Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omssubaddlem 30686
Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubaddlem.a (𝜑𝐴 𝑄)
omssubaddlem.m (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
omssubaddlem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omssubaddlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸   𝑥,𝑀   𝑤,𝑄   𝑤,𝑅   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐸(𝑧,𝑤)   𝑀(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem omssubaddlem
Dummy variables 𝑒 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubaddlem.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
2 omssubaddlem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 12086 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 10354 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
54rexrd 10374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6 oms.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝑉)
7 oms.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
8 omsf 30683 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
96, 7, 8syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
10 oms.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
1110feq1i 6247 . . . . . . . 8 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
129, 11sylibr 225 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
13 omssubaddlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 𝑄)
147fdmd 6265 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
1514unieqd 4640 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
1613, 15sseqtr4d 3839 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 dom 𝑅)
17 uniexg 7185 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝑉 𝑄 ∈ V)
186, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑄 ∈ V)
1913, 18jca 503 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V))
20 ssexg 4999 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
21 elpwg 4359 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
2316, 22mpbird 248 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
2412, 23ffvelrnd 6582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
25 elxrge0 12501 . . . . . . 7 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
2625simprbi 486 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))
282rpge0d 12090 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
291, 3, 27, 28addge0d 10888 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝐴) + 𝐸))
30 elxrge0 12501 . . . 4 (((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
315, 29, 30sylanbrc 574 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
3210fveq1i 6409 . . . . 5 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
33 omsfval 30681 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
346, 7, 13, 33syl3anc 1483 . . . . 5 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
3532, 34syl5req 2853 . . . 4 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
361, 2ltaddrpd 12119 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
3735, 36eqbrtrd 4866 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
38 iccssxr 12474 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
39 xrltso 12190 . . . . . 6 < Or ℝ*
40 soss 5250 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4138, 39, 40mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
43 omscl 30682 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
446, 7, 23, 43syl3anc 1483 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
45 xrge0infss 29852 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
4644, 45syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
4742, 46infglb 8635 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
4831, 37, 47mp2and 682 . 2 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
49 eqid 2806 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
50 esumex 30416 . . . . . . . 8 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
5149, 50elrnmpti 5577 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
5251anbi1i 612 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
53 r19.41v 3277 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5452, 53bitr4i 269 . . . . 5 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5554exbii 1933 . . . 4 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
56 df-rex 3102 . . . 4 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
57 rexcom4 3419 . . . 4 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5855, 56, 573bitr4i 294 . . 3 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
59 breq1 4847 . . . . . 6 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
6059biimpa 464 . . . . 5 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6160exlimiv 2021 . . . 4 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6261reximi 3198 . . 3 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6358, 62sylbi 208 . 2 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6448, 63syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  wss 3769  𝒫 cpw 4351   cuni 4630   class class class wbr 4844  cmpt 4923   Or wor 5231  dom cdm 5311  ran crn 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  ωcom 7295  cdom 8190  infcinf 8586  cr 10220  0cc0 10221   + caddc 10224  +∞cpnf 10356  *cxr 10358   < clt 10359  cle 10360  +crp 12046  [,]cicc 12396  Σ*cesum 30414  toOMeascoms 30678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xadd 12163  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-hash 13338  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-ordt 16366  df-xrs 16367  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-ps 17405  df-tsr 17406  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-ntr 21038  df-nei 21116  df-cn 21245  df-haus 21333  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-tsms 22143  df-esum 30415  df-oms 30679
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator