Theorem grpcld 19159

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 19153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  Grpcgrp 19145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148

This theorem is used by:  grpraddf1o  19225  dfgrp3  19250  xpsinv  19271  xpsgrpsub  19272  nmzsubg  19376  eqger  19391  conjnmz  19467  ghmqusnsg  19497  ghmquskerlem3  19501  ringdi22  20494  lringuplu  20797  rnglidl1  21513  rngqiprngimfo  21598  rngqiprngfulem3  21610  evladdval  22413  mplmapghm  22432  evlsmaprhm  22441  selvadd  22453  mhpaddcl  22473  psdmul  22488  evls1addd  22690  evls1maprhm  22695  rhmmpl  22699  cphpyth  25538  conjga  33774  cntrval2  33775  rlocaddval  33873  rloccring  33875  rlocf1  33878  dflringlem2  34070  evl1deg1  34151  evl1deg2  34152  evl1deg3  34153  ply1degltlss  34171  q1pdir  34178  r1pcyc  34182  r1padd1  34183  r1plmhm  34184  0mplrim  34189  selvply1rhmlem4  34198  mplvrpmga  34220  mplvrpmmhm  34221  algextdeglem8  34399  rtelextdg2lem  34401  cos9thpiminplylem6  34462  cos9thpiminply  34463  zrhcntr  34654  aks6d1c1p3  43236  aks5lem3a  43315  aks5lem5a  43317  grpcominv1  43651  rhmpsr  43687