Theorem grplid 18852

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18826	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18645	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822

This theorem is referenced by:  grplidd  18854  grprcan  18858  grpid  18860  isgrpid2  18861  grprinv  18875  grpinvid1  18876  grpinvid2  18877  grpidinv2  18882  grpinvid  18884  grplcan  18885  grpasscan1  18886  grpidlcan  18889  grplmulf1o  18897  grpidssd  18899  grpinvadd  18901  grpinvval2  18906  grplactcnv  18926  imasgrp  18939  mulgaddcom  18978  mulgdirlem  18985  subg0  19012  issubg2  19021  issubg4  19025  0subgOLD  19032  isnsg3  19040  nmzsubg  19045  ssnmz  19046  eqgid  19060  qusgrp  19065  qus0  19068  ghmid  19098  conjghm  19123  conjnmz  19126  subgga  19164  cntzsubg  19203  sylow1lem2  19467  sylow2blem2  19489  sylow2blem3  19490  sylow3lem1  19495  lsmmod  19543  lsmdisj2  19550  pj1rid  19570  abladdsub4  19679  ablpncan2  19683  ablpnpcan  19687  ablnncan  19688  odadd1  19716  odadd2  19717  oddvdssubg  19723  dprdfadd  19890  pgpfac1lem3a  19946  ringlz  20107  ringrz  20108  isabvd  20428  lmod0vlid  20502  lmod0vs  20505  evpmodpmf1o  21149  ocvlss  21225  lsmcss  21245  psr0lid  21514  mplsubglem  21558  mplcoe1  21592  mhpaddcl  21694  mdetunilem6  22119  mdetunilem9  22122  ghmcnp  23619  tgpt0  23623  qustgpopn  23624  mdegaddle  25592  ply1rem  25681  gsumsubg  32198  ogrpinv0le  32233  ogrpaddltrbid  32238  ogrpinv0lt  32240  ogrpinvlt  32241  cyc3genpmlem  32310  isarchi3  32333  archirngz  32335  archiabllem1b  32338  freshmansdream  32381  orngsqr  32422  ornglmulle  32423  orngrmulle  32424  ofldchr  32432  qusker  32464  grplsm0l  32513  quslsm  32516  mxidlprm  32586  dimkerim  32712  matunitlindflem1  36484  lfl0f  37939  lfladd0l  37944  lkrlss  37965  lkrin  38034  dvhgrp  39978  baerlem3lem1  40578  mapdh6bN  40608  hdmap1l6b  40682  hdmapinvlem3  40791  hdmapinvlem4  40792  hdmapglem7b  40799  fsuppind  41162  fsuppssind  41165  rnglz  46664  rngrz  46665