Theorem hmeoclda 36939

Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoclda	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Proof of Theorem hmeoclda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23988	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3		imacnvcnv 6206	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝑆) = (𝐹 “ 𝑆)
4		cnclima 23494	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (◡◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
5	3, 4	eqeltrrid 2867	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
6	2, 5	sylan 592	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Topctop 23119  Clsdccld 23242   Cn ccn 23450  Homeochmeo 23980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-top 23120  df-topon 23137  df-cld 23245  df-cn 23453  df-hmeo 23982

This theorem is used by: (None)