Theorem grpmnd 18853

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18852	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642  Grpcgrp 18846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-grp 18849

This theorem is referenced by:  grpcl  18854  grpass  18855  grpideu  18857  grpmndd  18859  grpplusf  18861  grpplusfo  18862  grpsgrp  18873  dfgrp2  18875  grpidcl  18878  grplid  18880  grprid  18881  dfgrp3  18952  prdsgrpd  18963  prdsinvgd  18964  mulgaddcom  19011  mulginvcom  19012  mulgz  19015  mulgneg2  19021  mulgass  19024  issubg3  19057  grpissubg  19059  0subg  19064  subgacs  19073  0ghm  19142  pwsdiagghm  19156  cntzsubg  19251  oppggrp  19269  symgsubmefmndALT  19315  psgnunilem5  19406  psgnuni  19411  0subgALT  19480  lsmcntzr  19592  pj1ghm  19615  isabl2  19702  cntrabl  19755  dprdfid  19931  dprdfeq0  19936  dprdlub  19940  dmdprdsplitlem  19951  dprddisj2  19953  dpjidcl  19972  pgpfaclem3  19997  simpgnideld  20013  c0ghm  20379  c0snghm  20382  dsmmsubg  21680  frlm0  21691  mdetunilem7  22533  istgp2  24006  cyc3genpm  33121  isarchi3  33156  reofld  33308  lbslsat  33629  dimkerim  33640  fedgmullem2  33643  primrootscoprbij  42194  grpods  42286  pwssplit4  43181  pwslnmlem2  43185  lcoel0  48528