Theorem gtinf 37149

Description: Any number greater than an infimum is greater than some element of the set. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gtinf	⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem gtinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)
3		ltso 11390	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → < Or ℝ)
5		infm3 12276	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
7	4, 6	infglb 9483	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) < 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   Or wor 5557  infcinf 9433  ℝcr 11199   < clt 11343   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by: (None)