Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeocldb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocldb 34859
Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
hmeocldb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem hmeocldb
StepHypRef Expression
1 hmeocn 23134 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
213ad2ant3 1136 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 cnclima 22642 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
42, 3sylan 581 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  ccnv 5636  cima 5640  cfv 6500  (class class class)co 7361  Topctop 22265  Clsdccld 22390   Cn ccn 22598  Homeochmeo 23127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-cn 22601  df-hmeo 23129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator