Theorem grpplusf 18913

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpplusf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpplusf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18905	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpplusf.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mndplusf 18709	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  +_𝑓cplusf 18594  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-plusf 18596  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901

This theorem is referenced by: (None)