Theorem grpmnd 18971

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18970	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-grp 18967

This theorem is referenced by:  grpcl  18972  grpass  18973  grpideu  18975  grpmndd  18977  grpplusf  18979  grpplusfo  18980  grpsgrp  18991  dfgrp2  18993  grpidcl  18996  grplid  18998  grprid  18999  dfgrp3  19070  prdsgrpd  19081  prdsinvgd  19082  mulgaddcom  19129  mulginvcom  19130  mulgz  19133  mulgneg2  19139  mulgass  19142  issubg3  19175  grpissubg  19177  0subg  19182  subgacs  19192  0ghm  19261  pwsdiagghm  19275  cntzsubg  19370  oppggrp  19391  symgsubmefmndALT  19436  psgnunilem5  19527  psgnuni  19532  0subgALT  19601  lsmcntzr  19713  pj1ghm  19736  isabl2  19823  cntrabl  19876  dprdfid  20052  dprdfeq0  20057  dprdlub  20061  dmdprdsplitlem  20072  dprddisj2  20074  dpjidcl  20093  pgpfaclem3  20118  simpgnideld  20134  c0ghm  20478  c0snghm  20481  dsmmsubg  21781  frlm0  21792  mdetunilem7  22640  istgp2  24115  cyc3genpm  33155  isarchi3  33177  reofld  33352  lbslsat  33644  dimkerim  33655  fedgmullem2  33658  primrootscoprbij  42084  grpods  42176  pwssplit4  43078  pwslnmlem2  43082  lcoel0  48274