Theorem grpcld 19004

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 18998	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  19071  dfgrp3  19096  xpsinv  19117  xpsgrpsub  19118  nmzsubg  19222  eqger  19237  conjnmz  19313  ghmqusnsg  19343  ghmquskerlem3  19347  ringdi22  20338  lringuplu  20620  rnglidl1  21327  rngqiprngimfo  21403  rngqiprngfulem3  21415  evladdval  22214  mplmapghm  22233  evlsmaprhm  22242  selvadd  22254  mhpaddcl  22274  psdmul  22289  evls1addd  22492  evls1maprhm  22497  rhmmpl  22501  cphpyth  25336  conjga  33403  cntrval2  33404  rlocaddval  33502  rloccring  33504  rlocf1  33507  dflringlem2  33702  evl1deg1  33783  evl1deg2  33784  evl1deg3  33785  ply1degltlss  33803  q1pdir  33810  r1pcyc  33814  r1padd1  33815  r1plmhm  33816  0mplrim  33821  selvply1rhmlem4  33830  mplvrpmga  33852  mplvrpmmhm  33853  algextdeglem8  34031  rtelextdg2lem  34033  cos9thpiminplylem6  34094  cos9thpiminply  34095  zrhcntr  34286  aks6d1c1p3  42739  aks5lem3a  42818  aks5lem5a  42820  grpcominv1  43142  rhmpsr  43177