Theorem grpcld 19120

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 19114	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390  Grpcgrp 19106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6483  df-fv 6535  df-ov 7411  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109

This theorem is used by:  grpraddf1o  19186  dfgrp3  19211  xpsinv  19232  xpsgrpsub  19233  nmzsubg  19337  eqger  19352  conjnmz  19428  ghmqusnsg  19458  ghmquskerlem3  19462  ringdi22  20455  lringuplu  20758  rnglidl1  21474  rngqiprngimfo  21559  rngqiprngfulem3  21571  evladdval  22374  mplmapghm  22393  evlsmaprhm  22402  selvadd  22414  mhpaddcl  22434  psdmul  22449  evls1addd  22651  evls1maprhm  22656  rhmmpl  22660  cphpyth  25499  conjga  33665  cntrval2  33666  rlocaddval  33764  rloccring  33766  rlocf1  33769  dflringlem2  33961  evl1deg1  34042  evl1deg2  34043  evl1deg3  34044  ply1degltlss  34062  q1pdir  34069  r1pcyc  34073  r1padd1  34074  r1plmhm  34075  0mplrim  34080  selvply1rhmlem4  34089  mplvrpmga  34111  mplvrpmmhm  34112  algextdeglem8  34290  rtelextdg2lem  34292  cos9thpiminplylem6  34353  cos9thpiminply  34354  zrhcntr  34545  aks6d1c1p3  43080  aks5lem3a  43159  aks5lem5a  43161  grpcominv1  43500  rhmpsr  43533