Theorem grprinvd 18917

Description: The right inverse of a group element. Deduction associated with grprinv 18912. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplinvd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplinvd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplinvd.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grplinvd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grplinvd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grplinvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grprinvd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplinvd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grplinvd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grplinvd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grplinvd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		grplinvd.u	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		grplinvd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grprinv 18912	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )
8	1, 2, 7	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  0_gc0g 17390  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860

This theorem is referenced by:  rngmneg1  20062