Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ivthALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ivthALT 35687
Description: An alternate proof of the Intermediate Value Theorem ivth 25304 using topology. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ivthALT (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐹   π‘₯,π‘ˆ
Proof of Theorem ivthALT
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp31 1208 . . . . . 6 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24734 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
4 ffun 6720 . . . . 5 (𝐹:π·βŸΆβ„‚ β†’ Fun 𝐹)
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ Fun 𝐹)
653ad2ant3 1134 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ Fun 𝐹)
7 iccconn 24667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn)
873adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn)
983ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn)
10 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
1110, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
1211anim2i 616 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ (𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„‚))
13123impb 1114 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„‚))
14133ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„‚))
154adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„‚) β†’ Fun 𝐹)
16 fdm 6726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π·βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
1716sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π·βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹 ↔ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷))
1817biimparc 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹)
1915, 18jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„‚) β†’ (Fun 𝐹 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹))
2014, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (Fun 𝐹 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹))
21 fores 6815 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
23 retop 24599 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
24 simp332 1326 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ)
25 uniretop 24600 . . . . . . . . . . 11 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2625restuni 22987 . . . . . . . . . 10 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
2723, 24, 26sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
28 foeq3 6803 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
3022, 29mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
31 simp331 1325 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
32 ssid 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
33 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
34 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)
3533cnfldtop 24621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
3633cnfldtopon 24620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3736toponunii 22739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3837restid 17386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3935, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4039eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4133, 34, 40cncfcn 24751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4232, 41mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
43423ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
44433ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4531, 44eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
46 simp31 1208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
47 simp32 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
48 resttopon 22986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
4936, 47, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
50 toponuni 22737 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·) β†’ 𝐷 = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐷 = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷))
5246, 51sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷))
53 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)
5453cnrest 23110 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5545, 52, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
57 cnex 11197 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
58 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝐷 ∈ V)
5947, 57, 58sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐷 ∈ V)
60 restabs 22990 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
6156, 46, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
62 iccssre 13413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
63623adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
64633ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
65 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
6633, 65rerest 24641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
6861, 67eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
6968oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7055, 69eleqtrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
72 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) = ran (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡))
7372eqimss2i 4043 . . . . . . . . . . 11 ran (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
75 ax-resscn 11173 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
7624, 75sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† β„‚)
77 cnrest2 23111 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))))
7871, 74, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))))
7970, 78mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
8033, 65rerest 24641 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
8124, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
8281oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
8379, 82eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))))
84 eqid 2731 . . . . . . . 8 βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
8584cnconn 23247 . . . . . . 7 ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Conn ∧ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)–ontoβ†’βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∧ (𝐹 β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn)
869, 30, 83, 85syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn)
87 reconn 24665 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
88873ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
89883ad2ant3 1134 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
90893ad2ant3 1134 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
9186, 90mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
92 simp11 1202 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9392rexrd 11271 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
94 simp12 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9594rexrd 11271 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
96 ltle 11309 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 β†’ 𝐴 ≀ 𝐡))
9796imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
98973adantl3 1167 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
99983adant3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
100 lbicc2 13448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
10193, 95, 99, 100syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
102 funfvima2 7235 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
10320, 101, 102sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
104 ubicc2 13449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
10593, 95, 99, 104syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
106 funfvima2 7235 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
10720, 105, 106sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
108 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π΄) β†’ (π‘₯[,]𝑦) = ((πΉβ€˜π΄)[,]𝑦))
109108sseq1d 4013 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π΄) β†’ ((π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ ((πΉβ€˜π΄)[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
110 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΉβ€˜π΅) β†’ ((πΉβ€˜π΄)[,]𝑦) = ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)))
111110sseq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΉβ€˜π΅) β†’ (((πΉβ€˜π΄)[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) ↔ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
112109, 111rspc2v 3622 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΄) ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
113103, 107, 112syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))(π‘₯[,]𝑦) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))))
11491, 113mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
115 ioossicc 13417 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)) βŠ† ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅))
116115sseli 3978 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)) β†’ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)))
1171163ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))) β†’ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)))
1181173ad2ant3 1134 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))) β†’ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)))
1191183ad2ant3 1134 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)[,](πΉβ€˜π΅)))
120114, 119sseldd 3983 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)))
121 fvelima 6957 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ π‘ˆ ∈ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)
1226, 120, 121syl2anc 583 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)
123 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
124123a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*))
125 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)
12624, 103sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
127 simp333 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)))
128126rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
12924, 107sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
130129rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
131 elioo2 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ (π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)) ↔ (π‘ˆ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΅))))
132128, 130, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅)) ↔ (π‘ˆ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΅))))
133127, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (π‘ˆ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΅)))
134133simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (πΉβ€˜π΄) < π‘ˆ)
135126, 134gtned 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ β‰  (πΉβ€˜π΄))
136135adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ β‰  (πΉβ€˜π΄))
137125, 136eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΉβ€˜π΄))
138137neneqd 2944 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
139 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
140138, 139nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
141 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
142133simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΅))
143141, 142ltned 11357 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ π‘ˆ β‰  (πΉβ€˜π΅))
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ β‰  (πΉβ€˜π΅))
145125, 144eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΉβ€˜π΅))
146145neneqd 2944 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
147 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
148146, 147nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
149 simprl3 1219 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡))
150140, 148, 149ecase13d 35665 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
151150ex 412 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
152124, 151jcad 512 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))))
153 3anass 1094 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
154152, 153imbitrrdi 251 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
155 rexr 11267 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
156 rexr 11267 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
157 elicc3 35669 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡))))
158155, 156, 157syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡))))
1591583adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡))))
1601593ad2ant1 1132 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡))))
161160anbi1d 629 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡 ∧ (π‘₯ = 𝐴 ∨ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡) ∨ π‘₯ = 𝐡)) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)))
162 elioo1 13371 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
163155, 156, 162syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
1641633adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
1651643ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
166154, 161, 1653imtr4d 294 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)))
167 simpr 484 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)
168167a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ))
169166, 168jcad 512 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)))
170169reximdv2 3163 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ))
171122, 170mpd 15 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐡 ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) ∧ (𝐹 β€œ (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ((πΉβ€˜π΄)(,)(πΉβ€˜π΅))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  β„*cxr 11254   < clt 11255   ≀ cle 11256  (,)cioo 13331  [,]cicc 13334   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  topGenctg 17390  β„‚fldccnfld 21234  Topctop 22716  TopOnctopon 22733   Cn ccn 23049  Conncconn 23236  β€“cnβ†’ccncf 24717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-conn 23237  df-xms 24147  df-ms 24148  df-cncf 24719
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator