Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstoh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstoh 29663
 Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice unit is zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstoh ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆𝐴) = 0)

Proof of Theorem hstoh
StepHypRef Expression
1 hstcl 29648 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
2 choccl 28737 . . . . . . . . 9 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
3 hstcl 29648 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
42, 3sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
5 his7 28519 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ) → ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) + ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
61, 1, 4, 5syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) + ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
7 normsq 28563 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)))
81, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)))
98eqcomd 2783 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) = ((norm‘(𝑆𝐴))↑2))
10 ococ 28837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)
11 eqimss2 3876 . . . . . . . . . . . 12 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
132, 12jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝐴C → ((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
1413adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
15 hstorth 29651 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
1614, 15mpdan 677 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
179, 16oveq12d 6940 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) + ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 0))
18 normcl 28554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
2019resqcld 13356 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2120recnd 10405 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℂ)
2221addid1d 10576 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 0) = ((norm‘(𝑆𝐴))↑2))
236, 17, 223eqtrrd 2818 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
24 hstoc 29653 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
2524oveq2d 6938 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
2623, 25eqtrd 2813 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
27 id 22 . . . . 5 (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0 → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0)
2826, 27sylan9eq 2833 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0)
29283impa 1097 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0)
3019recnd 10405 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℂ)
31 sqeq0 13245 . . . . 5 ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆𝐴)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆𝐴)) = 0))
33323adant3 1123 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆𝐴)) = 0))
3429, 33mpbid 224 . 2 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (norm‘(𝑆𝐴)) = 0)
35 hst0h 29659 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
36353adant3 1123 . 2 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
3734, 36mpbid 224 1 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272   + caddc 10275  2c2 11430  ↑cexp 13178   ℋchba 28348   +ℎ cva 28349   ·ih csp 28351  normℎcno 28352  0ℎc0v 28353   Cℋ cch 28358  ⊥cort 28359  CHStateschst 28392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-chj 28741  df-hst 29643 This theorem is referenced by:  hst0  29664
 Copyright terms: Public domain W3C validator