Theorem omssubadd 34457

Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubadd.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
omssubadd	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnenom 13903	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8941	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		domentr 8950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
5	1, 3, 4	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
6		brdomi 8896	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
9		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10		ctex 8900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
14		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
15	14	nfesum1 34197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)
16		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
17	15, 16	nfel 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ
18	13, 17	nfan 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
19		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑓:𝑋–1-1→ℕ
20	18, 19	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
21		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
22	20, 21	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
23	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
25	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26		oms.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
27		oms.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28		omsf 34453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29		oms.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
30	29	feq1i 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
31	28, 30	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
32	26, 27, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34		omssubadd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
35	27	fdmd 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
36	35	unieqd 4876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
38	34, 37	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
39	26	uniexd 7687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ 𝑄 ∈ V)
41		ssexg 5268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
42	34, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
43		elpwg 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
45	38, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
46	33, 45	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
47	46	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
49	18, 25, 47, 48	esumcvgre 34248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
52		rpssre 12913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
53		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
54		2rp 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
56		df-f1 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun ◡𝑓))
57	56	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
59	58	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
61	55, 60	rpexpcld 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
62	61	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
63	53, 62	rpdivcld 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
64	52, 63	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
65	64	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
66		rexadd 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
67	51, 65, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
68	9, 46	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
69		dfrp2 13310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
70		ioossicc 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
71	69, 70	eqsstri 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
72	71, 63	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
73	72	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
74	68, 73	xrge0addcld 32842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
75	67, 74	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
76	52, 53	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
77	76	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
78	52, 61	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
79	78	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
80	79	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
81		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
82	81	rpgt0d 12952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 𝑒)
83		2re 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
85	60	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
86	85	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
87		2pos 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 2)
89		expgt0 14018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
90	84, 86, 88, 89	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
91	77, 80, 82, 90	divgt0d 12077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
92	65, 51	ltaddposd 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
93	91, 92	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
94	29	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
95	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉)
96	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
97		omsfval 34451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
98	95, 96, 34, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
99	94, 98	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
100	9, 99	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101	100	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
102	101	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
103	93, 102	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
104	75, 103	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
105		iccssxr 13346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
106		xrltso 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ*
107		soss 5552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
108	105, 106, 107	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ < Or (0[,]+∞)
109		biid 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110	108, 109	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ < Or (0[,]+∞)
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → < Or (0[,]+∞))
112		omscl 34452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
113	95, 96, 45, 112	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114		xrge0infss 32840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
116	111, 115	infglb 9394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
117	116	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
118	23, 24, 104, 117	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
119		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
120		esumex 34186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
121	119, 120	elrnmpti 5911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
122	121	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
123		r19.41v 3166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
124	122, 123	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
125	124	exbii 1849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
126		df-rex 3061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
127		rexcom4 3263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
128	125, 126, 127	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
129		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
130		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
131	129, 130	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
132	131	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
133	132	exlimiv 1931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
134	133	reximi 3074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
135	128, 134	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
136	118, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
139	138	ss2rabi 4028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
140		rexss 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
142		unieq 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑥)
143	142	sseq2d 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
144		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
145	143, 144	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
146	145	elrab 3646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
147	146	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω))
148	147	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥)
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
150	149	anim1d 611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
151	150	reximdv 3151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
152	141, 151	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
153	136, 152	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
154	153	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
155	22, 154	ralrimi 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
156		unieq 4874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝑔‘𝑦))
157	156	sseq2d 3966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦)))
158		esumeq1 34191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
159	158	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
160	157, 159	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
161	160	ac6sg 10398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))))
162	161	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
163	12, 155, 162	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
164	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
165	38	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
166		iunss 5000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
167	165, 166	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
168	42	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
169		iunexg 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
170	11, 168, 169	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
171		elpwg 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
173	167, 172	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
174	32, 173	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175	105, 174	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176	164, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
178	25	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
179	177, 178	fexd 7173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
180		rnexg 7844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
181		uniexg 7685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ran 𝑔 ∈ V → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
182	179, 180, 181	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
183		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
184	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
185		frn 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
186		ssrab2 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
187	185, 186	sstrdi 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
188	187	unissd 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ ∪ 𝒫 dom 𝑅)
189		unipw 5398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∪ 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
190	188, 189	sseqtrdi 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
191	190	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
192	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
193	191, 192	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ 𝑄)
194	193	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑐 ∈ 𝑄)
195	184, 194	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → (𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
196	195	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
197	183, 177, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑐∪ ran 𝑔
199	198	esumcl 34187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200	182, 197, 199	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201	105, 200	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*)
202		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
203	202	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
204		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
205	204	rpxrd 12950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
206	203, 205	xaddcld 13216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
207	185	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
208		sstr 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
209	186, 208	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
210		sspwuni 5055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
211	209, 210	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
212	207, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213		ffn 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
214	213	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
215	164, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
216		fnct 10447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
217		rnct 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
219		dfss3 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
220	219	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
221		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
222	221	elrab 3646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ 𝑤 ≼ ω))
223	222	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
224	223	ralimi 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
225	220, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
226		unictb 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
227	218, 225, 226	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
228	214, 215, 207, 227	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
229		ctex 8900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ≼ ω → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
230		elpwg 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ V → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
231	228, 229, 230	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
232	212, 231	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
233		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
234	233	ralimi 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
235		fvssunirn 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ran 𝑔
236	235	unissi 4872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔
237		sstr 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
238	236, 237	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
239	238	ralimi 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
240		iunss 5000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
241	239, 240	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
242	234, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
243	242	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
244	232, 243, 228	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
245		unieq 4874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ∪ 𝑧 = ∪ ∪ ran 𝑔)
246	245	sseq2d 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔))
247		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ∪ ran 𝑔 ≼ ω))
248	246, 247	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ((∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
249	248	elrab 3646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
250	244, 249	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
251		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑅‘𝑐) = (𝑅‘𝑤))
252	251	cbvesumv 34200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)
253		esumeq1 34191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ∪ ran 𝑔 → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
254	253	rspceeqv 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
255	250, 252, 254	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
256		esumex 34186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V
257		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
258	257	elrnmpt 5907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
259	256, 258	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
260	255, 259	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
261	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
262		omscl 34452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
263	26, 27, 173, 262	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
264		xrge0infss 32840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
265	263, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
266	261, 265	inflb 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
267	29	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)
268	167, 36	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
269		omsfval 34451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
270	26, 27, 268, 269	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
271	267, 270	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272	271	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
273	272	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
274	266, 273	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
275	164, 260, 274	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
276		biid 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
277	275, 276	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
278		xrlenlt 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
279	176, 201, 278	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
280	277, 279	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐))
281		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
282	22, 281	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
283		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
284	282, 283	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
285		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
286		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
287		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
288	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
289		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
290		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
291	289, 290	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
292	186, 291	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
293	292	elpwid 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ dom 𝑅)
294	288, 293	fssdmd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ 𝑄)
295		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦))
296	294, 295	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝑄)
297	288, 296	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
298	297	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
299		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔‘𝑦) ∈ V
300		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑔‘𝑦)
301	300	esumcl 34187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑔‘𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
302	299, 301	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303	298, 302	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304	285, 286, 287, 303	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305	304	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
306	284, 305	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
307	14	esumcl 34187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308	178, 306, 307	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309	105, 308	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
310		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
311		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
312		fniunfv 7193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 Fn 𝑋 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
313	311, 213, 312	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
314	310, 313	esumeq1d 34192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
315	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
316	299	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑔‘𝑦) ∈ V)
317	315, 316, 297	esumiun 34251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
318	314, 317	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
319	9, 318	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
320	319	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
321	252, 320	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
322	285, 287, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
323		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
324	323, 287, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
325	322, 324	xrge0addcld 32842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
326	325	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
327	284, 326	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
328	14	esumcl 34187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
329	178, 327, 328	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330	105, 329	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
331	215, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
332		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ))
333		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
334	332, 333, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
335	334	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
336	65	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
337	336	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
338		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
339	338	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
340	66	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
341	340	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
342	335, 337, 339, 341	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
343	342	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
344	332	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
345		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
346	344, 345, 333, 303	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
347	105, 346	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
348	334	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
349	336	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
350	348, 349	xaddcld 13216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
351		xrltle 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
352	347, 350, 351	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
353	343, 352	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
354	353	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
355	354	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
356	282, 355	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
357		ralim 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
358	356, 357	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
359	358	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
360	359	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
361	284, 14, 331, 304, 325, 360	esumlef 34219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
362	164, 46	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
363	284, 14, 331, 362, 324	esumaddf 34218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
364	324	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
365	284, 364	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
366	14	esumcl 34187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
367	178, 365, 366	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368	105, 367	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
369		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
370		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
371	370	rnex 7852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
373	58	frnd 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
374	373	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
375	374	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
376	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
377		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
378	377	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
379	376, 378	rpexpcld 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
380	379	rpreccld 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
381	71, 380	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
382	381	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383	375, 382	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384	383	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧ran 𝑓
386	385	esumcl 34187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
387	372, 384, 386	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388	105, 387	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
389		1xr 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ*
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
391	71	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
392	391	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393		elxrge0 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
394	392, 393	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
395		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
396		nnex 12151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℕ ∈ V
397	396	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
398	395, 397, 381, 373	esummono 34211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
399		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
400	399	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
401		ioossico 13354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
402	69, 401	eqsstri 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
403	402, 380	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
404		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
405		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
406	405	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
407	406	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
408		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
409		ovexd 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
410	404, 407, 408, 409	fvmptd 6948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
411	410	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
412		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℂ
413		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
414	413	geo2lim 15798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
415	412, 414	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
416	415	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
417		1re 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
418	417	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419	400, 403, 411, 416, 418	esumcvgsum 34245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
420		geoihalfsum 15805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
421	419, 420	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
422	398, 421	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
423	422	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
424		xlemul2a 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
425	388, 390, 394, 423, 424	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
426	13, 19	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
427	426, 21	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
428	76	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
429	78	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
430	429	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
431		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
432	431	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
433		2ne0 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ≠ 0
434	433	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ≠ 0)
435	432, 434, 60	expne0d 14075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
436	435	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
437	428, 430, 436	divrecd 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
438		1rp 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 1 ∈ ℝ+
439	438	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
440	439, 61	rpdivcld 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
441	52, 440	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
442	441	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
443		rexmul 13186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
444	76, 442, 443	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
445	437, 444	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
446	445	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
447	427, 446	esumeq2d 34194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
448	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
449	71, 440	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
450	449	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
451	402	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
452	451	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
453	448, 450, 452	esummulc2 34239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
454		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑦(1 / (2↑𝑧))
455		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓‘𝑦)))
456	455	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
457	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
458	56	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡𝑓)
459	57	feqmptd 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
460	459	cnveqd 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → ◡𝑓 = ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
461	460	funeqd 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (Fun ◡𝑓 ↔ Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦))))
462	458, 461	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
463	462	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
464	454, 426, 14, 456, 457, 463, 449, 59	esumc 34208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
465		ffn 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
466		fnrnfv 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
467	58, 465, 466	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
468	395, 467	esumeq1d 34192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
469	464, 468	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
470	469	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471	470	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
472	447, 453, 471	3eqtr2rd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
473	394	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
474		xmulrid 13194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
475	473, 474	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
476	425, 472, 475	3brtr3d 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
477	164, 369, 204, 476	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
478		xleadd2a 13169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
479	368, 205, 203, 477, 478	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
480	363, 479	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
481	309, 330, 206, 361, 480	xrletrd 13076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
482	201, 309, 206, 321, 481	xrletrd 13076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
483	176, 201, 206, 280, 482	xrletrd 13076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
484	204	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
485		rexadd 13147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
486	202, 484, 485	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
487	483, 486	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
488	487	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
489	488	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
490	489	exlimdv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
491	163, 490	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
492	491	ralrimiva 3128	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
493		xralrple 13120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
494	175, 493	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
495	494	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
496	492, 495	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
497	496	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
498	497	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
499	8, 498	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
500	175	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
501		pnfge 13044	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
502	500, 501	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
503	46	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
504	14	esumcl 34187	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
505	11, 503, 504	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
506		xrge0nre 13369	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
507	505, 506	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
508	502, 507	breqtrrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
509	499, 508	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   Or wor 5531  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  infcinf 9344  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905   +_𝑒 cxad 13024   ·_e cxmu 13025  (,)cioo 13261  [,)cico 13263  [,]cicc 13264  seqcseq 13924  ↑cexp 13984   ⇝ cli 15407  Σcsu 15609  Σ^*cesum 34184  toOMeascoms 34448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-r1 9676  df-rank 9677  df-card 9851  df-acn 9854  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-ordt 17422  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-ps 18489  df-tsr 18490  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-abv 20742  df-lmod 20813  df-scaf 20814  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-tmd 24016  df-tgp 24017  df-tsms 24071  df-trg 24104  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-nrg 24529  df-nlm 24530  df-ii 24826  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-esum 34185  df-oms 34449

This theorem is referenced by:  omsmeas  34480