MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprinvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grprinvd 18880
Description: The right inverse of a group element. Deduction associated with grprinv 18875. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
grplinvd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplinvd.p + = (+g𝐺)
grplinvd.u 0 = (0g𝐺)
grplinvd.n 𝑁 = (invg𝐺)
grplinvd.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
grplinvd.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
grprinvd (𝜑 → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinvd
StepHypRef Expression
1 grplinvd.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 grplinvd.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
3 grplinvd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 grplinvd.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 grplinvd.u . . 3 0 = (0g𝐺)
6 grplinvd.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
73, 4, 5, 6grprinv 18875 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )
81, 2, 7syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823
This theorem is referenced by:  rngmneg1  46666
  Copyright terms: Public domain W3C validator