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Theorem omssubadd 34053
Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
omssubadd.b (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
omssubadd (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubadd.b . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnenom 13986 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 9025 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 domentr 9034 . . . . . 6 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
51, 3, 4sylancl 584 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
6 brdomi 8979 . . . . 5 (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
87adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
9 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10 ctex 8984 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
129, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
14 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑋
1514nfesum1 33792 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)
16 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦
1715, 16nfel 2906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ
1813, 17nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
19 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑓:𝑋1-1→ℕ
2018, 19nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
21 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
2220, 21nfan 1894 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
239adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
2511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26 oms.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑄𝑉)
27 oms.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28 omsf 34049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29 oms.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
3029feq1i 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3128, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3226, 27, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34 omssubadd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
3527fdmd 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
3635unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → dom 𝑅 = 𝑄)
3834, 37sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 dom 𝑅)
3926uniexd 7748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 𝑄 ∈ V)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄 ∈ V)
41 ssexg 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4234, 40, 41syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ V)
43 elpwg 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4538, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
4633, 45ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4746adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
4918, 25, 47, 48esumcvgre 33843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
52 rpssre 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ ℝ
53 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
54 2rp 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
56 df-f1 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun 𝑓))
5756simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
5958ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ)
6059nnzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
6155, 60rpexpcld 14250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6261adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6353, 62rpdivcld 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
6452, 63sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
6564adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
66 rexadd 13251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
6751, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
689, 46sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
69 dfrp2 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (0(,)+∞)
70 ioossicc 13450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7169, 70eqsstri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ (0[,]+∞)
7271, 63sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7372adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7468, 73xrge0addcld 32619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7567, 74eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7652, 53sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7776adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7852, 61sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
7978adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8079adantl3r 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
81 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8281rpgt0d 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 𝑒)
83 2re 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ)
8560adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
8685adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
87 2pos 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 2)
89 expgt0 14101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9084, 86, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9177, 80, 82, 90divgt0d 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
9265, 51ltaddposd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
9429fveq1i 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
9526adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄𝑉)
9627adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
97 omsfval 34047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
9895, 96, 34, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
9994, 98eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
1009, 99sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101100eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
102101breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
10393, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
10475, 103jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
105 iccssxr 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
106 xrltso 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
107 soss 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
108105, 106, 107mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < Or (0[,]+∞)
109 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110108, 109mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or (0[,]+∞)
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → < Or (0[,]+∞))
112 omscl 34048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
11395, 96, 45, 112syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114 xrge0infss 32617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
116111, 115infglb 9520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑋) → ((((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
117116imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
11823, 24, 104, 117syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
119 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
120 esumex 33781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
121119, 120elrnmpti 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
122121anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
123 r19.41v 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
124122, 123bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
125124exbii 1842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
126 df-rex 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
127 rexcom4 3275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
128125, 126, 1273bitr4i 302 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
129 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
130 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
131129, 130sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
132131imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
133132exlimiv 1925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
134133reximi 3073 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
135128, 134sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
136118, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
137 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
139138ss2rabi 4070 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
140 rexss 4052 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
141139, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
142 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 𝑧 = 𝑥)
143142sseq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 𝑧𝐴 𝑥))
144 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
145143, 144anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
146145elrab 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
147146simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω))
148147simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥)
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥))
150149anim1d 609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
151150reximdv 3159 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
152141, 151biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
153136, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
154153ex 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
15522, 154ralrimi 3244 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
156 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → 𝑥 = (𝑔𝑦))
157156sseq2d 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (𝐴 𝑥𝐴 (𝑔𝑦)))
158 esumeq1 33786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
159158breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
160157, 159anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑔𝑦) → ((𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
161160ac6sg 10518 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))))
162161imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
16312, 155, 162syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
1649ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
16538ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
166 iunss 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
167165, 166sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
16842ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
169 iunexg 7968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V) → 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
17011, 168, 169syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
171 elpwg 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
173167, 172mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
17432, 173ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175105, 174sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176164, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
17825ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
179177, 178fexd 7239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
180 rnexg 7910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
181 uniexg 7746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
182179, 180, 1813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ V)
183 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
18427ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
185 frn 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
186 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
187185, 186sstrdi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
188187unissd 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 𝒫 dom 𝑅)
189 unipw 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
190188, 189sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
191190adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
19235adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
193191, 192sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔𝑄)
194193sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑐𝑄)
195184, 194ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → (𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
196195ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
197183, 177, 196syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ran 𝑔
199198esumcl 33782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200182, 197, 199syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201105, 200sselid 3974 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*)
202 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
203202rexrd 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
204 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
205204rpxrd 13057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
206203, 205xaddcld 13320 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
207185ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
208 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
209186, 208mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
210 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
211209, 210sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
212207, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213 ffn 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
214213ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
215164, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
216 fnct 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
217 rnct 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
219 dfss3 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
220219biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
221 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
222221elrab 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑤 ≼ ω))
223222simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
224223ralimi 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
225220, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
226 unictb 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
227218, 225, 226syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ≼ ω)
228214, 215, 207, 227syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ≼ ω)
229 ctex 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ∈ V)
230 elpwg 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ∈ V → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
231228, 229, 2303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
232212, 231mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
233 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝐴 (𝑔𝑦))
234233ralimi 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦))
235 fvssunirn 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
236235unissi 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
237 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔) → 𝐴 ran 𝑔)
238236, 237mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 (𝑔𝑦) → 𝐴 ran 𝑔)
239238ralimi 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
240 iunss 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
241239, 240sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
242234, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
243242adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
244232, 243, 228jca32 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
245 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = ran 𝑔 𝑧 = ran 𝑔)
246245sseq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔))
247 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ran 𝑔 ≼ ω))
248246, 247anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = ran 𝑔 → (( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
249248elrab 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
250244, 249sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
251 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑤 → (𝑅𝑐) = (𝑅𝑤))
252251cbvesumv 33795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)
253 esumeq1 33786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ran 𝑔 → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
254253rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
255250, 252, 254sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
256 esumex 33781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V
257 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
258257elrnmpt 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
259256, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
260255, 259sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
261110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
262 omscl 34048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
26326, 27, 173, 262syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
264 xrge0infss 32617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
266261, 265inflb 9519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
26729fveq1i 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴)
268167, 36sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 𝑄)
269 omsfval 34047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
27026, 27, 268, 269syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
271267, 270eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272271breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
273272notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
274266, 273sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
275164, 260, 274sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
276 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
277275, 276sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
278 xrlenlt 11316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
279176, 201, 278syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
280277, 279mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐))
281 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
28222, 281nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
283 nfra1 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
284282, 283nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
285 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
286 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
287 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
28827ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
289 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
290 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑦𝑋)
291289, 290ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
292186, 291sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
293292elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ dom 𝑅)
294288, 293fssdmd 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ 𝑄)
295 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔𝑦))
296294, 295sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤𝑄)
297288, 296ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
298297ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
299 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝑦) ∈ V
300 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤(𝑔𝑦)
301300esumcl 33782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑔𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
302299, 301mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303298, 302syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304285, 286, 287, 303syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305304ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
306284, 305ralrimi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
30714esumcl 33782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308178, 306, 307syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309105, 308sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
310 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤(𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
311 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
312 fniunfv 7257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 Fn 𝑋 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
313311, 213, 3123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
314310, 313esumeq1d 33787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
31511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
316299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑔𝑦) ∈ V)
317315, 316, 297esumiun 33846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
318314, 317eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
3199, 318sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
320319adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
321252, 320eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
322285, 287, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
323 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
324323, 287, 73syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
325322, 324xrge0addcld 32619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
326325ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
327284, 326ralrimi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
32814esumcl 33782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
329178, 327, 328syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330105, 329sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
331215, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
332 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ))
333 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
334332, 333, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
335334adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
33665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
337336adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
338 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 *𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
339338adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
34066breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
341340biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
342335, 337, 339, 341syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
343342ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
344332simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
345 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
346344, 345, 333, 303syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
347105, 346sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
348334rexrd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
349336rexrd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
350348, 349xaddcld 13320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
351 xrltle 13168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
352347, 350, 351syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
353343, 352syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
354353adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
355354ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (𝑦𝑋 → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
356282, 355ralrimi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
357 ralim 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
359358imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
360359r19.21bi 3238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
361284, 14, 331, 304, 325, 360esumlef 33814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
362164, 46sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
363284, 14, 331, 362, 324esumaddf 33813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
364324ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
365284, 364ralrimi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
36614esumcl 33782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
367178, 365, 366syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368105, 367sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
369 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
370 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
371370rnex 7918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran 𝑓 ∈ V
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
37358frnd 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
374373adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
375374sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
37654a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
377 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
378377nnzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
379376, 378rpexpcld 14250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
380379rpreccld 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
38171, 380sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
382381adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383375, 382syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384383ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧ran 𝑓
386385esumcl 33782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
387372, 384, 386syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388105, 387sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
389 1xr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
39171sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0[,]+∞))
392391adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393 elxrge0 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
394392, 393sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
395 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
396 nnex 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℕ ∈ V
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
398395, 397, 381, 373esummono 33806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
399 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
400399oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
401 ioossico 13455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
40269, 401eqsstri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + ⊆ (0[,)+∞)
403402, 380sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
404 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
405 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
406405oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
407406oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
408 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
409 ovexd 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
410404, 407, 408, 409fvmptd 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
411410adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
412 ax-1cn 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
413 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
414413geo2lim 15862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
415412, 414ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
416415a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
417 1re 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
418417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419400, 403, 411, 416, 418esumcvgsum 33840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
420 geoihalfsum 15869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
421419, 420eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
422398, 421breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
423422adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
424 xlemul2a 13308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
425388, 390, 394, 423, 424syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
42613, 19nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
427426, 21nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
42876recnd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
42978recnd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
430429adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
431 2cn 12325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℂ)
433 2ne0 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ≠ 0
434433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ≠ 0)
435432, 434, 60expne0d 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
436435adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
437428, 430, 436divrecd 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
438 1rp 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℝ+
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
440439, 61rpdivcld 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
44152, 440sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
442441adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
443 rexmul 13290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
44476, 442, 443syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
445437, 444eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
446445ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
447427, 446esumeq2d 33789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
44811ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
44971, 440sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
450449adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
451402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
452451sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
453448, 450, 452esummulc2 33834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
454 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑦(1 / (2↑𝑧))
455 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓𝑦)))
456455oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓𝑦))))
45711adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
45856simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun 𝑓)
45957feqmptd 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
460459cnveqd 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
461460funeqd 6576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (Fun 𝑓 ↔ Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦))))
462458, 461mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
463462adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
464454, 426, 14, 456, 457, 463, 449, 59esumc 33803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
465 ffn 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
466 fnrnfv 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
46758, 465, 4663syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
468395, 467esumeq1d 33787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
469464, 468eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
470469adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471470oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
472447, 453, 4713eqtr2rd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
473394simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
474 xmulrid 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
475473, 474syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
476425, 472, 4753brtr3d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
477164, 369, 204, 476syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
478 xleadd2a 13273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
479368, 205, 203, 477, 478syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
480363, 479eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
481309, 330, 206, 361, 480xrletrd 13181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
482201, 309, 206, 321, 481xrletrd 13181 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
483176, 201, 206, 280, 482xrletrd 13181 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
484204rpred 13056 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
485 rexadd 13251 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
486202, 484, 485syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
487483, 486breqtrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
488487anasss 465 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
489488ex 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
490489exlimdv 1928 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
491163, 490mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
492491ralrimiva 3135 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
493 xralrple 13224 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
494175, 493sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
495494adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
496492, 495mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
497496ex 411 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
498497exlimdv 1928 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
4998, 498mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
500175adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
501 pnfge 13150 . . . 4 ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
502500, 501syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
50346ralrimiva 3135 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50414esumcl 33782 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50511, 503, 504syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
506 xrge0nre 13470 . . . 4 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
507505, 506sylan 578 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
508502, 507breqtrrd 5177 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
509499, 508pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944  𝒫 cpw 4604   cuni 4909   ciun 4997   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Or wor 5589  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  wf 6545  1-1wf1 6546  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871  cen 8961  cdom 8962  infcinf 9471  cc 11143  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150  +∞cpnf 11282  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286   / cdiv 11908  cn 12250  2c2 12305  cz 12596  +crp 13014   +𝑒 cxad 13130   ·e cxmu 13131  (,)cioo 13364  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  seqcseq 14007  cexp 14067  cli 15469  Σcsu 15673  Σ*cesum 33779  toOMeascoms 34044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9622  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-ac2 10493  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-r1 9794  df-rank 9795  df-card 9969  df-acn 9972  df-ac 10146  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14274  df-bc 14303  df-hash 14331  df-shft 15055  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-limsup 15456  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-ef 16052  df-sin 16054  df-cos 16055  df-pi 16057  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-hom 17265  df-cco 17266  df-rest 17412  df-topn 17413  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-topgen 17433  df-pt 17434  df-prds 17437  df-ordt 17491  df-xrs 17492  df-qtop 17497  df-imas 17498  df-xps 17500  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-ps 18566  df-tsr 18567  df-plusf 18607  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19037  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-cring 20193  df-subrng 20500  df-subrg 20525  df-abv 20714  df-lmod 20762  df-scaf 20763  df-sra 21075  df-rgmod 21076  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-tmd 24025  df-tgp 24026  df-tsms 24080  df-trg 24113  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-nm 24540  df-ngp 24541  df-nrg 24543  df-nlm 24544  df-ii 24846  df-cncf 24847  df-limc 25844  df-dv 25845  df-log 26540  df-esum 33780  df-oms 34045
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