Theorem hmeoclda 35213

Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoclda	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Proof of Theorem hmeoclda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23264	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2	1	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3		imacnvcnv 6205	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝑆) = (𝐹 “ 𝑆)
4		cnclima 22771	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (◡◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
5	3, 4	eqeltrrid 2838	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
6	2, 5	sylan 580	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Topctop 22394  Clsdccld 22519   Cn ccn 22727  Homeochmeo 23256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-top 22395  df-topon 22412  df-cld 22522  df-cn 22730  df-hmeo 23258

This theorem is referenced by: (None)