Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrunb2 44888
Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
infxrunb2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴,𝑥

Proof of Theorem infxrunb2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
2 nfra1 3271 . . . . 5 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
31, 2nfan 1894 . . . 4 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
4 nfv 1909 . . . . 5 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
5 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑦
6 nfre1 3272 . . . . . 6 𝑦𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
75, 6nfralw 3298 . . . . 5 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
84, 7nfan 1894 . . . 4 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
9 simpl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 mnfxr 11303 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 ssel2 3971 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 nltmnf 13144 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 < -∞)
1514ralrimiva 3135 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
1615adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
17 ralimralim 44587 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1817adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
193, 8, 9, 11, 16, 18infxr 44887 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
2019ex 411 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
21 rexr 11292 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2221adantl 480 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 simpl 481 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
24 mnflt 13138 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
2524adantl 480 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑥)
2623, 25eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
2726adantll 712 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
28 xrltso 13155 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ*)
30 xrinfmss 13324 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)))
3130ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)))
3229, 31infglb 9515 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3322, 27, 32mp2and 697 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
3433ralrimiva 3135 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
3534ex 411 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3620, 35impbid 211 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  wss 3944   class class class wbr 5149   Or wor 5589  infcinf 9466  cr 11139  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  infxrbnd2  44889  infleinf  44892  infxrunb3  44944  supminfxr  44984
  Copyright terms: Public domain W3C validator