Theorem grpmnd 18845

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18844	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  0_gc0g 17335  Mndcmnd 18634  Grpcgrp 18838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-grp 18841

This theorem is referenced by:  grpcl  18846  grpass  18847  grpideu  18849  grpmndd  18851  grpplusf  18853  grpplusfo  18854  grpsgrp  18865  dfgrp2  18867  grpidcl  18870  grplid  18872  grprid  18873  dfgrp3  18944  prdsgrpd  18955  prdsinvgd  18956  mulgaddcom  19003  mulginvcom  19004  mulgz  19007  mulgneg2  19013  mulgass  19016  issubg3  19049  grpissubg  19051  0subg  19056  subgacs  19066  0ghm  19135  pwsdiagghm  19149  cntzsubg  19244  oppggrp  19262  symgsubmefmndALT  19308  psgnunilem5  19399  psgnuni  19404  0subgALT  19473  lsmcntzr  19585  pj1ghm  19608  isabl2  19695  cntrabl  19748  dprdfid  19924  dprdfeq0  19929  dprdlub  19933  dmdprdsplitlem  19944  dprddisj2  19946  dpjidcl  19965  pgpfaclem3  19990  simpgnideld  20006  c0ghm  20372  c0snghm  20375  dsmmsubg  21673  frlm0  21684  mdetunilem7  22526  istgp2  23999  cyc3genpm  33111  isarchi3  33146  reofld  33298  lbslsat  33619  dimkerim  33630  fedgmullem2  33633  primrootscoprbij  42114  grpods  42206  pwssplit4  43101  pwslnmlem2  43105  lcoel0  48439