Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeocldb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocldb 32867
Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
hmeocldb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem hmeocldb
StepHypRef Expression
1 hmeocn 21934 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
213ad2ant3 1171 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cnclima 21443 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
42, 3sylan 577 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113  wcel 2166  ccnv 5341  cima 5345  cfv 6123  (class class class)co 6905  Topctop 21068  Clsdccld 21191   Cn ccn 21399  Homeochmeo 21927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-map 8124  df-top 21069  df-topon 21086  df-cld 21194  df-cn 21402  df-hmeo 21929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator