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Theorem omssubadd 32900
Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
omssubadd.b (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
omssubadd (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubadd.b . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnenom 13885 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 8944 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 domentr 8953 . . . . . 6 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
51, 3, 4sylancl 586 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
6 brdomi 8898 . . . . 5 (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
9 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10 ctex 8903 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
129, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
14 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑋
1514nfesum1 32639 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)
16 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦
1715, 16nfel 2921 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ
1813, 17nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
19 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑓:𝑋1-1→ℕ
2018, 19nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
21 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
2220, 21nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
2511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26 oms.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑄𝑉)
27 oms.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28 omsf 32896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29 oms.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
3029feq1i 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3128, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3226, 27, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34 omssubadd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
3527fdmd 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
3635unieqd 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → dom 𝑅 = 𝑄)
3834, 37sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 dom 𝑅)
3926uniexd 7679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 𝑄 ∈ V)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄 ∈ V)
41 ssexg 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4234, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ V)
43 elpwg 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4538, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
4633, 45ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4746adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
4918, 25, 47, 48esumcvgre 32690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
52 rpssre 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ ℝ
53 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
54 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
56 df-f1 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun 𝑓))
5756simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
5958ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ)
6059nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
6155, 60rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6261adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6353, 62rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
6452, 63sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
6564adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
66 rexadd 13151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
6751, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
689, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
69 dfrp2 13313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (0(,)+∞)
70 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7169, 70eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ (0[,]+∞)
7271, 63sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7372adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7468, 73xrge0addcld 31667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7567, 74eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7652, 53sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7776adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7852, 61sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
7978adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8079adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
81 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8281rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 𝑒)
83 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ)
8560adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
8685adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
87 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 2)
89 expgt0 14001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9084, 86, 88, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9177, 80, 82, 90divgt0d 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
9265, 51ltaddposd 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
9429fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
9526adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄𝑉)
9627adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
97 omsfval 32894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
9895, 96, 34, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
9994, 98eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
1009, 99sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101100eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
102101breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
10393, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
10475, 103jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
105 iccssxr 13347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
106 xrltso 13060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
107 soss 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
108105, 106, 107mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < Or (0[,]+∞)
109 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110108, 109mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or (0[,]+∞)
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → < Or (0[,]+∞))
112 omscl 32895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
11395, 96, 45, 112syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114 xrge0infss 31665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
116111, 115infglb 9426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑋) → ((((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
117116imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
11823, 24, 104, 117syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
119 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
120 esumex 32628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
121119, 120elrnmpti 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
122121anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
123 r19.41v 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
124122, 123bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
125124exbii 1850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
126 df-rex 3074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
127 rexcom4 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
128125, 126, 1273bitr4i 302 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
129 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
130 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
131129, 130sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
132131imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
133132exlimiv 1933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
134133reximi 3087 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
135128, 134sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
136118, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
137 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
139138ss2rabi 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
140 rexss 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
141139, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
142 unieq 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 𝑧 = 𝑥)
143142sseq2d 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 𝑧𝐴 𝑥))
144 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
145143, 144anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
146145elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
147146simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω))
148147simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥)
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥))
150149anim1d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
151150reximdv 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
152141, 151biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
153136, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
154153ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
15522, 154ralrimi 3240 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
156 unieq 4876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → 𝑥 = (𝑔𝑦))
157156sseq2d 3976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (𝐴 𝑥𝐴 (𝑔𝑦)))
158 esumeq1 32633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
159158breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
160157, 159anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑔𝑦) → ((𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
161160ac6sg 10424 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))))
162161imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
16312, 155, 162syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
1649ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
16538ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
166 iunss 5005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
167165, 166sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
16842ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
169 iunexg 7896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V) → 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
17011, 168, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
171 elpwg 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
173167, 172mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
17432, 173ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175105, 174sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176164, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
17825ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
179177, 178fexd 7177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
180 rnexg 7841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
181 uniexg 7677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
182179, 180, 1813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ V)
183 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
18427ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
185 frn 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
186 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
187185, 186sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
188187unissd 4875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 𝒫 dom 𝑅)
189 unipw 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
190188, 189sseqtrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
191190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
19235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
193191, 192sseqtrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔𝑄)
194193sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑐𝑄)
195184, 194ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → (𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
196195ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
197183, 177, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ran 𝑔
199198esumcl 32629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200182, 197, 199syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201105, 200sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*)
202 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
203202rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
204 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
205204rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
206203, 205xaddcld 13220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
207185ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
208 sstr 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
209186, 208mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
210 sspwuni 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
211209, 210sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
212207, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
214213ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
215164, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
216 fnct 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
217 rnct 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
219 dfss3 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
220219biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
221 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
222221elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑤 ≼ ω))
223222simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
224223ralimi 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
225220, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
226 unictb 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
227218, 225, 226syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ≼ ω)
228214, 215, 207, 227syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ≼ ω)
229 ctex 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ∈ V)
230 elpwg 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ∈ V → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
231228, 229, 2303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
232212, 231mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
233 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝐴 (𝑔𝑦))
234233ralimi 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦))
235 fvssunirn 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
236235unissi 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
237 sstr 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔) → 𝐴 ran 𝑔)
238236, 237mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 (𝑔𝑦) → 𝐴 ran 𝑔)
239238ralimi 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
240 iunss 5005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
241239, 240sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
242234, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
243242adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
244232, 243, 228jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
245 unieq 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = ran 𝑔 𝑧 = ran 𝑔)
246245sseq2d 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔))
247 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ran 𝑔 ≼ ω))
248246, 247anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = ran 𝑔 → (( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
249248elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
250244, 249sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
251 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑤 → (𝑅𝑐) = (𝑅𝑤))
252251cbvesumv 32642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)
253 esumeq1 32633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ran 𝑔 → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
254253rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
255250, 252, 254sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
256 esumex 32628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V
257 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
258257elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
259256, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
260255, 259sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
261110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
262 omscl 32895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
26326, 27, 173, 262syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
264 xrge0infss 31665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
266261, 265inflb 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
26729fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴)
268167, 36sseqtrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 𝑄)
269 omsfval 32894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
27026, 27, 268, 269syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
271267, 270eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272271breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
273272notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
274266, 273sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
275164, 260, 274sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
276 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
277275, 276sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
278 xrlenlt 11220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
279176, 201, 278syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
280277, 279mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐))
281 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
28222, 281nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
283 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
284282, 283nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
285 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
286 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
287 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
28827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
289 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
290 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑦𝑋)
291289, 290ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
292186, 291sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
293292elpwid 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ dom 𝑅)
294288, 293fssdmd 6687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ 𝑄)
295 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔𝑦))
296294, 295sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤𝑄)
297288, 296ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
298297ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
299 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝑦) ∈ V
300 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤(𝑔𝑦)
301300esumcl 32629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑔𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
302299, 301mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303298, 302syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304285, 286, 287, 303syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305304ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
306284, 305ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
30714esumcl 32629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308178, 306, 307syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309105, 308sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
310 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤(𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
311 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
312 fniunfv 7194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 Fn 𝑋 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
313311, 213, 3123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
314310, 313esumeq1d 32634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
31511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
316299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑔𝑦) ∈ V)
317315, 316, 297esumiun 32693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
318314, 317eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
3199, 318sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
320319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
321252, 320eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
322285, 287, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
323 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
324323, 287, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
325322, 324xrge0addcld 31667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
326325ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
327284, 326ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
32814esumcl 32629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
329178, 327, 328syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330105, 329sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
331215, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
332 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ))
333 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
334332, 333, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
335334adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
33665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
337336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
338 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 *𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
339338adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
34066breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
341340biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
342335, 337, 339, 341syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
343342ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
344332simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
345 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
346344, 345, 333, 303syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
347105, 346sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
348334rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
349336rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
350348, 349xaddcld 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
351 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
352347, 350, 351syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
353343, 352syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
354353adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
355354ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (𝑦𝑋 → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
356282, 355ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
357 ralim 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
359358imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
360359r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
361284, 14, 331, 304, 325, 360esumlef 32661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
362164, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
363284, 14, 331, 362, 324esumaddf 32660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
364324ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
365284, 364ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
36614esumcl 32629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
367178, 365, 366syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368105, 367sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
369 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
370 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
371370rnex 7849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran 𝑓 ∈ V
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
37358frnd 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
374373adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
375374sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
37654a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
377 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
378377nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
379376, 378rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
380379rpreccld 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
38171, 380sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
382381adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383375, 382syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384383ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧ran 𝑓
386385esumcl 32629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
387372, 384, 386syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388105, 387sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
389 1xr 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
39171sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0[,]+∞))
392391adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
394392, 393sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
395 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
396 nnex 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℕ ∈ V
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
398395, 397, 381, 373esummono 32653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
399 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
400399oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
401 ioossico 13355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
40269, 401eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + ⊆ (0[,)+∞)
403402, 380sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
404 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
405 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
406405oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
407406oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
408 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
409 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
410404, 407, 408, 409fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
411410adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
412 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
413 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
414413geo2lim 15760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
415412, 414ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
416415a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
417 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
418417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419400, 403, 411, 416, 418esumcvgsum 32687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
420 geoihalfsum 15767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
421419, 420eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
422398, 421breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
423422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
424 xlemul2a 13208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
425388, 390, 394, 423, 424syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
42613, 19nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
427426, 21nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
42876recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
42978recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
430429adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
431 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℂ)
433 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ≠ 0
434433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ≠ 0)
435432, 434, 60expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
436435adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
437428, 430, 436divrecd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
438 1rp 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℝ+
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
440439, 61rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
44152, 440sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
442441adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
443 rexmul 13190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
44476, 442, 443syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
445437, 444eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
446445ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
447427, 446esumeq2d 32636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
44811ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
44971, 440sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
450449adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
451402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
452451sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
453448, 450, 452esummulc2 32681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
454 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑦(1 / (2↑𝑧))
455 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓𝑦)))
456455oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓𝑦))))
45711adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
45856simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun 𝑓)
45957feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
460459cnveqd 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
461460funeqd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (Fun 𝑓 ↔ Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦))))
462458, 461mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
463462adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
464454, 426, 14, 456, 457, 463, 449, 59esumc 32650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
465 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
466 fnrnfv 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
46758, 465, 4663syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
468395, 467esumeq1d 32634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
469464, 468eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
470469adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471470oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
472447, 453, 4713eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
473394simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
474 xmulid1 13198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
475473, 474syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
476425, 472, 4753brtr3d 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
477164, 369, 204, 476syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
478 xleadd2a 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
479368, 205, 203, 477, 478syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
480363, 479eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
481309, 330, 206, 361, 480xrletrd 13081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
482201, 309, 206, 321, 481xrletrd 13081 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
483176, 201, 206, 280, 482xrletrd 13081 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
484204rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
485 rexadd 13151 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
486202, 484, 485syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
487483, 486breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
488487anasss 467 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
489488ex 413 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
490489exlimdv 1936 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
491163, 490mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
492491ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
493 xralrple 13124 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
494175, 493sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
495494adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
496492, 495mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
497496ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
498497exlimdv 1936 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
4998, 498mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
500175adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
501 pnfge 13051 . . . 4 ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
502500, 501syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
50346ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50414esumcl 32629 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50511, 503, 504syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
506 xrge0nre 13370 . . . 4 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
507505, 506sylan 580 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
508502, 507breqtrrd 5133 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
509499, 508pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  cen 8880  cdom 8881  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915   +𝑒 cxad 13031   ·e cxmu 13032  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  cexp 13967  cli 15366  Σcsu 15570  Σ*cesum 32626  toOMeascoms 32891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-reg 9528  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-r1 9700  df-rank 9701  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-tsms 23478  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-ii 24240  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-esum 32627  df-oms 32892
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