Theorem hmeocn 24026

Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem hmeocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishmeo 24025	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5647  (class class class)co 7409   Cn ccn 23489  Homeochmeo 24019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-top 23159  df-topon 23176  df-cn 23492  df-hmeo 24021

This theorem is used by:  hmeocnv  24028  hmeof1o2  24029  hmeof1o  24030  hmeoopn  24032  hmeocld  24033  hmeocls  24034  hmeontr  24035  hmeoimaf1o  24036  hmeores  24037  hmeoco  24038  hmeoqtop  24041  hmphen  24051  haushmphlem  24053  cmphmph  24054  connhmph  24055  reghmph  24059  nrmhmph  24060  txhmeo  24069  xpstopnlem1  24075  tgpconncompeqg  24378  tgpconncomp  24379  qustgpopn  24386  mbfimaopnlem  25923  mndpluscn  34477  hmeocldb  37038