Theorem hmeocldb 34072

Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocldb	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem hmeocldb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 22460	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2	1	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cnclima 21968	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
4	2, 3	sylan 583	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5523   “ cima 5527  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Topctop 21593  Clsdccld 21716   Cn ccn 21924  Homeochmeo 22453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8418  df-top 21594  df-topon 21611  df-cld 21719  df-cn 21927  df-hmeo 22455

This theorem is referenced by: (None)