Theorem infxrunb2 41198

Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
infxrunb2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))

Distinct variable group:   𝑦,𝐴,𝑥

Proof of Theorem infxrunb2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3188	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
3	1, 2	nfan 1885	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
4		nfv 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
5		nfcv 2951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
6		nfre1 3271	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
7	5, 6	nfral 3193	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
8	4, 7	nfan 1885	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
9		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10		mnfxr 10551	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12		ssel2 3890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13		nltmnf 12378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 < -∞)
15	14	ralrimiva 3151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
17		ralimralim 40905	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
19	3, 8, 9, 11, 16, 18	infxr 41197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
20	19	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
21		rexr 10540	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
22	21	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
24		mnflt 12372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑥)
26	23, 25	eqbrtrd 4990	. . . . . 6 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
27	26	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
28		xrltso 12388	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ*)
30		xrinfmss 12557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
31	30	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
32	29, 31	infglb 8807	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
33	22, 27, 32	mp2and 695	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
34	33	ralrimiva 3151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
35	34	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
36	20, 35	impbid 213	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968   Or wor 5368  infcinf 8758  ℝcr 10389  -∞cmnf 10526  ℝ^*cxr 10527   < clt 10528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726

This theorem is referenced by:  infxrbnd2  41199  infleinf  41202  infxrunb3  41261  supminfxr  41303