Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubaddlem.m (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
omssubaddlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸   𝑥,𝑀   𝑤,𝑄   𝑤,𝑅   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐸(𝑧,𝑤)   𝑀(𝑧,𝑤)

Dummy variables 𝑒 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubaddlem.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
2 omssubaddlem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32rpred 12423 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 10663 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
54rexrd 10684 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6 oms.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝑉)
7 oms.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
8 omsf 31662 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
96, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
10 oms.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
1110feq1i 6482 . . . . . . . 8 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
129, 11sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
13 omssubaddlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 𝑄)
147fdmd 6501 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
1514unieqd 4817 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
1613, 15sseqtrrd 3959 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 dom 𝑅)
176uniexd 7452 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑄 ∈ V)
1813, 17jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V))
19 ssexg 5194 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
20 elpwg 4503 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
2216, 21mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
2312, 22ffvelrnd 6833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
24 elxrge0 12839 . . . . . . 7 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
2524simprbi 500 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀𝐴))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐴))
272rpge0d 12427 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
281, 3, 26, 27addge0d 11209 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝐴) + 𝐸))
29 elxrge0 12839 . . . 4 (((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
305, 28, 29sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
3110fveq1i 6650 . . . . 5 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
32 omsfval 31660 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
336, 7, 13, 32syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
3431, 33syl5req 2849 . . . 4 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
351, 2ltaddrpd 12456 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
3634, 35eqbrtrd 5055 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
37 iccssxr 12812 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
38 xrltso 12526 . . . . . 6 < Or ℝ*
39 soss 5461 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
4037, 38, 39mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
4140a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
42 omscl 31661 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
436, 7, 22, 42syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
44 xrge0infss 30513 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
4641, 45infglb 8942 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
4730, 36, 46mp2and 698 . 2 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
48 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
49 esumex 31396 . . . . . . . 8 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
5048, 49elrnmpti 5800 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
5150anbi1i 626 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
52 r19.41v 3303 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5351, 52bitr4i 281 . . . . 5 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5453exbii 1849 . . . 4 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
55 df-rex 3115 . . . 4 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
56 rexcom4 3215 . . . 4 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5754, 55, 563bitr4i 306 . . 3 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
58 breq1 5036 . . . . . 6 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸)))
5958biimpa 480 . . . . 5 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6059exlimiv 1931 . . . 4 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6160reximi 3209 . . 3 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6257, 61sylbi 220 . 2 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + 𝐸) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
6347, 62syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   Or wor 5441  dom cdm 5523  ran crn 5524  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564   ≼ cdom 8494  infcinf 8893  ℝcr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℝ+crp 12381  [,]cicc 12733  Σ*cesum 31394  toOMeascoms 31657 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-cn 21835  df-haus 21923  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tsms 22735  df-esum 31395  df-oms 31658 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator