Theorem hmeocn 23768

Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem hmeocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishmeo 23767	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5684  (class class class)co 7431   Cn ccn 23232  Homeochmeo 23761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-top 22900  df-topon 22917  df-cn 23235  df-hmeo 23763

This theorem is referenced by:  hmeocnv  23770  hmeof1o2  23771  hmeof1o  23772  hmeoopn  23774  hmeocld  23775  hmeocls  23776  hmeontr  23777  hmeoimaf1o  23778  hmeores  23779  hmeoco  23780  hmeoqtop  23783  hmphen  23793  haushmphlem  23795  cmphmph  23796  connhmph  23797  reghmph  23801  nrmhmph  23802  txhmeo  23811  xpstopnlem1  23817  tgpconncompeqg  24120  tgpconncomp  24121  qustgpopn  24128  mbfimaopnlem  25690  mndpluscn  33925  hmeocldb  36335