Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omssubadd 33788
Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
oms.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
omssubadd.a ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
omssubadd.b (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
Assertion
Ref Expression
omssubadd (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)
Proof of Theorem omssubadd
Dummy variables π‘₯ 𝑧 𝑒 𝑑 𝑒 𝑀 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubadd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
2 nnenom 13942 . . . . . . 7 β„• β‰ˆ Ο‰
32ensymi 8996 . . . . . 6 Ο‰ β‰ˆ β„•
4 domentr 9005 . . . . . 6 ((𝑋 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
51, 3, 4sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰Ό β„•)
6 brdomi 8950 . . . . 5 (𝑋 β‰Ό β„• β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
9 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ πœ‘)
10 ctex 8955 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝑋 ∈ V)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
129, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ V)
13 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘¦πœ‘
14 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦𝑋
1514nfesum1 33527 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄)
16 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦ℝ
1715, 16nfel 2909 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ
1813, 17nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
19 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•
2018, 19nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
21 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
2220, 21nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
2511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ V)
26 oms.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
27 oms.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
28 omsf 33784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
29 oms.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
3029feq1i 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀:𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
3128, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
3226, 27, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
34 omssubadd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
3527fdmd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
3635unieqd 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
3834, 37sseqtrrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅)
3926uniexd 7725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
41 ssexg 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄 ∧ βˆͺ 𝑄 ∈ V) β†’ 𝐴 ∈ V)
4234, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
43 elpwg 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅))
4538, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
4633, 45ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
4746adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
4918, 25, 47, 48esumcvgre 33578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
5049adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
5150adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
52 rpssre 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ+ βŠ† ℝ
53 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
54 2rp 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ+)
56 df-f1 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• ↔ (𝑓:π‘‹βŸΆβ„• ∧ Fun ◑𝑓))
5756simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆβ„•)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆβ„•)
5958ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„•)
6059nnzd 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„€)
6155, 60rpexpcld 14207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
6261adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
6353, 62rpdivcld 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ+)
6452, 63sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
6564adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
66 rexadd 13208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
6751, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
689, 46sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
69 dfrp2 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ+ = (0(,)+∞)
70 ioossicc 13407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
7169, 70eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ+ βŠ† (0[,]+∞)
7271, 63sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
7372adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
7468, 73xrge0addcld 32444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞))
7567, 74eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞))
7652, 53sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
7776adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
7852, 61sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
7978adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
8079adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
81 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
8281rpgt0d 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < 𝑒)
83 2re 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ ℝ)
8560adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„€)
8685adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„€)
87 2pos 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < 2)
89 expgt0 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ β„€ ∧ 0 < 2) β†’ 0 < (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))
9084, 86, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))
9177, 80, 82, 90divgt0d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 < (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))
9265, 51ltaddposd 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (0 < (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ↔ (π‘€β€˜π΄) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
9391, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
9429fveq1i 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘€β€˜π΄) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄)
9526adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
9627adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
97 omsfval 33782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
9895, 96, 34, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
9994, 98eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
1009, 99sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
101100eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) = (π‘€β€˜π΄))
102101breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ (π‘€β€˜π΄) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
10393, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
10475, 103jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
105 iccssxr 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
106 xrltso 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
107 soss 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ( < Or ℝ* β†’ < Or (0[,]+∞)))
108105, 106, 107mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < Or (0[,]+∞)
109 biid 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110108, 109mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or (0[,]+∞)
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ < Or (0[,]+∞))
112 omscl 33783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞))
11395, 96, 45, 112syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞))
114 xrge0infss 32442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€β„Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) Β¬ β„Ž < 𝑣 ∧ βˆ€β„Ž ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < β„Ž β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < β„Ž)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€β„Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) Β¬ β„Ž < 𝑣 ∧ βˆ€β„Ž ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < β„Ž β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < β„Ž)))
116111, 115infglb 9481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
117116imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
11823, 24, 104, 117syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
119 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
120 esumex 33516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∈ V
121119, 120elrnmpti 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
122121anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
123 r19.41v 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
124122, 123bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
125124exbii 1842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
126 df-rex 3063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
127 rexcom4 3277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
128125, 126, 1273bitr4i 303 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
129 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) β†’ (𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
130 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
131129, 130sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) β†’ (𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
132131imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
133132exlimiv 1925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
134133reximi 3076 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
135128, 134sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
136118, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
137 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑧 β‰Ό Ο‰)
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑧 β‰Ό Ο‰))
139138ss2rabi 4066 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}
140 rexss 4047 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
141139, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
142 unieq 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ π‘₯)
143142sseq2d 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯))
144 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ↔ π‘₯ β‰Ό Ο‰))
145143, 144anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰)))
146145elrab 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰)))
147146simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰))
148147simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯)
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯))
150149anim1d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
151150reximdv 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
152141, 151biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
153136, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
154153ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
15522, 154ralrimi 3246 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
156 unieq 4910 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘”β€˜π‘¦) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦))
157156sseq2d 4006 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦)))
158 esumeq1 33521 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (π‘”β€˜π‘¦) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) = Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€))
159158breq1d 5148 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘”β€˜π‘¦) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
160157, 159anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘”β€˜π‘¦) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
161160ac6sg 10479 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))))
162161imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} (𝐴 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∧ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
16312, 155, 162syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
1649ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ πœ‘)
16538ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅)
166 iunss 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅)
167165, 166sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅)
16842ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
169 iunexg 7943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
17011, 168, 169syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
171 elpwg 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅))
173167, 172mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
17432, 173ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175105, 174sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176164, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
17825ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑋 ∈ V)
179177, 178fexd 7220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑔 ∈ V)
180 rnexg 7888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ V β†’ ran 𝑔 ∈ V)
181 uniexg 7723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑔 ∈ V β†’ βˆͺ ran 𝑔 ∈ V)
182179, 180, 1813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆͺ ran 𝑔 ∈ V)
183 simp-5l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ πœ‘)
18427ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
185 frn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
186 ssrab2 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} βŠ† 𝒫 dom 𝑅
187185, 186sstrdi 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ ran 𝑔 βŠ† 𝒫 dom 𝑅)
188187unissd 4909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† βˆͺ 𝒫 dom 𝑅)
189 unipw 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 βˆͺ 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
190188, 189sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅)
191190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅)
19235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
193191, 192sseqtrd 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† 𝑄)
194193sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔) β†’ 𝑐 ∈ 𝑄)
195184, 194ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔) β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ (0[,]+∞))
196195ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ (0[,]+∞))
197183, 177, 196syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ (0[,]+∞))
198 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑐βˆͺ ran 𝑔
199198esumcl 33517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆͺ ran 𝑔 ∈ V ∧ βˆ€π‘ ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ (0[,]+∞))
200182, 197, 199syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ (0[,]+∞))
201105, 200sselid 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ*)
202 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
203202rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
204 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
205204rpxrd 13014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
206203, 205xaddcld 13277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
207185ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
208 sstr 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} βŠ† 𝒫 dom 𝑅) β†’ ran 𝑔 βŠ† 𝒫 dom 𝑅)
209186, 208mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ ran 𝑔 βŠ† 𝒫 dom 𝑅)
210 sspwuni 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 βŠ† 𝒫 dom 𝑅 ↔ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅)
211209, 210sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅)
212207, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅)
213 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ 𝑔 Fn 𝑋)
214213ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑔 Fn 𝑋)
215164, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑋 β‰Ό Ο‰)
216 fnct 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑔 β‰Ό Ο‰)
217 rnct 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 β‰Ό Ο‰ β†’ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)
219 dfss3 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran 𝑔 𝑀 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
220219biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran 𝑔 𝑀 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
221 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ↔ 𝑀 β‰Ό Ο‰))
222221elrab 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ↔ (𝑀 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ 𝑀 β‰Ό Ο‰))
223222simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑀 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ 𝑀 β‰Ό Ο‰)
224223ralimi 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘€ ∈ ran 𝑔 𝑀 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran 𝑔 𝑀 β‰Ό Ο‰)
225220, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran 𝑔 𝑀 β‰Ό Ο‰)
226 unictb 10566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ran 𝑔 𝑀 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)
227218, 225, 226syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 β‰Ό Ο‰) ∧ ran 𝑔 βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)
228214, 215, 207, 227syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)
229 ctex 8955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ ran 𝑔 ∈ V)
230 elpwg 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆͺ ran 𝑔 ∈ V β†’ (βˆͺ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅))
231228, 229, 2303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (βˆͺ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ βˆͺ ran 𝑔 βŠ† dom 𝑅))
232212, 231mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆͺ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
233 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦))
234233ralimi 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦))
235 fvssunirn 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† βˆͺ ran 𝑔
236235unissi 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔
237 sstr 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
238236, 237mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
239238ralimi 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
240 iunss 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
241239, 240sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
242234, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
243242adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
244232, 243, 228jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (βˆͺ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔 ∧ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)))
245 unieq 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = βˆͺ ran 𝑔 β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ βˆͺ ran 𝑔)
246245sseq2d 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = βˆͺ ran 𝑔 β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔))
247 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = βˆͺ ran 𝑔 β†’ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ↔ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰))
248246, 247anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = βˆͺ ran 𝑔 β†’ ((βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) ↔ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔 ∧ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)))
249248elrab 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆͺ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↔ (βˆͺ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ βˆͺ ran 𝑔 ∧ βˆͺ ran 𝑔 β‰Ό Ο‰)))
250244, 249sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆͺ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
251 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑀 β†’ (π‘…β€˜π‘) = (π‘…β€˜π‘€))
252251cbvesumv 33530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) = Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€)
253 esumeq1 33521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = βˆͺ ran 𝑔 β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) = Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€))
254253rspceeqv 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆͺ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ∧ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) = Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
255250, 252, 254sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
256 esumex 33516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ V
257 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
258257elrnmpt 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ V β†’ (Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)))
259256, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
260255, 259sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)))
261110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ < Or (0[,]+∞))
262 omscl 33783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞))
26326, 27, 173, 262syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞))
264 xrge0infss 32442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) Β¬ 𝑑 < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑑 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < 𝑑)))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) Β¬ 𝑑 < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑑 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < 𝑑)))
266261, 265inflb 9480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) β†’ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < )))
26729fveq1i 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)
268167, 36sseqtrd 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
269 omsfval 33782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
27026, 27, 268, 269syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
271267, 270eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
272271breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < )))
273272notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < )))
274266, 273sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) β†’ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
275164, 260, 274sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
276 biid 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
277275, 276sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
278 xrlenlt 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ↔ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
279176, 201, 278syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ↔ Β¬ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) < (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
280277, 279mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘))
281 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑦 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}
28222, 281nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑦((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
283 nfra1 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘¦βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
284282, 283nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑦(((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
285 simp-6l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
286 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
287 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
28827ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
289 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
290 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
291289, 290ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
292186, 291sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
293292elpwid 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† dom 𝑅)
294288, 293fssdmd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† 𝑄)
295 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦))
296294, 295sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑄)
297288, 296ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ (π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
298297ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
299 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ V
300 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑀(π‘”β€˜π‘¦)
301300esumcl 33517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘”β€˜π‘¦) ∈ V ∧ βˆ€π‘€ ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
302299, 301mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘€ ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
303298, 302syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
304285, 286, 287, 303syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
305304ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞)))
306284, 305ralrimi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
30714esumcl 33517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
308178, 306, 307syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
309105, 308sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ ℝ*)
310 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
311 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
312 fniunfv 7238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 Fn 𝑋 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝑔)
313311, 213, 3123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ran 𝑔)
314310, 313esumeq1d 33522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) = Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€))
31511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ 𝑋 ∈ V)
316299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ V)
317315, 316, 297esumiun 33581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€))
318314, 317eqbrtrrd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€))
3199, 318sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€))
320319adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘€) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€))
321252, 320eqbrtrid 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€))
322285, 287, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
323 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
324323, 287, 73syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
325322, 324xrge0addcld 32444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞))
326325ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞)))
327284, 326ralrimi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞))
32814esumcl 33517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞))
329178, 327, 328syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ (0[,]+∞))
330105, 329sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ ℝ*)
331215, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑋 ∈ V)
332 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ))
333 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
334332, 333, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
335334adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
33665adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
337336adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
338 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
339338adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
34066breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ↔ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
341340biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
342335, 337, 339, 341syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
343342ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
344332simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ πœ‘)
345 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰})
346344, 345, 333, 303syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
347105, 346sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ ℝ*)
348334rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
349336rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ*)
350348, 349xaddcld 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ ℝ*)
351 xrltle 13125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ∈ ℝ*) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
352347, 350, 351syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
353343, 352syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
354353adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
355354ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))))
356282, 355ralrimi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
357 ralim 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))
359358imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
360359r19.21bi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
361284, 14, 331, 304, 325, 360esumlef 33549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
362164, 46sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
363284, 14, 331, 362, 324esumaddf 33548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
364324ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞)))
365284, 364ralrimi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
36614esumcl 33517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
367178, 365, 366syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
368105, 367sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ*)
369 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
370 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
371370rnex 7896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran 𝑓 ∈ V
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ran 𝑓 ∈ V)
37358frnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ ran 𝑓 βŠ† β„•)
374373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ran 𝑓 βŠ† β„•)
375374sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
37654a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
377 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
378377nnzd 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
379376, 378rpexpcld 14207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
380379rpreccld 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
38171, 380sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
382381adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383375, 382syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) β†’ (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384383ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑧ran 𝑓
386385esumcl 33517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ V ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
387372, 384, 386syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388105, 387sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
389 1xr 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ*)
39171sseli 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
392391adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393 elxrge0 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑒))
394392, 393sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑒))
395 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
396 nnex 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„• ∈ V
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ β„• ∈ V)
398395, 397, 381, 373esummono 33541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≀ Ξ£*𝑧 ∈ β„•(1 / (2↑𝑧)))
399 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑀 β†’ (2↑𝑧) = (2↑𝑀))
400399oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑀 β†’ (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑀)))
401 ioossico 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0(,)+∞) βŠ† (0[,)+∞)
40269, 401eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ+ βŠ† (0[,)+∞)
403402, 380sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
404 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ β„• β†’ (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀))) = (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀))))
405 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ β„• ∧ 𝑀 = 𝑧) β†’ 𝑀 = 𝑧)
406405oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ β„• ∧ 𝑀 = 𝑧) β†’ (2↑𝑀) = (2↑𝑧))
407406oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ β„• ∧ 𝑀 = 𝑧) β†’ (1 / (2↑𝑀)) = (1 / (2↑𝑧)))
408 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
409 ovexd 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ β„• β†’ (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
410404, 407, 408, 409fvmptd 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ β„• β†’ ((𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀)))β€˜π‘§) = (1 / (2↑𝑧)))
411410adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀)))β€˜π‘§) = (1 / (2↑𝑧)))
412 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ β„‚
413 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀))) = (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀)))
414413geo2lim 15818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ β„‚ β†’ seq1( + , (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀)))) ⇝ 1)
415412, 414ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 seq1( + , (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀)))) ⇝ 1
416415a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ seq1( + , (𝑀 ∈ β„• ↦ (1 / (2↑𝑀)))) ⇝ 1)
417 1re 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
418417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
419400, 403, 411, 416, 418esumcvgsum 33575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ β„•(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ β„• (1 / (2↑𝑧)))
420 geoihalfsum 15825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑧 ∈ β„• (1 / (2↑𝑧)) = 1
421419, 420eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ β„•(1 / (2↑𝑧)) = 1)
422398, 421breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≀ 1)
423422adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≀ 1)
424 xlemul2a 13265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑒)) ∧ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≀ 1) β†’ (𝑒 Β·e Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≀ (𝑒 Β·e 1))
425388, 390, 394, 423, 424syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 Β·e Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≀ (𝑒 Β·e 1))
42613, 19nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•)
427426, 21nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
42876recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
42978recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
430429adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
431 2cn 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ β„‚
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ β„‚)
433 2ne0 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 β‰  0
434433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 2 β‰  0)
435432, 434, 60expne0d 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) β‰  0)
436435adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (2↑(π‘“β€˜π‘¦)) β‰  0)
437428, 430, 436divrecd 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = (𝑒 Β· (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
438 1rp 12975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℝ+
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ+)
440439, 61rpdivcld 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ+)
44152, 440sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
442441adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
443 rexmul 13247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ) β†’ (𝑒 Β·e (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = (𝑒 Β· (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
44476, 442, 443syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 Β·e (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = (𝑒 Β· (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
445437, 444eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = (𝑒 Β·e (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
446445ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = (𝑒 Β·e (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
447427, 446esumeq2d 33524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 Β·e (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
44811ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ V)
44971, 440sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
450449adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (0[,]+∞))
451402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ ℝ+ βŠ† (0[,)+∞))
452451sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
453448, 450, 452esummulc2 33569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 Β·e Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 Β·e (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))
454 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑦(1 / (2↑𝑧))
455 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦) β†’ (2↑𝑧) = (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))
456455oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦) β†’ (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))
45711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ 𝑋 ∈ V)
45856simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ Fun ◑𝑓)
45957feqmptd 6950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
460459cnveqd 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ ◑𝑓 = β—‘(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
461460funeqd 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ (Fun ◑𝑓 ↔ Fun β—‘(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘“β€˜π‘¦))))
462458, 461mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ Fun β—‘(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
463462adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Fun β—‘(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
464454, 426, 14, 456, 457, 463, 449, 59esumc 33538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = Ξ£*𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘“β€˜π‘¦)} (1 / (2↑𝑧)))
465 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:π‘‹βŸΆβ„• β†’ 𝑓 Fn 𝑋)
466 fnrnfv 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑋 β†’ ran 𝑓 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘“β€˜π‘¦)})
46758, 465, 4663syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ ran 𝑓 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘“β€˜π‘¦)})
468395, 467esumeq1d 33522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Ξ£*𝑧 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘“β€˜π‘¦)} (1 / (2↑𝑧)))
469464, 468eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
470469adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) = Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471470oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 Β·e Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) = (𝑒 Β·e Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
472447, 453, 4713eqtr2rd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 Β·e Ξ£*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))
473394simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
474 xmulrid 13255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℝ* β†’ (𝑒 Β·e 1) = 𝑒)
475473, 474syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 Β·e 1) = 𝑒)
476425, 472, 4753brtr3d 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ≀ 𝑒)
477164, 369, 204, 476syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ≀ 𝑒)
478 xleadd2a 13230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ* ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*) ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))) ≀ 𝑒) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒))
479368, 205, 203, 477, 478syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒))
480363, 479eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒))
481309, 330, 206, 361, 480xrletrd 13138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒))
482201, 309, 206, 321, 481xrletrd 13138 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ Ξ£*𝑐 ∈ βˆͺ ran 𝑔(π‘…β€˜π‘) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒))
483176, 201, 206, 280, 482xrletrd 13138 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒))
484204rpred 13013 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
485 rexadd 13208 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒))
486202, 484, 485syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) +𝑒 𝑒) = (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒))
487483, 486breqtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒))
488487anasss 466 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦))))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒))
489488ex 412 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒)))
490489exlimdv 1928 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔:π‘‹βŸΆ{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 β‰Ό Ο‰} ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (𝐴 βŠ† βˆͺ (π‘”β€˜π‘¦) ∧ Ξ£*𝑀 ∈ (π‘”β€˜π‘¦)(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + (𝑒 / (2↑(π‘“β€˜π‘¦)))))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒)))
491163, 490mpd 15 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒))
492491ralrimiva 3138 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒))
493 xralrple 13181 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒)))
494175, 493sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒)))
495494adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ (Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) + 𝑒)))
496492, 495mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄))
497496ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄)))
498497exlimdv 1928 . . 3 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑋–1-1β†’β„• β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄)))
4998, 498mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄))
500175adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
501 pnfge 13107 . . . 4 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ +∞)
502500, 501syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ +∞)
50346ralrimiva 3138 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
50414esumcl 33517 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
50511, 503, 504syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
506 xrge0nre 13427 . . . 4 ((Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ∧ Β¬ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) = +∞)
507505, 506sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) = +∞)
508502, 507breqtrrd 5166 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄))
509499, 508pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑋(π‘€β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2701   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4594  βˆͺ cuni 4899  βˆͺ ciun 4987   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Or wor 5577  β—‘ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“1-1β†’wf1 6530  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Ο‰com 7848   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933  infcinf 9432  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11242  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„€cz 12555  β„+crp 12971   +𝑒 cxad 13087   Β·e cxmu 13088  (,)cioo 13321  [,)cico 13323  [,]cicc 13324  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024   ⇝ cli 15425  Ξ£csu 15629  Ξ£*cesum 33514  toOMeascoms 33779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-r1 9755  df-rank 9756  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-ordt 17446  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-abv 20650  df-lmod 20698  df-scaf 20699  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-tmd 23898  df-tgp 23899  df-tsms 23953  df-trg 23986  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-nm 24413  df-ngp 24414  df-nrg 24416  df-nlm 24417  df-ii 24719  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-esum 33515  df-oms 33780
This theorem is referenced by:  omsmeas  33811
  Copyright terms: Public domain W3C validator