Theorem grpplusfo 18872

Description: The group addition operation is a function onto the base set/set of group elements. (Contributed by NM, 30-Oct-2006.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpplusfo	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem grpplusfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18863	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpplusf.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mndpfo 18675	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5619  –onto→wfo 6487  ‘cfv 6489  Basecbs 17130  +_𝑓cplusf 18555  Mndcmnd 18652  Grpcgrp 18856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fo 6495  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-0g 17355  df-plusf 18557  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859

This theorem is referenced by:  resgrpplusfrn  18873