Theorem grpplusfo 18891

Description: The group addition operation is a function onto the base set/set of group elements. (Contributed by NM, 30-Oct-2006.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpplusfo	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem grpplusfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18882	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpplusf.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mndpfo 18694	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5630  –onto→wfo 6498  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  +_𝑓cplusf 18574  Mndcmnd 18671  Grpcgrp 18875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-0g 17373  df-plusf 18576  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878

This theorem is referenced by:  resgrpplusfrn  18892