Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omssubaddlem 33298
Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
oms.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
omssubaddlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
omssubaddlem.m (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
omssubaddlem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omssubaddlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑄,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧   𝑀,𝐴,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑀   𝑀,𝑄   𝑀,𝑅   𝑀,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   𝐸(𝑧,𝑀)   𝑀(𝑧,𝑀)

Proof of Theorem omssubaddlem
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubaddlem.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
2 omssubaddlem.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 13016 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 11243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ∈ ℝ)
54rexrd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6 oms.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
7 oms.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
8 omsf 33295 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
10 oms.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
1110feq1i 6709 . . . . . . . 8 (𝑀:𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
129, 11sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
13 omssubaddlem.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
147fdmd 6729 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
1514unieqd 4923 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
1613, 15sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅)
176uniexd 7732 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
1813, 17jca 513 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄 ∧ βˆͺ 𝑄 ∈ V))
19 ssexg 5324 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄 ∧ βˆͺ 𝑄 ∈ V) β†’ 𝐴 ∈ V)
20 elpwg 4606 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅))
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅 ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑅))
2216, 21mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
2312, 22ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
24 elxrge0 13434 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
2524simprbi 498 . . . . . 6 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄))
272rpge0d 13020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐸)
281, 3, 26, 27addge0d 11790 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
29 elxrge0 13434 . . . 4 (((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
305, 28, 29sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
3110fveq1i 6893 . . . . 5 (π‘€β€˜π΄) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄)
32 omsfval 33293 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
336, 7, 13, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ))
3431, 33eqtr2id 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) = (π‘€β€˜π΄))
351, 2ltaddrpd 13049 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
3634, 35eqbrtrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
37 iccssxr 13407 . . . . . 6 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
38 xrltso 13120 . . . . . 6 < Or ℝ*
39 soss 5609 . . . . . 6 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ( < Or ℝ* β†’ < Or (0[,]+∞)))
4037, 38, 39mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
4140a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ < Or (0[,]+∞))
42 omscl 33294 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑅) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞))
436, 7, 22, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞))
44 xrge0infss 31973 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) βŠ† (0[,]+∞) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) Β¬ 𝑑 < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑑 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < 𝑑)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (0[,]+∞)(βˆ€π‘‘ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) Β¬ 𝑑 < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑑 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < 𝑑)))
4641, 45infglb 9485 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)), (0[,]+∞), < ) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
4730, 36, 46mp2and 698 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
48 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
49 esumex 33027 . . . . . . . 8 Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∈ V
5048, 49elrnmpti 5960 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))
5150anbi1i 625 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
52 r19.41v 3189 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
5351, 52bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
5453exbii 1851 . . . 4 (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
55 df-rex 3072 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€)) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
56 rexcom4 3286 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) ↔ βˆƒπ‘’βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
5754, 55, 563bitr4i 303 . . 3 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
58 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) β†’ (𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) ↔ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)))
5958biimpa 478 . . . . 5 ((𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
6059exlimiv 1934 . . . 4 (βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) β†’ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
6160reximi 3085 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}βˆƒπ‘’(𝑒 = Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) ∧ 𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
6257, 61sylbi 216 . 2 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€))𝑒 < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
6347, 62syl 17 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑀 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘€) < ((π‘€β€˜π΄) + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  Ξ£*cesum 33025  toOMeascoms 33290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-cn 22731  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631  df-esum 33026  df-oms 33291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator