Theorem omssubaddlem 31130

Description: For any small margin 𝐸, we can find a covering approaching the outer measure of a set 𝐴 by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubaddlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
omssubaddlem.m	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
omssubaddlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
omssubaddlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸   𝑥,𝑀   𝑤,𝑄   𝑤,𝑅   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐸(𝑧,𝑤)   𝑀(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem omssubaddlem

Dummy variables 𝑒 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omssubaddlem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
2		omssubaddlem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 10505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
5	4	rexrd 10526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ*)
6		oms.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
7		oms.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
8		omsf 31127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
10		oms.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
11	10	feq1i 6365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
12	9, 11	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
13		omssubaddlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
14	7	fdmd 6383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
15	14	unieqd 4749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
16	13, 15	sseqtr4d 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅)
17		uniexg 7316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑄 ∈ V)
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
19	13, 18	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V))
20		ssexg 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ∪ 𝑄 ∧ ∪ 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
21		elpwg 4455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑅))
23	16, 22	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅)
24	12, 23	ffvelrnd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
25		elxrge0 12684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝐴)))
26	25	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘𝐴))
28	2	rpge0d 12274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
29	1, 3, 27, 28	addge0d 11053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
30		elxrge0 12684	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
31	5, 29, 30	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞))
32	10	fveq1i 6531	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
33		omsfval 31125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
34	6, 7, 13, 33	syl3anc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ))
35	32, 34	syl5req 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀‘𝐴))
36	1, 2	ltaddrpd 12303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
37	35, 36	eqbrtrd 4978	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
38		iccssxr 12658	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
39		xrltso 12373	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
40		soss 5373	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41	38, 39, 40	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
43		omscl 31126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
44	6, 7, 23, 43	syl3anc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
45		xrge0infss 30145	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < 𝑡)))
47	42, 46	infglb 8790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
48	31, 37, 47	mp2and 695	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
49		eqid 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
50		esumex 30861	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∈ V
51	49, 50	elrnmpti 5706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))
52	51	anbi1i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
53		r19.41v 3305	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
54	52, 53	bitr4i 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
55	54	exbii 1827	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
56		df-rex 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
57		rexcom4 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) ↔ ∃𝑢∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
58	55, 56, 57	3bitr4i 304	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
59		breq1 4959	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) → (𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) ↔ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)))
60	59	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
61	60	exlimiv 1906	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
62	61	reximi 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
63	58, 62	sylbi 218	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤))𝑢 < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))
64	48, 63	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑤) < ((𝑀‘𝐴) + 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520  ∃wex 1759   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103  ∃wrex 3104  {crab 3107  Vcvv 3432   ⊆ wss 3854  𝒫 cpw 4447  ∪ cuni 4739   class class class wbr 4956   ↦ cmpt 5035   Or wor 5353  dom cdm 5435  ran crn 5436  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ωcom 7427   ≼ cdom 8345  infcinf 8741  ℝcr 10371  0cc0 10372   + caddc 10375  +∞cpnf 10507  ℝ^*cxr 10509   < clt 10510   ≤ cle 10511  ℝ⁺crp 12228  [,]cicc 12580  Σ^*cesum 30859  toOMeascoms 31122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xadd 12347  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-ordt 16591  df-xrs 16592  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-ps 17627  df-tsr 17628  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-ntr 21300  df-nei 21378  df-cn 21507  df-haus 21595  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-tsms 22406  df-esum 30860  df-oms 31123

This theorem is referenced by: (None)