MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grprinv 18954
Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p + = (+g𝐺)
grpinv.u 0 = (0g𝐺)
grpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grprinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinv.p . . 3 + = (+g𝐺)
31, 2grpcl 18905 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4 grpinv.u . . 3 0 = (0g𝐺)
51, 4grpidcl 18929 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
61, 2, 4grplid 18931 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
71, 2grpass 18906 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
81, 2, 4grpinvex 18907 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
9 simpr 483 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 grpinv.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
111, 10grpinvcl 18951 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
121, 2, 4, 10grplinv 18953 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
133, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12grpinva 18641 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (𝑁𝑋)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901
This theorem is referenced by:  grpinvid1  18955  grpinvid2  18956  grprinvd  18959  grplrinv  18960  grpasscan1  18965  grpinvinv  18969  grplmulf1o  18976  grpinvadd  18981  grpsubid  18987  dfgrp3  19002  mulgdirlem  19067  subginv  19095  nmzsubg  19127  eqger  19140  qusinv  19152  ghminv  19184  gacan  19263  cntzsubg  19297  oppggrp  19318  oppginv  19320  psgnuni  19461  sylow2blem3  19584  frgpuplem  19734  ringnegl  20245  unitrinv  20340  isdrng2  20645  lmodvnegid  20794  lmodvsinv2  20929  lspsolvlem  21037  evpmodpmf1o  21535  grpvrinv  22318  mdetralt  22530  ghmcnp  24039  qustgpopn  24044  isngp4  24541  clmvsrinv  25054  ogrpinv0le  32816  ogrpaddltbi  32819  ogrpinv0lt  32823  ogrpinvlt  32824  archiabllem1b  32921  orngsqr  33043  quslsm  33140  lbsdiflsp0  33357  fldhmf1  41593  ldepsprlem  47618
  Copyright terms: Public domain W3C validator