Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omssubaddlem 30701
Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubaddlem.a (𝜑𝐴 𝑄)
omssubaddlem.m (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
omssubaddlem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omssubaddlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸   𝑥,𝑀   𝑤,𝑄   𝑤,𝑅   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐸(𝑧,𝑤)   𝑀(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem omssubaddlem
Dummy variables 𝑒 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubaddlem.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
2 omssubaddlem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 12075 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
54rexrd 10291 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6 oms.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝑉)
7 oms.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
8 omsf 30698 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
96, 7, 8syl2anc 565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
10 oms.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
1110feq1i 6176 . . . . . . . 8 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
129, 11sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
13 omssubaddlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 𝑄)
14 fdm 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
157, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
1615unieqd 4584 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
1713, 16sseqtr4d 3791 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 dom 𝑅)
18 uniexg 7102 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝑉 𝑄 ∈ V)
196, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑄 ∈ V)
2013, 19jca 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V))
21 ssexg 4938 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
22 elpwg 4305 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
2417, 23mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
2512, 24ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
26 elxrge0 12488 . . . . . . 7 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
2726simprbi 478 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))
292rpge0d 12079 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
301, 3, 28, 29addge0d 10805 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝐴) + 𝐸))
31 elxrge0 12488 . . . 4 (((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
325, 30, 31sylanbrc 564 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
3310fveq1i 6333 . . . . 5 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
34 omsfval 30696 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
356, 7, 13, 34syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
3633, 35syl5req 2818 . . . 4 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
371, 2ltaddrpd 12108 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
3836, 37eqbrtrd 4808 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
39 iccssxr 12461 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
40 xrltso 12179 . . . . . 6 < Or ℝ*
41 soss 5188 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4239, 40, 41mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
44 omscl 30697 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
456, 7, 24, 44syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
46 xrge0infss 29865 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
4745, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
4843, 47infglb 8552 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
4932, 38, 48mp2and 671 . 2 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
50 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
51 esumex 30431 . . . . . . . 8 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
5250, 51elrnmpti 5514 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
5352anbi1i 602 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
54 r19.41v 3237 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5553, 54bitr4i 267 . . . . 5 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5655exbii 1924 . . . 4 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
57 df-rex 3067 . . . 4 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
58 rexcom4 3376 . . . 4 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5956, 57, 583bitr4i 292 . . 3 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
60 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
6160biimpa 462 . . . . 5 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6261exlimiv 2010 . . . 4 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6362reximi 3159 . . 3 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6459, 63sylbi 207 . 2 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6549, 64syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723  𝒫 cpw 4297   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863   Or wor 5169  dom cdm 5249  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  ωcom 7212  cdom 8107  infcinf 8503  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  +crp 12035  [,]cicc 12383  Σ*cesum 30429  toOMeascoms 30693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-ntr 21045  df-nei 21123  df-cn 21252  df-haus 21340  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150  df-esum 30430  df-oms 30694
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator