Theorem grpcld 18965

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 18959	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  19032  dfgrp3  19057  xpsinv  19078  xpsgrpsub  19079  nmzsubg  19183  eqger  19196  conjnmz  19270  ghmqusnsg  19300  ghmquskerlem3  19304  lringuplu  20544  rnglidl1  21242  rngqiprngimfo  21311  rngqiprngfulem3  21323  mhpaddcl  22155  psdmul  22170  evls1addd  22375  evls1maprhm  22380  rhmmpl  22387  cphpyth  25250  ringdi22  33235  rlocaddval  33272  rloccring  33274  rlocf1  33277  evl1deg1  33601  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  ply1degltlss  33617  q1pdir  33623  r1pcyc  33627  r1padd1  33628  r1plmhm  33630  algextdeglem8  33765  rtelextdg2lem  33767  zrhcntr  33980  aks6d1c1p3  42111  aks5lem3a  42190  aks5lem5a  42192  grpcominv1  42518  rhmpsr  42562  mplmapghm  42566  evlsmaprhm  42580  evladdval  42585  selvadd  42598