchi3  33635  archirngz  33637  archiabllem1b  33640  qusker  33797  grplsm0l  33840  quslsm  33842  mxidlprm  33881  lfl0f  39950  lfladd0l  39955  lkrlss  39976  lkrin  40045  dvhgrp  41988  baerlem3lem1  42588  mapdh6bN  42618  hdmap1l6b  42692  hdmapinvlem3  42801  hdmapinvlem4  42802  hdmapglem7b  42809  fsuppind  43444  fsuppssind  43447