MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgencn3 22925
Description: The set of continuous functions from 𝐽 to 𝐾 is unaffected by k-ification of 𝐾, if 𝐽 is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
31, 2cnf 22613 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
43adantl 483 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
5 cnvimass 6034 . . . . . . . . 9 (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑓
64fdmd 6680 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝐽)
76adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝐽)
85, 7sseqtrid 3997 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 cnvresima 6183 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦)
104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
11 ffun 6672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ Fun 𝑓)
12 inpreima 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑓 β†’ (◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))))
1413ineq1d 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦))
15 in32 4182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)))
16 ssrin 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑓 β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (dom 𝑓 ∩ 𝑦))
175, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (dom 𝑓 ∩ 𝑦)
18 dminss 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝑓 ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))
1917, 18sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)))
21 df-ss 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)) ↔ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2315, 22eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2414, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
259, 24eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 elpwi 4568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
301cnrest 22652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾))
3127, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾))
32 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3332ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
34 toptopon2 22283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
36 df-ima 5647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 β€œ 𝑦) = ran (𝑓 β†Ύ 𝑦)
3736eqimss2i 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦))
39 imassrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝑓
4010frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐾)
4139, 40sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝐾)
42 cnrest2 22653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦) ∧ (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))))
4335, 38, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))))
4431, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))))
45 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ))
46 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)
47 imacmp 22764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp)
4827, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp)
49 kgeni 22904 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))
5045, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))
51 cnima 22632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5244, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5325, 52eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5453expr 458 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))
5554ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))
56 kgentop 22909 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ Top)
5756ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
58 toptopon2 22283 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5957, 58sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
60 elkgen 22903 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))))
628, 55, 61mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
63 kgenidm 22914 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
6463ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
6562, 64eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6665ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6756, 58sylib 217 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
68 kgentopon 22905 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
6934, 68sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
70 iscn 22602 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
7167, 69, 70syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
7271adantr 482 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
734, 66, 72mpbir2and 712 . . . 4 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7473ex 414 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ))))
7574ssrdv 3951 . 2 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) βŠ† (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7669adantl 483 . . . 4 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
77 toponcom 22293 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7832, 76, 77syl2anc 585 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
79 kgenss 22910 . . . 4 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
8079adantl 483 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
81 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ) = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)
8281cnss2 22644 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
8378, 80, 82syl2anc 585 . 2 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
8475, 83eqssd 3962 1 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β†Ύt crest 17307  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591  Compccmp 22753  π‘˜Genckgen 22900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-fi 9352  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cmp 22754  df-kgen 22901
This theorem is referenced by:  kgen2cn  22926  txkgen  23019  qtopkgen  23077
  Copyright terms: Public domain W3C validator