Theorem omssubadd 30687

Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubadd.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
omssubadd	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnenom 13003	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8242	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		domentr 8251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
5	1, 3, 4	sylancl 576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
6		brdomi 8203	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
8	7	adantr 468	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
9		simplll 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10		ctex 8207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13		nfv 2005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
14		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
15	14	nfesum1 30427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)
16		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
17	15, 16	nfel 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ
18	13, 17	nfan 1990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
19		nfv 2005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑓:𝑋–1-1→ℕ
20	18, 19	nfan 1990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
21		nfv 2005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
22	20, 21	nfan 1990	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
23	9	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
24		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
25	11	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26		oms.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
27		oms.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28		omsf 30683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29		oms.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
30	29	feq1i 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
31	28, 30	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
32	26, 27, 31	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
33	32	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34		omssubadd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
35	27	fdmd 6265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
36	35	unieqd 4640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
37	36	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
38	34, 37	sseqtr4d 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
39		uniexg 7185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑄 ∈ V)
40	26, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
41	40	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ 𝑄 ∈ V)
42		ssexg 4999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
43	34, 41, 42	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
44		elpwg 4359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
46	38, 45	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
47	33, 46	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48	47	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
49		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
50	18, 25, 48, 49	esumcvgre 30478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
52	51	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
53		rpssre 12057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
54		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
55		2rp 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ+
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
57		df-f1 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun ◡𝑓))
58	57	simplbi 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
59	58	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
60	59	ffvelrnda 6581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
62	56, 61	rpexpcld 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
63	62	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
64	54, 63	rpdivcld 12103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
65	53, 64	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
66	65	adantl3r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
67		rexadd 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
68	52, 66, 67	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
69	9, 47	sylan 571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
70		dfrp2 29859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
71		ioossicc 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
72	70, 71	eqsstri 3832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
73	72, 64	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
74	73	adantl3r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
75	69, 74	xrge0addcld 29854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
76	68, 75	eqeltrrd 2886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
77	53, 54	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
78	77	adantl3r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
79	53, 62	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
80	79	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
81	80	adantl3r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
82		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
83	82	rpgt0d 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 𝑒)
84		2re 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
86	61	adantllr 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
87	86	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
88		2pos 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 2)
90		expgt0 13116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
91	85, 87, 89, 90	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
92	78, 81, 83, 91	divgt0d 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
93	66, 52	ltaddposd 10896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
94	92, 93	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
95	29	fveq1i 6409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
96	26	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉)
97	27	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
98		omsfval 30681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
99	96, 97, 34, 98	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
100	95, 99	syl5eq 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101	9, 100	sylan 571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
102	101	eqcomd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
103	102	breq1d 4854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
104	94, 103	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
105	76, 104	jca 503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
106		iccssxr 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
107		xrltso 12190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ*
108		soss 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
109	106, 107, 108	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ < Or (0[,]+∞)
110		biid 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
111	109, 110	mpbi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ < Or (0[,]+∞)
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → < Or (0[,]+∞))
113		omscl 30682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114	96, 97, 46, 113	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
115		xrge0infss 29852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
117	112, 116	infglb 8635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
118	117	imp 395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
119	23, 24, 105, 118	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
120		eqid 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
121		esumex 30416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
122	120, 121	elrnmpti 5577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
123	122	anbi1i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
124		r19.41v 3277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
125	123, 124	bitr4i 269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
126	125	exbii 1933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
127		df-rex 3102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
128		rexcom4 3419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
129	126, 127, 128	3bitr4i 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
130		breq1 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
131		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
132	130, 131	sylbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
133	132	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
134	133	exlimiv 2021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
135	134	reximi 3198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
136	129, 135	sylbi 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
137	119, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
138		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
140	139	ss2rabi 3881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
141		rexss 3866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
142	140, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
143		unieq 4638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑥)
144	143	sseq2d 3830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
145		breq1 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
146	144, 145	anbi12d 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
147	146	elrab 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
148	147	simprbi 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω))
149	148	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥)
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
151	150	anim1d 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
152	151	reximdv 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
153	142, 152	syl5bi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
154	137, 153	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
155	154	ex 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
156	22, 155	ralrimi 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
157		unieq 4638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝑔‘𝑦))
158	157	sseq2d 3830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦)))
159		esumeq1 30421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
160	159	breq1d 4854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
161	158, 160	anbi12d 618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
162	161	ac6sg 9595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))))
163	162	imp 395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
164	12, 156, 163	syl2anc 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
165	9	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
166	38	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
167		iunss 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
168	166, 167	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
169	43	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
170		iunexg 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
171	11, 169, 170	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
172		elpwg 4359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
174	168, 173	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
175	32, 174	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
176	106, 175	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177	165, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
178		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
179	25	ad4antr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
180		fex 6714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑔 ∈ V)
181	178, 179, 180	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
182		rnexg 7328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
183		uniexg 7185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ran 𝑔 ∈ V → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
184	181, 182, 183	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
185		simp-5l 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
186	27	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
187		frn 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
188		ssrab2 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
189	187, 188	syl6ss 3810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
190	189	unissd 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ ∪ 𝒫 dom 𝑅)
191		unipw 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∪ 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
192	190, 191	syl6sseq 3848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
193	192	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
194	35	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
195	193, 194	sseqtrd 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ 𝑄)
196	195	sselda 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑐 ∈ 𝑄)
197	186, 196	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → (𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198	197	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
199	185, 178, 198	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑐∪ ran 𝑔
201	200	esumcl 30417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
202	184, 199, 201	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
203	106, 202	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*)
204		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
205	204	rexrd 10374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
206		simpllr 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
207	206	rpxrd 12087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
208	205, 207	xaddcld 12349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
209	187	ad2antlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
210		sstr 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
211	188, 210	mpan2 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
212		sspwuni 4803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213	211, 212	sylib 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
214	209, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
215		ffn 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
216	215	ad2antlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
217	165, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
218		fnct 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
219		rnct 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
220	218, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
221		dfss3 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
222	221	biimpi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
223		breq1 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
224	223	elrab 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ 𝑤 ≼ ω))
225	224	simprbi 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
226	225	ralimi 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
227	222, 226	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
228		unictb 9682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
229	220, 227, 228	syl2an 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
230	216, 217, 209, 229	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
231		ctex 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ≼ ω → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
232		elpwg 4359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ V → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
233	230, 231, 232	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
234	214, 233	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
235		simpl 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
236	235	ralimi 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
237		fvssunirn 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ran 𝑔
238	237	unissi 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔
239		sstr 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
240	238, 239	mpan2 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
241	240	ralimi 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
242		iunss 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
243	241, 242	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
244	236, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
245	244	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
246	234, 245, 230	jca32 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
247		unieq 4638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ∪ 𝑧 = ∪ ∪ ran 𝑔)
248	247	sseq2d 3830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔))
249		breq1 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ∪ ran 𝑔 ≼ ω))
250	248, 249	anbi12d 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ((∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
251	250	elrab 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
252	246, 251	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
253		fveq2 6408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑅‘𝑐) = (𝑅‘𝑤))
254	253	cbvesumv 30430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)
255		esumeq1 30421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ∪ ran 𝑔 → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
256	255	rspceeqv 3520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
257	252, 254, 256	sylancl 576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
258		esumex 30416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V
259		eqid 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
260	259	elrnmpt 5573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
261	258, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
262	257, 261	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
263	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
264		omscl 30682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
265	26, 27, 174, 264	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
266		xrge0infss 29852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
268	263, 267	inflb 8634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
269	29	fveq1i 6409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)
270	168, 36	sseqtrd 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
271		omsfval 30681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272	26, 27, 270, 271	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
273	269, 272	syl5eq 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
274	273	breq2d 4856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
275	274	notbid 309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
276	268, 275	sylibrd 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
277	165, 262, 276	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
278		biid 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
279	277, 278	sylib 209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
280		xrlenlt 10388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
281	177, 203, 280	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
282	279, 281	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐))
283		nfv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
284	22, 283	nfan 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
285		nfra1 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
286	284, 285	nfan 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
287		simp-6l 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
288		simpllr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
289		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
290	27	ad3antrrr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
291		simpllr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
292		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
293	291, 292	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
294	188, 293	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
295	294	elpwid 4363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ dom 𝑅)
296	290, 295	fssdmd 6271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ 𝑄)
297		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦))
298	296, 297	sseldd 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝑄)
299	290, 298	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
300	299	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
301		fvex 6421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔‘𝑦) ∈ V
302		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑔‘𝑦)
303	302	esumcl 30417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑔‘𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304	301, 303	mpan 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305	300, 304	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
306	287, 288, 289, 305	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
307	306	ex 399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
308	286, 307	ralrimi 3145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309	14	esumcl 30417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
310	179, 308, 309	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
311	106, 310	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
312		nfv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
313		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
314		fniunfv 6729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 Fn 𝑋 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
315	313, 215, 314	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
316	312, 315	esumeq1d 30422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
317	11	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
318	301	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑔‘𝑦) ∈ V)
319	317, 318, 299	esumiun 30481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
320	316, 319	eqbrtrrd 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
321	9, 320	sylan 571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
322	321	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
323	254, 322	syl5eqbr 4879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
324	287, 289, 47	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
325		simplll 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
326	325, 289, 74	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
327	324, 326	xrge0addcld 29854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
328	327	ex 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
329	286, 328	ralrimi 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330	14	esumcl 30417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
331	179, 329, 330	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
332	106, 331	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
333	217, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
334		simp-4l 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ))
335		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
336	334, 335, 50	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
337	336	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
338	66	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
339	338	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
340		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
341	340	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
342	67	breq2d 4856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
343	342	biimpar 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
344	337, 339, 341, 343	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
345	344	ex 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
346	334	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
347		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
348	346, 347, 335, 305	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
349	106, 348	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
350	336	rexrd 10374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
351	338	rexrd 10374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
352	350, 351	xaddcld 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
353		xrltle 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
354	349, 352, 353	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
355	345, 354	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
356	355	adantld 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
357	356	ex 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
358	284, 357	ralrimi 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
359		ralim 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
360	358, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
361	360	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
362	361	r19.21bi 3120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
363	286, 14, 333, 306, 327, 362	esumlef 30449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
364	165, 47	sylan 571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
365	286, 14, 333, 364, 326	esumaddf 30448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
366	326	ex 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
367	286, 366	ralrimi 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368	14	esumcl 30417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
369	179, 367, 368	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
370	106, 369	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
371		simp-4r 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
372		vex 3394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
373	372	rnex 7330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
374	373	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
375	59	frnd 6263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
376	375	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
377	376	sselda 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
378	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
379		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
380	379	nnzd 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
381	378, 380	rpexpcld 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
382	381	rpreccld 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
383	72, 382	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384	383	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385	377, 384	syldan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
386	385	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
387		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧ran 𝑓
388	387	esumcl 30417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
389	374, 386, 388	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
390	106, 389	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
391		1re 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
392		rexr 10370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
393	391, 392	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ*
394	393	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
395	72	sseli 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
396	395	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
397		elxrge0 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
398	396, 397	sylib 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
399		nfv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
400		nnex 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℕ ∈ V
401	400	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
402	399, 401, 383, 375	esummono 30441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
403		oveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
404	403	oveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
405		ioossico 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
406	70, 405	eqsstri 3832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
407	406, 382	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
408		eqidd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
409		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
410	409	oveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
411	410	oveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
412		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
413		ovexd 6908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
414	408, 411, 412, 413	fvmptd 6509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
415	414	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
416		ax-1cn 10279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℂ
417		eqid 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
418	417	geo2lim 14828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
419	416, 418	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
420	419	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
421	391	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
422	404, 407, 415, 420, 421	esumcvgsum 30475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
423		geoihalfsum 14835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
424	422, 423	syl6eq 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
425	402, 424	breqtrd 4870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
426	425	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
427		xlemul2a 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
428	390, 394, 398, 426, 427	syl31anc 1485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
429	13, 19	nfan 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
430	429, 21	nfan 1990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
431	77	recnd 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
432	79	recnd 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
433	432	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
434		2cn 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
435	434	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
436		2ne0 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ≠ 0
437	436	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ≠ 0)
438	435, 437, 61	expne0d 13237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
439	438	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
440	431, 433, 439	divrecd 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
441		1rp 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 1 ∈ ℝ+
442	441	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
443	442, 62	rpdivcld 12103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
444	53, 443	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
445	444	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
446		rexmul 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
447	77, 445, 446	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
448	440, 447	eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
449	448	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
450	430, 449	esumeq2d 30424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
451	11	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
452	72, 443	sseldi 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
453	452	adantlr 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
454	406	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
455	454	sselda 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
456	451, 453, 455	esummulc2 30469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
457		nfcv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑦(1 / (2↑𝑧))
458		oveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓‘𝑦)))
459	458	oveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
460	11	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
461	57	simprbi 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡𝑓)
462	58	feqmptd 6470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
463	462	cnveqd 5499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → ◡𝑓 = ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
464	463	funeqd 6123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (Fun ◡𝑓 ↔ Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦))))
465	461, 464	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
466	465	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
467	457, 429, 14, 459, 460, 466, 452, 60	esumc 30438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
468		ffn 6256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
469		fnrnfv 6463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
470	59, 468, 469	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
471	399, 470	esumeq1d 30422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
472	467, 471	eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
473	472	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
474	473	oveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
475	450, 456, 474	3eqtr2rd 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
476	398	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
477		xmulid1 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
478	476, 477	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
479	428, 475, 478	3brtr3d 4875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
480	165, 371, 206, 479	syl21anc 857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
481		xleadd2a 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
482	370, 207, 205, 480, 481	syl31anc 1485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
483	365, 482	eqbrtrd 4866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
484	311, 332, 208, 363, 483	xrletrd 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
485	203, 311, 208, 323, 484	xrletrd 12211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
486	177, 203, 208, 282, 485	xrletrd 12211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
487	206	rpred 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
488		rexadd 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
489	204, 487, 488	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
490	486, 489	breqtrd 4870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
491	490	anasss 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
492	491	ex 399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
493	492	exlimdv 2024	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
494	164, 493	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
495	494	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
496		xralrple 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
497	176, 496	sylan 571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
498	497	adantr 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
499	495, 498	mpbird 248	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
500	499	ex 399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
501	500	exlimdv 2024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
502	8, 501	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
503	176	adantr 468	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
504		pnfge 12180	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
505	503, 504	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
506	47	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
507	14	esumcl 30417	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
508	11, 506, 507	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
509		xrge0nre 12497	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
510	508, 509	sylan 571	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
511	505, 510	breqtrrd 4872	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
512	502, 511	pm2.61dan 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637  ∃wex 1859   ∈ wcel 2156  {cab 2792   ≠ wne 2978  ∀wral 3096  ∃wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4351  ∪ cuni 4630  ∪ ciun 4712   class class class wbr 4844   ↦ cmpt 4923   Or wor 5231  ^◡ccnv 5310  dom cdm 5311  ran crn 5312  Fun wfun 6095   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  –1-1→wf1 6098  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  ωcom 7295   ≈ cen 8189   ≼ cdom 8190  infcinf 8586  ℂcc 10219  ℝcr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226  +∞cpnf 10356  ℝ^*cxr 10358   < clt 10359   ≤ cle 10360   / cdiv 10969  ℕcn 11305  2c2 11356  ℤcz 11643  ℝ⁺crp 12046   +_𝑒 cxad 12160   ·_e cxmu 12161  (,)cioo 12393  [,)cico 12395  [,]cicc 12396  seqcseq 13024  ↑cexp 13083   ⇝ cli 14438  Σcsu 14639  Σ^*cesum 30414  toOMeascoms 30678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-reg 8736  ax-inf2 8785  ax-cc 9542  ax-ac2 9570  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-r1 8874  df-rank 8875  df-card 9048  df-acn 9051  df-ac 9222  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-shft 14030  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-ordt 16366  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-ps 17405  df-tsr 17406  df-plusf 17446  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-mulg 17746  df-subg 17793  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-subrg 18982  df-abv 19021  df-lmod 19069  df-scaf 19070  df-sra 19381  df-rgmod 19382  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-tmd 22089  df-tgp 22090  df-tsms 22143  df-trg 22176  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-nm 22600  df-ngp 22601  df-nrg 22603  df-nlm 22604  df-ii 22893  df-cncf 22894  df-limc 23844  df-dv 23845  df-log 24517  df-esum 30415  df-oms 30679

This theorem is referenced by:  omsmeas  30710