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Theorem kgencn3 23282
Description: The set of continuous functions from 𝐽 to 𝐾 is unaffected by k-ification of 𝐾, if 𝐽 is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2730 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
31, 2cnf 22970 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
43adantl 480 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
5 cnvimass 6079 . . . . . . . . 9 (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑓
64fdmd 6727 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝐽)
76adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝐽)
85, 7sseqtrid 4033 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 cnvresima 6228 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦)
104ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
11 ffun 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ Fun 𝑓)
12 inpreima 7064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑓 β†’ (◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))))
1413ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦))
15 in32 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)))
16 ssrin 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑓 β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (dom 𝑓 ∩ 𝑦))
175, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (dom 𝑓 ∩ 𝑦)
18 dminss 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝑓 ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))
1917, 18sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)))
21 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦)) ↔ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2315, 22eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
2414, 23eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∩ 𝑦) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
259, 24eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) = ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦))
26 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2928ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽)
301cnrest 23009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾))
3127, 29, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾))
32 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 ∈ Top)
3332ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
34 toptopon2 22640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
36 df-ima 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 β€œ 𝑦) = ran (𝑓 β†Ύ 𝑦)
3736eqimss2i 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦))
39 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝑓
4010frnd 6724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝐾)
4139, 40sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝐾)
42 cnrest2 23010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝑓 β†Ύ 𝑦) βŠ† (𝑓 β€œ 𝑦) ∧ (𝑓 β€œ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))))
4335, 38, 41, 42syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn 𝐾) ↔ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))))
4431, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))))
45 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ))
46 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)
47 imacmp 23121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp)
4827, 46, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp)
49 kgeni 23261 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))
5045, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦)))
51 cnima 22989 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 β†Ύ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) Cn (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝑓 β€œ 𝑦))) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5244, 50, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ (β—‘(𝑓 β†Ύ 𝑦) β€œ (π‘₯ ∩ (𝑓 β€œ 𝑦))) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5325, 52eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦))
5453expr 455 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))
5554ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))
56 kgentop 23266 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ Top)
5756ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
58 toptopon2 22640 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5957, 58sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
60 elkgen 23260 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽((𝐽 β†Ύt 𝑦) ∈ Comp β†’ ((◑𝑓 β€œ π‘₯) ∩ 𝑦) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝑦)))))
628, 55, 61mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
63 kgenidm 23271 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
6463ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = 𝐽)
6562, 64eleqtrd 2833 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6665ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6756, 58sylib 217 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ran π‘˜Gen β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
68 kgentopon 23262 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
6934, 68sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
70 iscn 22959 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
7167, 69, 70syl2an 594 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
7271adantr 479 . . . . 5 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ↔ (𝑓:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜πΎ)(◑𝑓 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)))
734, 66, 72mpbir2and 709 . . . 4 (((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7473ex 411 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ))))
7574ssrdv 3987 . 2 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) βŠ† (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7669adantl 480 . . . 4 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
77 toponcom 22650 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ (π‘˜Genβ€˜πΎ) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
7832, 76, 77syl2anc 582 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
79 kgenss 23267 . . . 4 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
8079adantl 480 . . 3 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ))
81 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ) = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)
8281cnss2 23001 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (π‘˜Genβ€˜πΎ)) ∧ 𝐾 βŠ† (π‘˜Genβ€˜πΎ)) β†’ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
8378, 80, 82syl2anc 582 . 2 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
8475, 83eqssd 3998 1 ((𝐽 ∈ ran π‘˜Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn (π‘˜Genβ€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  Compccmp 23110  π‘˜Genckgen 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cmp 23111  df-kgen 23258
This theorem is referenced by:  kgen2cn  23283  txkgen  23376  qtopkgen  23434
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