Theorem hstoh 32721

Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice one is zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstoh	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem hstoh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstcl 32706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
2		choccl 31795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
3		hstcl 32706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
4	2, 3	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
5		his7 31579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) + ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
6	1, 1, 4, 5	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) + ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
7		normsq 31623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)))
8	1, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)))
9	8	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
10		ococ 31895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴)
11		eqimss2 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴 → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
13	2, 12	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
15		hstorth 32709	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
16	14, 15	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0)
17	9, 16	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘𝐴)) + ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 0))
18		normcl 31614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
22	21	addridd 11438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 0) = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
23	6, 17, 22	3eqtrrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))))
24		hstoc 32711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
25	24	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) ·ih ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴)))) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
26	23, 25	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)))
27		id 23	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0 → ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0)
28	26, 27	sylan9eq 2817	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0)
29	28	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0)
30	19	recnd 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℂ)
31		sqeq0 14188	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0))
32	30, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0))
33	32	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0))
34	29, 33	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0)
35		hst0h 32717	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0ℎ))
36	35	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑆‘𝐴) = 0ℎ))
37	34, 36	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆‘𝐴) ·ih (𝑆‘ ℋ)) = 0) → (𝑆‘𝐴) = 0ℎ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   + caddc 11131  2c2 12323  ↑cexp 14129   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409   ·_ih csp 31411  norm_ℎcno 31412  0_ℎc0v 31413   C_ℋ cch 31418  ⊥cort 31419  CHStateschst 31452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hvcom 31490  ax-hvass 31491  ax-hv0cl 31492  ax-hvaddid 31493  ax-hfvmul 31494  ax-hvmulid 31495  ax-hvmulass 31496  ax-hvdistr1 31497  ax-hvdistr2 31498  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574  ax-hcompl 31691

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-lm 23460  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cfil 25489  df-cau 25490  df-cmet 25491  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-gdiv 30985  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-vs 31088  df-nmcv 31089  df-ims 31090  df-dip 31190  df-ssp 31211  df-ph 31302  df-cbn 31352  df-hnorm 31457  df-hba 31458  df-hvsub 31460  df-hlim 31461  df-hcau 31462  df-sh 31696  df-ch 31710  df-oc 31741  df-ch0 31742  df-chj 31799  df-hst 32701

This theorem is used by:  hst0  32722