Theorem grplinvd 19012

Description: The left inverse of a group element. Deduction associated with grplinv 19007. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplinvd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplinvd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplinvd.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grplinvd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grplinvd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grplinvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grplinvd	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplinvd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grplinvd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grplinvd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grplinvd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		grplinvd.u	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		grplinvd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grplinv 19007	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
8	1, 2, 7	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955

This theorem is referenced by:  xpsinv  19078  rngmneg2  20165  rloccring  33274  qsdrngilem  33522  ply1dg1rt  33604  grpcominv1  42518