Theorem grpmnd 18584

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18583	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 498	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385  Grpcgrp 18577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-grp 18580

This theorem is referenced by:  grpcl  18585  grpass  18586  grpideu  18588  grpmndd  18589  grpplusf  18591  grpplusfo  18592  grpsgrp  18603  dfgrp2  18604  grpidcl  18607  grplid  18609  grprid  18610  dfgrp3  18674  prdsgrpd  18685  prdsinvgd  18686  mulgaddcom  18727  mulginvcom  18728  mulgz  18731  mulgneg2  18737  mulgass  18740  issubg3  18773  grpissubg  18775  subgacs  18789  0ghm  18848  pwsdiagghm  18862  cntzsubg  18943  oppggrp  18964  symgsubmefmndALT  19011  psgnunilem5  19102  psgnuni  19107  lsmcntzr  19286  pj1ghm  19309  isabl2  19395  cntrabl  19444  dprdfid  19620  dprdfeq0  19625  dprdlub  19629  dmdprdsplitlem  19640  dprddisj2  19642  dpjidcl  19661  pgpfaclem3  19686  simpgnideld  19702  dsmmsubg  20950  frlm0  20961  mdetunilem7  21767  istgp2  23242  cyc3genpm  31419  isarchi3  31441  ofldchr  31513  reofld  31544  lbslsat  31699  dimkerim  31708  fedgmullem2  31711  pwssplit4  40914  pwslnmlem2  40918  c0ghm  45469  c0snghm  45474  lcoel0  45769