Theorem grprinv 17789

Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grprinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Proof of Theorem grprinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	grpcl 17750	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4		grpinv.u	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	1, 4	grpidcl 17770	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 4	grplid 17772	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
7	1, 2	grpass 17751	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	1, 2, 4	grpinvex 17752	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑥) = 0 )
9		simpr 478	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		grpinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvcl 17787	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 4, 10	grplinv 17788	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
13	3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	grprinvd 7111	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6105  (class class class)co 6882  Basecbs 16188  +_gcplusg 16271  0_gc0g 16419  Grpcgrp 17742  inv_gcminusg 17743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-0g 16421  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-grp 17745  df-minusg 17746

This theorem is referenced by:  grpinvid1  17790  grpinvid2  17791  grplrinv  17793  grpasscan1  17798  grpinvinv  17802  grplmulf1o  17809  grpinvadd  17813  grpsubid  17819  dfgrp3  17834  mulgdirlem  17890  subginv  17918  nmzsubg  17952  eqger  17961  qusinv  17970  ghminv  17984  conjnmz  18011  gacan  18054  cntzsubg  18085  oppggrp  18103  oppginv  18105  psgnuni  18236  sylow2blem3  18354  frgpuplem  18504  ringnegl  18914  unitrinv  18998  isdrng2  19079  lmodvnegid  19227  lmodvsinv2  19362  lspsolvlem  19468  evpmodpmf1o  20268  grpvrinv  20531  mdetralt  20744  ghmcnp  22250  qustgpopn  22255  isngp4  22748  clmvsrinv  23238  ogrpinvOLD  30235  ogrpinv0le  30236  ogrpaddltbi  30239  ogrpinv0lt  30243  ogrpinvlt  30244  archiabllem1b  30266  orngsqr  30324  ldepsprlem  43064