MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocn 21892
Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocn (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem hmeocn
StepHypRef Expression
1 ishmeo 21891 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
21simplbi 492 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  ccnv 5311  (class class class)co 6878   Cn ccn 21357  Homeochmeo 21885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-top 21027  df-topon 21044  df-cn 21360  df-hmeo 21887
This theorem is referenced by:  hmeocnv  21894  hmeof1o2  21895  hmeof1o  21896  hmeoopn  21898  hmeocld  21899  hmeocls  21900  hmeontr  21901  hmeoimaf1o  21902  hmeores  21903  hmeoco  21904  hmeoqtop  21907  hmphen  21917  haushmphlem  21919  cmphmph  21920  connhmph  21921  reghmph  21925  nrmhmph  21926  txhmeo  21935  xpstopnlem1  21941  tgpconncompeqg  22243  tgpconncomp  22244  qustgpopn  22251  mbfimaopnlem  23763  mndpluscn  30488  hmeocldb  32841
  Copyright terms: Public domain W3C validator