Theorem grpcld 18889

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 18883	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  18956  dfgrp3  18981  xpsinv  19002  xpsgrpsub  19003  nmzsubg  19106  eqger  19119  conjnmz  19193  ghmqusnsg  19223  ghmquskerlem3  19227  lringuplu  20489  rnglidl1  21199  rngqiprngimfo  21268  rngqiprngfulem3  21280  evladdval  22070  mhpaddcl  22106  psdmul  22121  evls1addd  22327  evls1maprhm  22332  rhmmpl  22339  cphpyth  25184  conjga  33263  cntrval2  33264  ringdi22  33323  rlocaddval  33361  rloccring  33363  rlocf1  33366  evl1deg1  33668  evl1deg2  33669  evl1deg3  33670  ply1degltlss  33688  q1pdir  33695  r1pcyc  33699  r1padd1  33700  r1plmhm  33702  mplvrpmga  33721  mplvrpmmhm  33722  algextdeglem8  33901  rtelextdg2lem  33903  cos9thpiminplylem6  33964  cos9thpiminply  33965  zrhcntr  34156  aks6d1c1p3  42469  aks5lem3a  42548  aks5lem5a  42550  grpcominv1  42867  rhmpsr  42909  mplmapghm  42911  evlsmaprhm  42920  selvadd  42935