Theorem grplid 18906

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18879	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18688	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  Grpcgrp 18872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875

This theorem is referenced by:  grplidd  18908  grprcan  18912  grpid  18914  isgrpid2  18915  grprinv  18929  grpinvid1  18930  grpinvid2  18931  grpidinv2  18936  grpinvid  18938  grplcan  18939  grpasscan1  18940  grpidlcan  18943  grplmulf1o  18952  grpidssd  18955  grpinvadd  18957  grpinvval2  18962  grplactcnv  18982  imasgrp  18995  mulgaddcom  19037  mulgdirlem  19044  subg0  19071  issubg2  19080  issubg4  19084  0subgOLD  19091  isnsg3  19099  nmzsubg  19104  ssnmz  19105  eqgid  19119  qusgrp  19125  qus0  19128  ghmid  19161  conjghm  19188  subgga  19239  cntzsubg  19278  sylow1lem2  19536  sylow2blem2  19558  sylow2blem3  19559  sylow3lem1  19564  lsmmod  19612  lsmdisj2  19619  pj1rid  19639  abladdsub4  19748  ablpncan2  19752  ablpnpcan  19756  ablnncan  19757  odadd1  19785  odadd2  19786  oddvdssubg  19792  dprdfadd  19959  pgpfac1lem3a  20015  rnglz  20081  rngrz  20082  isabvd  20728  lmod0vlid  20805  lmod0vs  20808  freshmansdream  21491  evpmodpmf1o  21512  ocvlss  21588  lsmcss  21608  psr0lid  21869  mplsubglem  21915  mplcoe1  21951  mdetunilem6  22511  mdetunilem9  22514  ghmcnp  24009  tgpt0  24013  qustgpopn  24014  mdegaddle  25986  ply1rem  26078  gsumsubg  32993  ogrpinv0le  33036  ogrpaddltrbid  33041  ogrpinv0lt  33043  ogrpinvlt  33044  cyc3genpmlem  33115  isarchi3  33148  archirngz  33150  archiabllem1b  33153  orngsqr  33289  ornglmulle  33290  orngrmulle  33291  qusker  33327  grplsm0l  33381  quslsm  33383  mxidlprm  33448  matunitlindflem1  37617  lfl0f  39069  lfladd0l  39074  lkrlss  39095  lkrin  39164  dvhgrp  41108  baerlem3lem1  41708  mapdh6bN  41738  hdmap1l6b  41812  hdmapinvlem3  41921  hdmapinvlem4  41922  hdmapglem7b  41929  fsuppind  42585  fsuppssind  42588