Theorem hmeoclda 36872

Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoclda	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

Proof of Theorem hmeoclda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23929	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2	1	3ad2ant3 1152	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3		imacnvcnv 6206	. . 3 ⊢ (◡◡𝐹 “ 𝑆) = (𝐹 “ 𝑆)
4		cnclima 23436	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (◡◡𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
5	3, 4	eqeltrrid 2867	. 2 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
6	2, 5	sylan 591	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)) ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Topctop 23061  Clsdccld 23184   Cn ccn 23392  Homeochmeo 23921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cld 23187  df-cn 23395  df-hmeo 23923

This theorem is used by: (None)