Theorem grpmnd 18901

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18900	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 496	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3948  df-un 3950  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6499  df-fv 6555  df-ov 7420  df-grp 18897

This theorem is referenced by:  grpcl  18902  grpass  18903  grpideu  18905  grpmndd  18907  grpplusf  18909  grpplusfo  18910  grpsgrp  18921  dfgrp2  18923  grpidcl  18926  grplid  18928  grprid  18929  dfgrp3  18999  prdsgrpd  19010  prdsinvgd  19011  mulgaddcom  19057  mulginvcom  19058  mulgz  19061  mulgneg2  19067  mulgass  19070  issubg3  19103  grpissubg  19105  0subg  19110  subgacs  19120  0ghm  19188  pwsdiagghm  19202  cntzsubg  19294  oppggrp  19315  symgsubmefmndALT  19362  psgnunilem5  19453  psgnuni  19458  0subgALT  19527  lsmcntzr  19639  pj1ghm  19662  isabl2  19749  cntrabl  19802  dprdfid  19978  dprdfeq0  19983  dprdlub  19987  dmdprdsplitlem  19998  dprddisj2  20000  dpjidcl  20019  pgpfaclem3  20044  simpgnideld  20060  c0ghm  20404  c0snghm  20407  dsmmsubg  21681  frlm0  21692  mdetunilem7  22550  istgp2  24025  cyc3genpm  32930  isarchi3  32952  reofld  33116  lbslsat  33384  dimkerim  33395  fedgmullem2  33398  primrootscoprbij  41642  pwssplit4  42578  pwslnmlem2  42582  lcoel0  47608