Theorem grpcld 18912

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 18906	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Grpcgrp 18898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6446  df-fv 6498  df-ov 7361  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  18979  dfgrp3  19004  xpsinv  19025  xpsgrpsub  19026  nmzsubg  19129  eqger  19142  conjnmz  19216  ghmqusnsg  19246  ghmquskerlem3  19250  lringuplu  20510  rnglidl1  21220  rngqiprngimfo  21289  rngqiprngfulem3  21301  evladdval  22090  mhpaddcl  22126  psdmul  22141  evls1addd  22345  evls1maprhm  22350  rhmmpl  22357  cphpyth  25192  conjga  33251  cntrval2  33252  ringdi22  33311  rlocaddval  33349  rloccring  33351  rlocf1  33354  evl1deg1  33656  evl1deg2  33657  evl1deg3  33658  ply1degltlss  33676  q1pdir  33683  r1pcyc  33687  r1padd1  33688  r1plmhm  33690  mplvrpmga  33709  mplvrpmmhm  33710  algextdeglem8  33889  rtelextdg2lem  33891  cos9thpiminplylem6  33952  cos9thpiminply  33953  zrhcntr  34144  aks6d1c1p3  42560  aks5lem3a  42639  aks5lem5a  42641  grpcominv1  42964  rhmpsr  43006  mplmapghm  43008  evlsmaprhm  43017  selvadd  43032