Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeoclda Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoclda 36316
Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
hmeoclda (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Proof of Theorem hmeoclda
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 23785 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
213ad2ant3 1134 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3 imacnvcnv 6228 . . 3 (𝐹𝑆) = (𝐹𝑆)
4 cnclima 23292 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
53, 4eqeltrrid 2844 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
62, 5sylan 580 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  Topctop 22915  Clsdccld 23040   Cn ccn 23248  Homeochmeo 23777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-cn 23251  df-hmeo 23779
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator