Theorem grpcld 18881

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 18875	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Grpcgrp 18867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7363  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  18948  dfgrp3  18973  xpsinv  18994  xpsgrpsub  18995  nmzsubg  19098  eqger  19111  conjnmz  19185  ghmqusnsg  19215  ghmquskerlem3  19219  lringuplu  20481  rnglidl1  21191  rngqiprngimfo  21260  rngqiprngfulem3  21272  evladdval  22062  mhpaddcl  22098  psdmul  22113  evls1addd  22319  evls1maprhm  22324  rhmmpl  22331  cphpyth  25176  conjga  33233  cntrval2  33234  ringdi22  33293  rlocaddval  33331  rloccring  33333  rlocf1  33336  evl1deg1  33638  evl1deg2  33639  evl1deg3  33640  ply1degltlss  33658  q1pdir  33665  r1pcyc  33669  r1padd1  33670  r1plmhm  33672  mplvrpmga  33691  mplvrpmmhm  33692  algextdeglem8  33862  rtelextdg2lem  33864  cos9thpiminplylem6  33925  cos9thpiminply  33926  zrhcntr  34117  aks6d1c1p3  42401  aks5lem3a  42480  aks5lem5a  42482  grpcominv1  42799  rhmpsr  42841  mplmapghm  42843  evlsmaprhm  42852  selvadd  42867