Theorem hstnmoc 31731

Description: Sum of norms of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstnmoc	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)

Proof of Theorem hstnmoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstoc 31730	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
2	1	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)))
3	2	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))))↑2) = ((normℎ‘(𝑆‘ ℋ))↑2))
4		hstcl 31725	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
5		choccl 30814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
6		hstcl 31725	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
7	5, 6	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
8	4, 7	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ))
9	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
10		chsh 30732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
11		shococss 30802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
14	9, 13	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
15		hstorth 31728	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
16	14, 15	mpdan 685	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
17		normpyth 30653	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ) → (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 → ((normℎ‘((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))))
18	8, 16, 17	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)))
19		hst1a 31726	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
20	19	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → ((normℎ‘(𝑆‘ ℋ))↑2) = (1↑2))
21		sq1 14163	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → ((normℎ‘(𝑆‘ ℋ))↑2) = 1)
23	22	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘ ℋ))↑2) = 1)
24	3, 18, 23	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  2c2 12271  ↑cexp 14031   ℋchba 30427   +_ℎ cva 30428   ·_ih csp 30430  norm_ℎcno 30431   S_ℋ csh 30436   C_ℋ cch 30437  ⊥cort 30438  CHStateschst 30471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593  ax-hcompl 30710

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cau 24997  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-dip 30209  df-hnorm 30476  df-hvsub 30479  df-hlim 30480  df-hcau 30481  df-sh 30715  df-ch 30729  df-oc 30760  df-ch0 30761  df-chj 30818  df-hst 31720

This theorem is referenced by:  hstle1  31734  hst1h  31735  hstle  31738