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Theorem kgencn3 23283
Description: The set of continuous functions from 𝐽 to 𝐾 is unaffected by k-ification of 𝐾, if 𝐽 is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2731 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
31, 2cnf 22971 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
43adantl 481 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
5 cnvimass 6080 . . . . . . . . 9 (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑓
64fdmd 6728 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝐽)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝐽)
85, 7sseqtrid 4034 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 cnvresima 6229 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦)
104ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
11 ffun 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ Fun 𝑓)
12 inpreima 7065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑓 β†’ (◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))))
1413ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦))
15 in32 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)))
16 ssrin 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑓 β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (dom 𝑓 ∩ 𝑦))
175, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (dom 𝑓 ∩ 𝑦)
18 dminss 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝑓 ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))
1917, 18sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)))
21 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)) ↔ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2315, 22eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2414, 23eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
259, 24eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2928ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
301cnrest 23010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾))
3127, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾))
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3332ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
34 toptopon2 22641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
36 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 β€œ 𝑦) = ran (𝑓 β†Ύ 𝑦)
3736eqimss2i 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦))
39 imassrn 6070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝑓
4010frnd 6725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐾)
4139, 40sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝐾)
42 cnrest2 23011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦) ∧ (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))))
4335, 38, 41, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))))
4431, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))))
45 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ))
46 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)
47 imacmp 23122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp)
4827, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp)
49 kgeni 23262 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))
5045, 48, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))
51 cnima 22990 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5244, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5325, 52eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5453expr 456 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))
5554ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))
56 kgentop 23267 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ Top)
5756ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
58 toptopon2 22641 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5957, 58sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
60 elkgen 23261 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))))
628, 55, 61mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
63 kgenidm 23272 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
6463ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
6562, 64eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6665ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6756, 58sylib 217 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
68 kgentopon 23263 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
6934, 68sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
70 iscn 22960 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
7167, 69, 70syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
7271adantr 480 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
734, 66, 72mpbir2and 710 . . . 4 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7473ex 412 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ))))
7574ssrdv 3988 . 2 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) βŠ† (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7669adantl 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
77 toponcom 22651 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7832, 76, 77syl2anc 583 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
79 kgenss 23268 . . . 4 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
8079adantl 481 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
81 eqid 2731 . . . 4 βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ) = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)
8281cnss2 23002 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
8378, 80, 82syl2anc 583 . 2 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
8475, 83eqssd 3999 1 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17371  Topctop 22616  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  Compccmp 23111  π‘˜Genckgen 23258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946  df-fi 9409  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cmp 23112  df-kgen 23259
This theorem is referenced by:  kgen2cn  23284  txkgen  23377  qtopkgen  23435
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