Theorem infxrunb2 44813

Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
infxrunb2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))

Distinct variable group:   𝑦,𝐴,𝑥

Proof of Theorem infxrunb2

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ*
2		nfra1 3272	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
3	1, 2	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
4		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ*
5		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
6		nfre1 3273	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
7	5, 6	nfralw 3299	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥
8	4, 7	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
9		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10		mnfxr 11301	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12		ssel2 3967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13		nltmnf 13141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 < -∞)
15	14	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
16	15	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < -∞)
17		ralimralim 44512	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
18	17	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
19	3, 8, 9, 11, 16, 18	infxr 44812	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
20	19	ex 411	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
21		rexr 11290	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
22	21	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
24		mnflt 13135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
25	24	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑥)
26	23, 25	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
27	26	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥)
28		xrltso 13152	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → < Or ℝ*)
30		xrinfmss 13321	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
31	30	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
32	29, 31	infglb 9513	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
33	22, 27, 32	mp2and 697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
34	33	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
35	34	ex 411	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
36	20, 35	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143   Or wor 5583  infcinf 9464  ℝcr 11137  -∞cmnf 11276  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477

This theorem is referenced by:  infxrbnd2  44814  infleinf  44817  infxrunb3  44869  supminfxr  44909