Theorem grprinv 19206

Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	grpcl 19157	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4		grpinv.u	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	1, 4	grpidcl 19181	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 4	grplid 19183	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
7	1, 2	grpass 19158	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	1, 2, 4	grpinvex 19159	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
9		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		grpinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvcl 19203	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 4, 10	grplinv 19205	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
13	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	grpinva 18860	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153

This theorem is used by:  grpinvid1  19207  grpinvid2  19208  grprinvd  19211  grplrinv  19212  grpasscan1  19217  grpinvinv  19221  grplmulf1o  19228  grpinvadd  19233  grpsubid  19239  dfgrp3  19254  mulgdirlem  19320  subginv  19348  nmzsubg  19380  eqger  19395  qusinv  19410  ghminv  19442  gacan  19524  cntzsubg  19558  oppggrp  19576  oppginv  19578  psgnuni  19718  sylow2blem3  19841  frgpuplem  19991  ogrpinv0le  20355  ogrpaddltbi  20358  ogrpinv0lt  20362  ogrpinvlt  20363  ringnegl  20538  unitrinv  20629  isdrng2  21002  orngsqr  21128  lmodvnegid  21184  lmodvsinv2  21317  lspsolvlem  21425  evpmodpmf1o  21907  grpvrinv  22719  mdetralt  22928  ghmcnp  24439  qustgpopn  24444  isngp4  24936  clmvsrinv  25433  archiabllem1b  33799  quslsm  34002  lbsdiflsp0  34304  fldhmf1  43233  ldepsprlem  49677