Theorem grplinvd 18958

Description: The left inverse of a group element. Deduction associated with grplinv 18953. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplinvd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplinvd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplinvd.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grplinvd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grplinvd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grplinvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grplinvd	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplinvd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grplinvd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grplinvd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grplinvd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		grplinvd.u	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		grplinvd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	grplinv 18953	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
8	1, 2, 7	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428  Grpcgrp 18897  inv_gcminusg 18898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901

This theorem is referenced by:  xpsinv  19023  rngmneg2  20115  rloccring  33009  qsdrngilem  33230  grpcominv1  41779