Theorem omssubadd 31668

Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubadd.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)

Assertion

Ref	Expression
omssubadd	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ω)
2		nnenom 13343	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8542	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		domentr 8551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
5	1, 3, 4	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≼ ℕ)
6		brdomi 8503	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
9		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10		ctex 8507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
14		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
15	14	nfesum1 31409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)
16		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
17	15, 16	nfel 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ
18	13, 17	nfan 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
19		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑓:𝑋–1-1→ℕ
20	18, 19	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
21		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
22	20, 21	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
23	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
24		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
25	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26		oms.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
27		oms.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28		omsf 31664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29		oms.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
30	29	feq1i 6478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
31	28, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
32	26, 27, 31	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34		omssubadd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
35	27	fdmd 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
36	35	unieqd 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
37	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
38	34, 37	sseqtrrd 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
39	26	uniexd 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∪ 𝑄 ∈ V)
41		ssexg 5191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
42	34, 40, 41	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
43		elpwg 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
45	38, 44	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
46	33, 45	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
47	46	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
49	18, 25, 47, 48	esumcvgre 31460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
50	49	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
52		rpssre 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
53		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
54		2rp 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
56		df-f1 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun ◡𝑓))
57	56	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
58	57	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
59	58	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ)
60	59	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
61	55, 60	rpexpcld 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
62	61	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ+)
63	53, 62	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
64	52, 63	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
65	64	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
66		rexadd 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
67	51, 65, 66	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
68	9, 46	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
69		dfrp2 30517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
70		ioossicc 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
71	69, 70	eqsstri 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
72	71, 63	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
73	72	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
74	68, 73	xrge0addcld 30512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
75	67, 74	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
76	52, 53	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
77	76	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
78	52, 61	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
79	78	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
80	79	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℝ)
81		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
82	81	rpgt0d 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 𝑒)
83		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
85	60	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
86	85	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ)
87		2pos 11728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < 2)
89		expgt0 13458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
90	84, 86, 88, 89	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (2↑(𝑓‘𝑦)))
91	77, 80, 82, 90	divgt0d 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
92	65, 51	ltaddposd 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
93	91, 92	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
94	29	fveq1i 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
95	26	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉)
96	27	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
97		omsfval 31662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
98	95, 96, 34, 97	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
99	94, 98	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
100	9, 99	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101	100	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
102	101	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
103	93, 102	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
104	75, 103	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
105		iccssxr 12808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
106		xrltso 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ*
107		soss 5457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
108	105, 106, 107	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ < Or (0[,]+∞)
109		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110	108, 109	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ < Or (0[,]+∞)
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → < Or (0[,]+∞))
112		omscl 31663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
113	95, 96, 45, 112	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114		xrge0infss 30510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ℎ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ ℎ < 𝑣 ∧ ∀ℎ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < ℎ → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ℎ)))
116	111, 115	infglb 8938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
117	116	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
118	23, 24, 104, 117	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
119		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
120		esumex 31398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
121	119, 120	elrnmpti 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
122	121	anbi1i 626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
123		r19.41v 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
124	122, 123	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
125	124	exbii 1849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
126		df-rex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
127		rexcom4 3212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
128	125, 126, 127	3bitr4i 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
129		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
130		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
131	129, 130	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
132	131	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
133	132	exlimiv 1931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
134	133	reximi 3206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
135	128, 134	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
136	118, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
137		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
139	138	ss2rabi 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
140		rexss 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
142		unieq 4811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ∪ 𝑧 = ∪ 𝑥)
143	142	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
144		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
145	143, 144	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
146	145	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω)))
147	146	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ ω))
148	147	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥)
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑥))
150	149	anim1d 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
151	150	reximdv 3232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
152	141, 151	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
153	136, 152	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
154	153	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
155	22, 154	ralrimi 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
156		unieq 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝑔‘𝑦))
157	156	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦)))
158		esumeq1 31403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
159	158	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → (Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
160	157, 159	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑔‘𝑦) → ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
161	160	ac6sg 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))))
162	161	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} (𝐴 ⊆ ∪ 𝑥 ∧ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
163	12, 155, 162	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
164	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
165	38	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
166		iunss 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
167	165, 166	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
168	42	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
169		iunexg 7646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
170	11, 168, 169	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V)
171		elpwg 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ V → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
173	167, 172	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
174	32, 173	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175	105, 174	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176	164, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
178	25	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
179		fex 6966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑔 ∈ V)
180	177, 178, 179	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
181		rnexg 7595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
182		uniexg 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ran 𝑔 ∈ V → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
183	180, 181, 182	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
184		simp-5l 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝜑)
185	27	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
186		frn 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
187		ssrab2 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
188	186, 187	sstrdi 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
189	188	unissd 4810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ ∪ 𝒫 dom 𝑅)
190		unipw 5308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∪ 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
191	189, 190	sseqtrdi 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
192	191	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
193	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
194	192, 193	sseqtrd 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ⊆ 𝑄)
195	194	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → 𝑐 ∈ 𝑄)
196	185, 195	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔) → (𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
197	196	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198	184, 177, 197	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
199		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑐∪ ran 𝑔
200	199	esumcl 31399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201	183, 198, 200	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ (0[,]+∞))
202	105, 201	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*)
203		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
204	203	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
205		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
206	205	rpxrd 12420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
207	204, 206	xaddcld 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
208	186	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
209		sstr 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
210	187, 209	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
211		sspwuni 4985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
212	210, 211	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213	208, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
214		ffn 6487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
215	214	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
216	164, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
217		fnct 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
218		rnct 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
219	217, 218	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
220		dfss3 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
221	220	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
222		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
223	222	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ 𝑤 ≼ ω))
224	223	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
225	224	ralimi 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
226	221, 225	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
227		unictb 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
228	219, 226, 227	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
229	215, 216, 208, 228	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ≼ ω)
230		ctex 8507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ≼ ω → ∪ ran 𝑔 ∈ V)
231		elpwg 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ V → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
232	229, 230, 231	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ ∪ ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
233	213, 232	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
234		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
235	234	ralimi 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦))
236		fvssunirn 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ran 𝑔
237	236	unissi 4809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔
238		sstr 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ ∪ (𝑔‘𝑦) ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
239	237, 238	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
240	239	ralimi 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
241		iunss 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
242	240, 241	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
243	235, 242	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
244	243	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔)
245	233, 244, 229	jca32 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
246		unieq 4811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ∪ 𝑧 = ∪ ∪ ran 𝑔)
247	246	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔))
248		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ∪ ran 𝑔 ≼ ω))
249	247, 248	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = ∪ ran 𝑔 → ((∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
250	249	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ (∪ ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ ∪ ran 𝑔 ∧ ∪ ran 𝑔 ≼ ω)))
251	245, 250	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
252		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑅‘𝑐) = (𝑅‘𝑤))
253	252	cbvesumv 31412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)
254		esumeq1 31403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ∪ ran 𝑔 → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
255	254	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∪ ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
256	251, 253, 255	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
257		esumex 31398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V
258		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
259	258	elrnmpt 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
260	257, 259	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
261	256, 260	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)))
262	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
263		omscl 31663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
264	26, 27, 173, 263	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
265		xrge0infss 30510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
266	264, 265	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
267	262, 266	inflb 8937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
268	29	fveq1i 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)
269	167, 36	sseqtrd 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
270		omsfval 31662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
271	26, 27, 269, 270	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272	268, 271	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
273	272	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
274	273	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < )))
275	267, 274	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
276	164, 261, 275	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
277		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
278	276, 277	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴))
279		xrlenlt 10695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
280	176, 202, 279	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) < (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴)))
281	278, 280	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐))
282		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}
283	22, 282	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
284		nfra1 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
285	283, 284	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
286		simp-6l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
287		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
288		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
289	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
290		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
291		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
292	290, 291	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
293	187, 292	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
294	293	elpwid 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ dom 𝑅)
295	289, 294	fssdmd 6503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑔‘𝑦) ⊆ 𝑄)
296		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦))
297	295, 296	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝑄)
298	289, 297	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)) → (𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
299	298	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
300		fvex 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔‘𝑦) ∈ V
301		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑔‘𝑦)
302	301	esumcl 31399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑔‘𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303	300, 302	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304	299, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305	286, 287, 288, 304	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
306	305	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
307	285, 306	ralrimi 3180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308	14	esumcl 31399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309	178, 307, 308	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
310	105, 309	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
311		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
312		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
313		fniunfv 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 Fn 𝑋 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
314	312, 214, 313	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦) = ∪ ran 𝑔)
315	311, 314	esumeq1d 31404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) = Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤))
316	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
317	300	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑔‘𝑦) ∈ V)
318	316, 317, 298	esumiun 31463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝑋 (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
319	315, 318	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
320	9, 319	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
321	320	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑤 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
322	253, 321	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤))
323	286, 288, 46	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
324		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
325	324, 288, 73	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
326	323, 325	xrge0addcld 30512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
327	326	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
328	285, 327	ralrimi 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
329	14	esumcl 31399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330	178, 328, 329	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
331	105, 330	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
332	216, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
333		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ))
334		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
335	333, 334, 49	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
336	335	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
337	65	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
338	337	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
339		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
340	339	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
341	66	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
342	341	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
343	336, 338, 340, 342	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
344	343	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
345	333	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝜑)
346		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω})
347	345, 346, 334, 304	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
348	105, 347	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ*)
349	335	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
350	337	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
351	349, 350	xaddcld 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*)
352		xrltle 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
353	348, 351, 352	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
354	344, 353	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
355	354	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
356	355	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))))
357	283, 356	ralrimi 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
358		ralim 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
359	357, 358	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))
360	359	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
361	360	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
362	285, 14, 332, 305, 326, 361	esumlef 31431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
363	164, 46	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
364	285, 14, 332, 363, 325	esumaddf 31430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
365	325	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
366	285, 365	ralrimi 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
367	14	esumcl 31399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368	178, 366, 367	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
369	105, 368	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ*)
370		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
371		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
372	371	rnex 7599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
373	372	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
374	58	frnd 6494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
375	374	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
376	375	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
377	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
378		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
379	378	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
380	377, 379	rpexpcld 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
381	380	rpreccld 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
382	71, 381	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383	382	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384	376, 383	syldan 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385	384	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
386		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧ran 𝑓
387	386	esumcl 31399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388	373, 385, 387	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
389	105, 388	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
390		1xr 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ*
391	390	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
392	71	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393	392	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
394		elxrge0 12835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
395	393, 394	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
396		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
397		nnex 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℕ ∈ V
398	397	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
399	396, 398, 382, 374	esummono 31423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
400		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
401	400	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
402		ioossico 12816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
403	69, 402	eqsstri 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
404	403, 381	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
405		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
406		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
407	406	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
408	407	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
409		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
410		ovexd 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
411	405, 408, 409, 410	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
412	411	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
413		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℂ
414		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
415	414	geo2lim 15223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
416	413, 415	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
417	416	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
418		1re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
419	418	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
420	401, 404, 412, 417, 419	esumcvgsum 31457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
421		geoihalfsum 15230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
422	420, 421	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
423	399, 422	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
424	423	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
425		xlemul2a 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
426	389, 391, 395, 424, 425	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
427	13, 19	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ)
428	427, 21	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
429	76	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
430	78	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
431	430	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ∈ ℂ)
432		2cn 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
433	432	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
434		2ne0 11729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ≠ 0
435	434	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 2 ≠ 0)
436	433, 435, 60	expne0d 13512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
437	436	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2↑(𝑓‘𝑦)) ≠ 0)
438	429, 431, 437	divrecd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
439		1rp 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 1 ∈ ℝ+
440	439	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
441	440, 61	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ+)
442	52, 441	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
443	442	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ)
444		rexmul 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
445	76, 443, 444	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
446	438, 445	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
447	446	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
448	428, 447	esumeq2d 31406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
449	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
450	71, 441	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
451	450	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
452	403	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
453	452	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
454	449, 451, 453	esummulc2 31451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))
455		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑦(1 / (2↑𝑧))
456		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓‘𝑦)))
457	456	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
458	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
459	56	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡𝑓)
460	57	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
461	460	cnveqd 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → ◡𝑓 = ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
462	461	funeqd 6346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (Fun ◡𝑓 ↔ Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦))))
463	459, 462	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
464	463	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Fun ◡(𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑦)))
465	455, 427, 14, 457, 458, 464, 450, 59	esumc 31420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
466		ffn 6487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
467		fnrnfv 6700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
468	58, 466, 467	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)})
469	396, 468	esumeq1d 31404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑓‘𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
470	465, 469	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471	470	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
472	471	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦 ∈ 𝑋(1 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
473	448, 454, 472	3eqtr2rd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))
474	395	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
475		xmulid1 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
476	474, 475	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
477	426, 473, 476	3brtr3d 5061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
478	164, 370, 205, 477	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒)
479		xleadd2a 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
480	369, 206, 204, 478, 479	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
481	364, 480	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
482	310, 331, 207, 362, 481	xrletrd 12543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
483	202, 310, 207, 322, 482	xrletrd 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → Σ*𝑐 ∈ ∪ ran 𝑔(𝑅‘𝑐) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
484	176, 202, 207, 281, 483	xrletrd 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒))
485	205	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
486		rexadd 12613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
487	203, 485, 486	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
488	484, 487	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
489	488	anasss 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦))))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
490	489	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
491	490	exlimdv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ 𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐴 ⊆ ∪ (𝑔‘𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔‘𝑦)(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓‘𝑦)))))) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
492	163, 491	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
493	492	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒))
494		xralrple 12586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
495	175, 494	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
496	495	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) + 𝑒)))
497	493, 496	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋–1-1→ℕ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
498	497	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
499	498	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋–1-1→ℕ → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴)))
500	8, 499	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
501	175	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
502		pnfge 12513	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
503	501, 502	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ +∞)
504	46	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
505	14	esumcl 31399	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
506	11, 504, 505	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
507		xrge0nre 12831	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
508	506, 507	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) = +∞)
509	503, 508	breqtrrd 5058	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))
510	500, 509	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑋(𝑀‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   Or wor 5437  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490  infcinf 8889  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℤcz 11969  ℝ⁺crp 12377   +_𝑒 cxad 12493   ·_e cxmu 12494  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  seqcseq 13364  ↑cexp 13425   ⇝ cli 14833  Σcsu 15034  Σ^*cesum 31396  toOMeascoms 31659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-reg 9040  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-r1 9177  df-rank 9178  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-scaf 19630  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tmd 22677  df-tgp 22678  df-tsms 22732  df-trg 22765  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-ii 23482  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-esum 31397  df-oms 31660

This theorem is referenced by:  omsmeas  31691