Theorem grpplusf 17873

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpplusf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem grpplusf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17868	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpplusf.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mndplusf 17748	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   × cxp 5441  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  Basecbs 16312  +_𝑓cplusf 17678  Mndcmnd 17733  Grpcgrp 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-plusf 17680  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864

This theorem is referenced by:  symgtgp  22393