MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpplusfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpplusfo 18764
Description: The group addition operation is a function onto the base set/set of group elements. (Contributed by NM, 30-Oct-2006.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
grpplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2 𝐹 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpplusfo (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto𝐵)

Proof of Theorem grpplusfo
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18756 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpplusf.2 . . 3 𝐹 = (+𝑓𝐺)
42, 3mndpfo 18580 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107   × cxp 5632  ontowfo 6495  cfv 6497  Basecbs 17084  +𝑓cplusf 18495  Mndcmnd 18557  Grpcgrp 18749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fo 6503  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-0g 17324  df-plusf 18497  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752
This theorem is referenced by:  resgrpplusfrn  18765
  Copyright terms: Public domain W3C validator