Theorem grplid 18992

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18965	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 589	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751  Grpcgrp 18958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961

This theorem is referenced by:  grplidd  18994  grprcan  18998  grpid  19000  isgrpid2  19001  grprinv  19015  grpinvid1  19016  grpinvid2  19017  grpidinv2  19022  grpinvid  19024  grplcan  19025  grpasscan1  19026  grpidlcan  19029  grplmulf1o  19038  grpidssd  19041  grpinvadd  19043  grpinvval2  19048  grplactcnv  19068  imasgrp  19081  mulgaddcom  19123  mulgdirlem  19130  subg0  19157  issubg2  19166  issubg4  19170  isnsg3  19184  nmzsubg  19189  ssnmz  19190  eqgid  19204  qusgrp  19210  qus0  19213  ghmid  19245  conjghm  19272  subgga  19323  cntzsubg  19362  sylow1lem2  19622  sylow2blem2  19644  sylow2blem3  19645  sylow3lem1  19650  lsmmod  19698  lsmdisj2  19705  pj1rid  19725  abladdsub4  19834  ablpncan2  19838  ablpnpcan  19842  ablnncan  19843  odadd1  19871  odadd2  19872  oddvdssubg  19878  dprdfadd  20045  pgpfac1lem3a  20101  ogrpinv0le  20159  ogrpaddltrbid  20164  ogrpinv0lt  20166  ogrpinvlt  20167  rnglz  20194  rngrz  20195  isabvd  20841  orngsqr  20895  ornglmulle  20896  orngrmulle  20897  lmod0vlid  20939  lmod0vs  20942  freshmansdream  21606  evpmodpmf1o  21628  ocvlss  21704  lsmcss  21724  psr0lid  21985  mplsubglem  22030  mplcoe1  22070  mdetunilem6  22657  mdetunilem9  22660  ghmcnp  24155  tgpt0  24159  qustgpopn  24160  mdegaddle  26114  ply1rem  26206  gsumsubg  33187  cyc3genpmlem  33292  isarchi3  33328  archirngz  33330  archiabllem1b  33333  qusker  33496  grplsm0l  33550  quslsm  33552  mxidlprm  33619  matunitlindflem1  38079  lfl0f  39657  lfladd0l  39662  lkrlss  39683  lkrin  39752  dvhgrp  41695  baerlem3lem1  42295  mapdh6bN  42325  hdmap1l6b  42399  hdmapinvlem3  42508  hdmapinvlem4  42509  hdmapglem7b  42516  fsuppind  43136  fsuppssind  43139