Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrunb2 45318
Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
infxrunb2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴,𝑥

Proof of Theorem infxrunb2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . . . . 5 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
2 nfra1 3282 . . . . 5 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
31, 2nfan 1897 . . . 4 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
4 nfv 1912 . . . . 5 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
5 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑦
6 nfre1 3283 . . . . . 6 𝑦𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
75, 6nfralw 3309 . . . . 5 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
84, 7nfan 1897 . . . 4 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
9 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 mnfxr 11316 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 ssel2 3990 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 nltmnf 13169 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 < -∞)
1514ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
17 ralimralim 45021 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1817adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
193, 8, 9, 11, 16, 18infxr 45317 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
2019ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
21 rexr 11305 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2221adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 simpl 482 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
24 mnflt 13163 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑥)
2623, 25eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
2726adantll 714 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
28 xrltso 13180 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ*)
30 xrinfmss 13349 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)))
3130ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)))
3229, 31infglb 9528 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3322, 27, 32mp2and 699 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
3433ralrimiva 3144 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
3534ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3620, 35impbid 212 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596  infcinf 9479  cr 11152  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  infxrbnd2  45319  infleinf  45322  infxrunb3  45374  supminfxr  45414
  Copyright terms: Public domain W3C validator