Theorem hmeoclda 36299

Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoclda	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Proof of Theorem hmeoclda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23790	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2	1	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3		imacnvcnv 6237	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝑆) = (𝐹 “ 𝑆)
4		cnclima 23297	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (◡◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
5	3, 4	eqeltrrid 2849	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
6	2, 5	sylan 579	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Topctop 22920  Clsdccld 23045   Cn ccn 23253  Homeochmeo 23782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cld 23048  df-cn 23256  df-hmeo 23784

This theorem is referenced by: (None)