Theorem hstoh 32261

Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice one is zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstoh	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hstoh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstcl 32246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
2		choccl 31335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
3		hstcl 32246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
4	2, 3	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
5		his7 31119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) + ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
6	1, 1, 4, 5	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) + ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
7		normsq 31163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)))
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)))
9	8	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
10		ococ 31435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)
11		eqimss2 4055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴 → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
13	2, 12	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
15		hstorth 32249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
16	14, 15	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
17	9, 16	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) + ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 0))
18		normcl 31154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
22	21	addridd 11459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 0) = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
23	6, 17, 22	3eqtrrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
24		hstoc 32251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
25	24	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
26	23, 25	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0 → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0)
28	26, 27	sylan9eq 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0)
29	28	3impa 1109	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0)
30	19	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 14157	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0))
33	32	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0))
34	29, 33	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0)
35		hst0h 32257	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0ℎ))
36	35	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0ℎ))
37	34, 36	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  2c2 12319  ↑cexp 14099   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ih csp 30951  norm_ℎcno 30952  0_ℎc0v 30953   C_ℋ cch 30958  ⊥cort 30959  CHStateschst 30992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-chj 31339  df-hst 32241

This theorem is referenced by:  hst0  32262