Theorem grpmnd 18997

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18996	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 501	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  grpcl  18998  grpass  18999  grpideu  19001  grpmndd  19003  grpplusf  19005  grpplusfo  19006  grpsgrp  19017  dfgrp2  19019  grpidcl  19022  grplid  19024  grprid  19025  dfgrp3  19096  prdsgrpd  19107  prdsinvgd  19108  mulgaddcom  19155  mulginvcom  19156  mulgz  19159  mulgneg2  19165  mulgass  19168  issubg3  19202  grpissubg  19204  0subg  19209  subgacs  19218  0ghm  19291  pwsdiagghm  19305  cntzsubg  19400  oppggrp  19418  symgsubmefmndALT  19464  psgnunilem5  19555  psgnuni  19560  0subgALT  19629  lsmcntzr  19741  pj1ghm  19764  isabl2  19851  cntrabl  19904  dprdfid  20080  dprdfeq0  20085  dprdlub  20089  dmdprdsplitlem  20100  dprddisj2  20102  dpjidcl  20121  pgpfaclem3  20146  simpgnideld  20162  c0ghm  20534  c0snghm  20537  dsmmsubg  21853  frlm0  21864  mdetunilem7  22736  istgp2  24209  cyc3genpm  33385  isarchi3  33420  reofld  33578  lbslsat  33923  dimkerim  33934  fedgmullem2  33937  primrootscoprbij  42731  grpods  42823  pwssplit4  43678  pwslnmlem2  43682  lcoel0  49059