Theorem infxrunb2 43592

Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
infxrunb2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))

Distinct variable group:   𝑦,𝐴,𝑥

Proof of Theorem infxrunb2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3267	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
3	1, 2	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
4		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
5		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
6		nfre1 3268	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
7	5, 6	nfralw 3294	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
8	4, 7	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
9		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10		mnfxr 11212	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12		ssel2 3939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13		nltmnf 13050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 < -∞)
15	14	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
17		ralimralim 43281	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
19	3, 8, 9, 11, 16, 18	infxr 43591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
20	19	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
21		rexr 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
22	21	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
24		mnflt 13044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑥)
26	23, 25	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
27	26	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
28		xrltso 13060	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ*)
30		xrinfmss 13229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
31	30	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
32	29, 31	infglb 9426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
33	22, 27, 32	mp2and 697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
34	33	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
35	34	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
36	20, 35	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   Or wor 5544  infcinf 9377  ℝcr 11050  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388

This theorem is referenced by:  infxrbnd2  43593  infleinf  43596  infxrunb3  43649  supminfxr  43689