Theorem grpmnd 19006

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 19005	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 501	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791  Grpcgrp 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-grp 19002

This theorem is referenced by:  grpcl  19007  grpass  19008  grpideu  19010  grpmndd  19012  grpplusf  19014  grpplusfo  19015  grpsgrp  19026  dfgrp2  19028  grpidcl  19031  grplid  19033  grprid  19034  dfgrp3  19104  prdsgrpd  19115  prdsinvgd  19116  mulgaddcom  19163  mulginvcom  19164  mulgz  19167  mulgneg2  19173  mulgass  19176  issubg3  19210  grpissubg  19212  0subg  19217  subgacs  19226  0ghm  19299  pwsdiagghm  19313  cntzsubg  19408  oppggrp  19426  symgsubmefmndALT  19472  psgnunilem5  19563  psgnuni  19568  0subgALT  19637  lsmcntzr  19749  pj1ghm  19772  isabl2  19859  cntrabl  19912  dprdfid  20088  dprdfeq0  20093  dprdlub  20097  dmdprdsplitlem  20108  dprddisj2  20110  dpjidcl  20129  pgpfaclem3  20154  simpgnideld  20170  c0ghm  20542  c0snghm  20545  dsmmsubg  21872  frlm0  21883  mdetunilem7  22754  istgp2  24227  cyc3genpm  33438  isarchi3  33473  reofld  33629  lbslsat  33972  dimkerim  33983  fedgmullem2  33986  primrootscoprbij  42837  grpods  42929  pwssplit4  43786  pwslnmlem2  43790  lcoel0  49175