Theorem omssubaddlem 33596

Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubaddlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubaddlem.m	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
omssubaddlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
omssubaddlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸   𝑥,𝑀   𝑤,𝑄   𝑤,𝑅   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐸(𝑧,𝑤)   𝑀(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem omssubaddlem

Dummy variables 𝑒 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubaddlem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
2		omssubaddlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 11247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6		oms.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
7		oms.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
8		omsf 33593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
9	6, 7, 8	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
10		oms.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
11	10	feq1i 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
12	9, 11	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
13		omssubaddlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
14	7	fdmd 6727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
15	14	unieqd 4921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
16	13, 15	sseqtrrd 4022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
17	6	uniexd 7734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
18	13, 17	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V))
19		ssexg 5322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
20		elpwg 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
22	16, 21	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
23	12, 22	ffvelcdmd 7086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
24		elxrge0 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
25	24	simprbi 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
27	2	rpge0d 13024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
28	1, 3, 26, 27	addge0d 11794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
29		elxrge0 13438	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
30	5, 28, 29	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
31	10	fveq1i 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
32		omsfval 33591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
33	6, 7, 13, 32	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
34	31, 33	eqtr2id 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
35	1, 2	ltaddrpd 13053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
36	34, 35	eqbrtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
37		iccssxr 13411	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
38		xrltso 13124	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
39		soss 5607	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
40	37, 38, 39	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
42		omscl 33592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
43	6, 7, 22, 42	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
44		xrge0infss 32240	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
46	41, 45	infglb 9487	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
47	30, 36, 46	mp2and 695	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
48		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
49		esumex 33325	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
50	48, 49	elrnmpti 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
51	50	anbi1i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
52		r19.41v 3186	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
53	51, 52	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
54	53	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
55		df-rex 3069	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
56		rexcom4 3283	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
57	54, 55, 56	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
58		breq1 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
59	58	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
60	59	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
61	60	reximi 3082	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
62	57, 61	sylbi 216	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
63	47, 62	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  dom cdm 5675  ran crn 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ωcom 7857   ≼ cdom 8939  infcinf 9438  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℝ⁺crp 12978  [,]cicc 13331  Σ^*cesum 33323  toOMeascoms 33588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-cn 22951  df-haus 23039  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tsms 23851  df-esum 33324  df-oms 33589

This theorem is referenced by: (None)