Theorem grpmnd 18372

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18371	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 501	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Mndcmnd 18173  Grpcgrp 18365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-iota 6338  df-fv 6388  df-ov 7216  df-grp 18368

This theorem is referenced by:  grpcl  18373  grpass  18374  grpideu  18376  grpmndd  18377  grpplusf  18379  grpplusfo  18380  grpsgrp  18391  dfgrp2  18392  grpidcl  18395  grplid  18397  grprid  18398  dfgrp3  18462  prdsgrpd  18473  prdsinvgd  18474  mulgaddcom  18515  mulginvcom  18516  mulgz  18519  mulgneg2  18525  mulgass  18528  issubg3  18561  grpissubg  18563  subgacs  18577  0ghm  18636  pwsdiagghm  18650  cntzsubg  18731  oppggrp  18749  symgsubmefmndALT  18795  psgnunilem5  18886  psgnuni  18891  lsmcntzr  19070  pj1ghm  19093  isabl2  19179  cntrabl  19228  dprdfid  19404  dprdfeq0  19409  dprdlub  19413  dmdprdsplitlem  19424  dprddisj2  19426  dpjidcl  19445  pgpfaclem3  19470  simpgnideld  19486  dsmmsubg  20705  frlm0  20716  mdetunilem7  21515  istgp2  22988  cyc3genpm  31138  isarchi3  31160  ofldchr  31232  reofld  31258  lbslsat  31413  dimkerim  31422  fedgmullem2  31425  pwssplit4  40617  pwslnmlem2  40621  c0ghm  45142  c0snghm  45147  lcoel0  45442