Theorem hmeocn 23638

Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem hmeocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishmeo 23637	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ^◡ccnv 5671  (class class class)co 7414   Cn ccn 23102  Homeochmeo 23631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8836  df-top 22770  df-topon 22787  df-cn 23105  df-hmeo 23633

This theorem is referenced by:  hmeocnv  23640  hmeof1o2  23641  hmeof1o  23642  hmeoopn  23644  hmeocld  23645  hmeocls  23646  hmeontr  23647  hmeoimaf1o  23648  hmeores  23649  hmeoco  23650  hmeoqtop  23653  hmphen  23663  haushmphlem  23665  cmphmph  23666  connhmph  23667  reghmph  23671  nrmhmph  23672  txhmeo  23681  xpstopnlem1  23687  tgpconncompeqg  23990  tgpconncomp  23991  qustgpopn  23998  mbfimaopnlem  25558  mndpluscn  33450  hmeocldb  35741