HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstoh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstoh 32261
Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice one is zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstoh ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆𝐴) = 0)

Proof of Theorem hstoh
StepHypRef Expression
1 hstcl 32246 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
2 choccl 31335 . . . . . . . . 9 (𝐴C → (⊥‘𝐴) ∈ C )
3 hstcl 32246 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
42, 3sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
5 his7 31119 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ) → ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) + ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
61, 1, 4, 5syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) + ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
7 normsq 31163 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)))
81, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)))
98eqcomd 2741 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) = ((norm‘(𝑆𝐴))↑2))
10 ococ 31435 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)
11 eqimss2 4055 . . . . . . . . . . . 12 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
132, 12jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝐴C → ((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
1413adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
15 hstorth 32249 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
1614, 15mpdan 687 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
179, 16oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆𝐴)) + ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 0))
18 normcl 31154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14162 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2120recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℂ)
2221addridd 11459 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 0) = ((norm‘(𝑆𝐴))↑2))
236, 17, 223eqtrrd 2780 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
24 hstoc 32251 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
2524oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((𝑆𝐴) ·ih ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
2623, 25eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
27 id 22 . . . . 5 (((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0 → ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0)
2826, 27sylan9eq 2795 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0)
29283impa 1109 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0)
3019recnd 11287 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℂ)
31 sqeq0 14157 . . . . 5 ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆𝐴)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆𝐴)) = 0))
33323adant3 1131 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑆𝐴)) = 0))
3429, 33mpbid 232 . 2 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (norm‘(𝑆𝐴)) = 0)
35 hst0h 32257 . . 3 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
36353adant3 1131 . 2 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((norm‘(𝑆𝐴)) = 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
3734, 36mpbid 232 1 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ∧ ((𝑆𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  2c2 12319  cexp 14099  chba 30948   + cva 30949   ·ih csp 30951  normcno 30952  0c0v 30953   C cch 30958  cort 30959  CHStateschst 30992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-chj 31339  df-hst 32241
This theorem is referenced by:  hst0  32262
  Copyright terms: Public domain W3C validator