Theorem omssubaddlem 33286

Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubaddlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubaddlem.m	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
omssubaddlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
omssubaddlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸   𝑥,𝑀   𝑤,𝑄   𝑤,𝑅   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐸(𝑧,𝑤)   𝑀(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem omssubaddlem

Dummy variables 𝑒 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubaddlem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
2		omssubaddlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 11239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6		oms.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
7		oms.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
8		omsf 33283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
10		oms.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
11	10	feq1i 6705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
12	9, 11	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
13		omssubaddlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
14	7	fdmd 6725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
15	14	unieqd 4921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
16	13, 15	sseqtrrd 4022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
17	6	uniexd 7728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
18	13, 17	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V))
19		ssexg 5322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
20		elpwg 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
22	16, 21	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
23	12, 22	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
24		elxrge0 13430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
25	24	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
27	2	rpge0d 13016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
28	1, 3, 26, 27	addge0d 11786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
29		elxrge0 13430	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
30	5, 28, 29	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
31	10	fveq1i 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
32		omsfval 33281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
33	6, 7, 13, 32	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
34	31, 33	eqtr2id 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
35	1, 2	ltaddrpd 13045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
36	34, 35	eqbrtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
37		iccssxr 13403	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
38		xrltso 13116	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
39		soss 5607	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
40	37, 38, 39	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
42		omscl 33282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
43	6, 7, 22, 42	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
44		xrge0infss 31960	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
46	41, 45	infglb 9481	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
47	30, 36, 46	mp2and 697	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
48		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
49		esumex 33015	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
50	48, 49	elrnmpti 5957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
51	50	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
52		r19.41v 3188	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
53	51, 52	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
54	53	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
55		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
56		rexcom4 3285	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
57	54, 55, 56	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
58		breq1 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
59	58	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
60	59	exlimiv 1933	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
61	60	reximi 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
62	57, 61	sylbi 216	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
63	47, 62	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  dom cdm 5675  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ωcom 7851   ≼ cdom 8933  infcinf 9432  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 12970  [,]cicc 13323  Σ^*cesum 33013  toOMeascoms 33278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622  df-esum 33014  df-oms 33279

This theorem is referenced by: (None)