Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrunb2 45379
Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
infxrunb2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴,𝑥

Proof of Theorem infxrunb2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . . 5 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
2 nfra1 3284 . . . . 5 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
31, 2nfan 1899 . . . 4 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
4 nfv 1914 . . . . 5 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
5 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦
6 nfre1 3285 . . . . . 6 𝑦𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
75, 6nfralw 3311 . . . . 5 𝑦𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥
84, 7nfan 1899 . . . 4 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
9 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 mnfxr 11318 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 ssel2 3978 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 nltmnf 13171 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 < -∞)
1514ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
17 ralimralim 45086 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1817adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
193, 8, 9, 11, 16, 18infxr 45378 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
2019ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
21 rexr 11307 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2221adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 simpl 482 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
24 mnflt 13165 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑥)
2623, 25eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
2726adantll 714 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
28 xrltso 13183 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2928a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ*)
30 xrinfmss 13352 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)))
3130ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑤)))
3229, 31infglb 9530 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3322, 27, 32mp2and 699 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
3433ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
3534ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3620, 35impbid 212 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143   Or wor 5591  infcinf 9481  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  infxrbnd2  45380  infleinf  45383  infxrunb3  45435  supminfxr  45475
  Copyright terms: Public domain W3C validator