Theorem grpmnd 18980

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18979	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-grp 18976

This theorem is referenced by:  grpcl  18981  grpass  18982  grpideu  18984  grpmndd  18986  grpplusf  18988  grpplusfo  18989  grpsgrp  19000  dfgrp2  19002  grpidcl  19005  grplid  19007  grprid  19008  dfgrp3  19079  prdsgrpd  19090  prdsinvgd  19091  mulgaddcom  19138  mulginvcom  19139  mulgz  19142  mulgneg2  19148  mulgass  19151  issubg3  19184  grpissubg  19186  0subg  19191  subgacs  19201  0ghm  19270  pwsdiagghm  19284  cntzsubg  19379  oppggrp  19400  symgsubmefmndALT  19445  psgnunilem5  19536  psgnuni  19541  0subgALT  19610  lsmcntzr  19722  pj1ghm  19745  isabl2  19832  cntrabl  19885  dprdfid  20061  dprdfeq0  20066  dprdlub  20070  dmdprdsplitlem  20081  dprddisj2  20083  dpjidcl  20102  pgpfaclem3  20127  simpgnideld  20143  c0ghm  20487  c0snghm  20490  dsmmsubg  21786  frlm0  21797  mdetunilem7  22645  istgp2  24120  cyc3genpm  33145  isarchi3  33167  reofld  33337  lbslsat  33629  dimkerim  33640  fedgmullem2  33643  primrootscoprbij  42059  grpods  42151  pwssplit4  43046  pwslnmlem2  43050  lcoel0  48157