Theorem grplid 19158

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19131	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18924	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  Grpcgrp 19124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127

This theorem is used by:  grplidd  19160  grprcan  19164  grpid  19166  isgrpid2  19167  grprinv  19181  grpinvid1  19182  grpinvid2  19183  grpidinv2  19188  grpinvid  19190  grplcan  19191  grpasscan1  19192  grpidlcan  19195  grplmulf1o  19203  grpidssd  19206  grpinvadd  19208  grpinvval2  19213  grplactcnv  19233  imasgrp  19246  mulgaddcom  19288  mulgdirlem  19295  subg0  19322  issubg2  19332  issubg4  19336  isnsg3  19350  nmzsubg  19355  ssnmz  19356  eqgid  19372  qusgrp  19381  qus0  19384  ghmid  19416  conjghm  19443  subgga  19494  cntzsubg  19533  sylow1lem2  19793  sylow2blem2  19815  sylow2blem3  19816  sylow3lem1  19821  lsmmod  19869  lsmdisj2  19876  pj1rid  19896  abladdsub4  20005  ablpncan2  20009  ablpnpcan  20013  ablnncan  20014  odadd1  20042  odadd2  20043  oddvdssubg  20049  dprdfadd  20216  pgpfac1lem3a  20272  ogrpinv0le  20330  ogrpaddltrbid  20335  ogrpinv0lt  20337  ogrpinvlt  20338  rnglz  20367  rngrz  20368  isabvd  21049  orngsqr  21103  ornglmulle  21104  orngrmulle  21105  lmod0vlid  21147  lmod0vs  21150  freshmansdream  21860  evpmodpmf1o  21882  ocvlss  21958  lsmcss  21978  psr0lid  22241  mplsubglem  22286  mplcoe1  22326  mdetunilem6  22912  mdetunilem9  22915  matunitlindflem1  22974  ghmcnp  24414  tgpt0  24418  qustgpopn  24419  mdegaddle  26372  ply1rem  26464  gsumsubg  33589  cyc3genpmlem  33694  isarchi3  33730  archirngz  33732  archiabllem1b  33735  qusker  33892  grplsm0l  33936  quslsm  33938  mxidlprm  33977  lfl0f  40094  lfladd0l  40099  lkrlss  40120  lkrin  40189  dvhgrp  42132  baerlem3lem1  42732  mapdh6bN  42762  hdmap1l6b  42836  hdmapinvlem3  42945  hdmapinvlem4  42946  hdmapglem7b  42953  fsuppind  43580  fsuppssind  43583