MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpplusf 17873
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2 𝐹 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpplusf (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpplusf
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17868 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpplusf.2 . . 3 𝐹 = (+𝑓𝐺)
42, 3mndplusf 17748 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081   × cxp 5441  wf 6221  cfv 6225  Basecbs 16312  +𝑓cplusf 17678  Mndcmnd 17733  Grpcgrp 17861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-plusf 17680  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864
This theorem is referenced by:  symgtgp  22393
  Copyright terms: Public domain W3C validator