Theorem grplid 19183

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19156	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18949	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Mndcmnd 18928  Grpcgrp 19149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152

This theorem is used by:  grplidd  19185  grprcan  19189  grpid  19191  isgrpid2  19192  grprinv  19206  grpinvid1  19207  grpinvid2  19208  grpidinv2  19213  grpinvid  19215  grplcan  19216  grpasscan1  19217  grpidlcan  19220  grplmulf1o  19228  grpidssd  19231  grpinvadd  19233  grpinvval2  19238  grplactcnv  19258  imasgrp  19271  mulgaddcom  19313  mulgdirlem  19320  subg0  19347  issubg2  19357  issubg4  19361  isnsg3  19375  nmzsubg  19380  ssnmz  19381  eqgid  19397  qusgrp  19406  qus0  19409  ghmid  19441  conjghm  19468  subgga  19519  cntzsubg  19558  sylow1lem2  19818  sylow2blem2  19840  sylow2blem3  19841  sylow3lem1  19846  lsmmod  19894  lsmdisj2  19901  pj1rid  19921  abladdsub4  20030  ablpncan2  20034  ablpnpcan  20038  ablnncan  20039  odadd1  20067  odadd2  20068  oddvdssubg  20074  dprdfadd  20241  pgpfac1lem3a  20297  ogrpinv0le  20355  ogrpaddltrbid  20360  ogrpinv0lt  20362  ogrpinvlt  20363  rnglz  20392  rngrz  20393  isabvd  21074  orngsqr  21128  ornglmulle  21129  orngrmulle  21130  lmod0vlid  21172  lmod0vs  21175  freshmansdream  21885  evpmodpmf1o  21907  ocvlss  21983  lsmcss  22003  psr0lid  22266  mplsubglem  22311  mplcoe1  22351  mdetunilem6  22937  mdetunilem9  22940  matunitlindflem1  22999  ghmcnp  24439  tgpt0  24443  qustgpopn  24444  mdegaddle  26397  ply1rem  26489  gsumsubg  33653  cyc3genpmlem  33758  isarchi3  33794  archirngz  33796  archiabllem1b  33799  qusker  33956  grplsm0l  34000  quslsm  34002  mxidlprm  34041  lfl0f  40219  lfladd0l  40224  lkrlss  40245  lkrin  40314  dvhgrp  42257  baerlem3lem1  42857  mapdh6bN  42887  hdmap1l6b  42961  hdmapinvlem3  43070  hdmapinvlem4  43071  hdmapglem7b  43078  fsuppind  43711  fsuppssind  43714