Theorem grpcld 18923

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by SN, 29-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcld.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpcld.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpcld.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	grpcl 18917	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  18990  dfgrp3  19015  xpsinv  19036  xpsgrpsub  19037  nmzsubg  19140  eqger  19153  conjnmz  19227  ghmqusnsg  19257  ghmquskerlem3  19261  lringuplu  20521  rnglidl1  21230  rngqiprngimfo  21299  rngqiprngfulem3  21311  evladdval  22081  mhpaddcl  22117  psdmul  22132  evls1addd  22336  evls1maprhm  22341  rhmmpl  22348  cphpyth  25183  conjga  33231  cntrval2  33232  ringdi22  33291  rlocaddval  33329  rloccring  33331  rlocf1  33334  evl1deg1  33636  evl1deg2  33637  evl1deg3  33638  ply1degltlss  33656  q1pdir  33663  r1pcyc  33667  r1padd1  33668  r1plmhm  33670  mplvrpmga  33689  mplvrpmmhm  33690  algextdeglem8  33868  rtelextdg2lem  33870  cos9thpiminplylem6  33931  cos9thpiminply  33932  zrhcntr  34123  aks6d1c1p3  42549  aks5lem3a  42628  aks5lem5a  42630  grpcominv1  42953  rhmpsr  42995  mplmapghm  42997  evlsmaprhm  43006  selvadd  43021