MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima 25058
Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem i1fima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25056 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 ffun 6676 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
3 inpreima 7019 . . . 4 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
4 iunid 5025 . . . . . 6 βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦} = (𝐴 ∩ ran 𝐹)
54imaeq2i 6016 . . . . 5 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
6 imaiun 7197 . . . . 5 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦})
75, 6eqtr3i 2767 . . . 4 (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦})
8 cnvimass 6038 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
9 cnvimarndm 6039 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
108, 9sseqtrri 3986 . . . . 5 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
11 df-ss 3932 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
1210, 11mpbi 229 . . . 4 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴)
133, 7, 123eqtr3g 2800 . . 3 (Fun 𝐹 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
141, 2, 133syl 18 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
15 i1frn 25057 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
16 inss2 4194 . . . 4 (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
17 ssfi 9124 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 587 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
19 i1fmbf 25055 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2019adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
211adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
221frnd 6681 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
2316, 22sstrid 3960 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
2423sselda 3949 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
25 mbfimasn 25012 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
2620, 21, 24, 25syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
2726ralrimiva 3144 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
28 finiunmbl 24924 . . 3 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
2918, 27, 28syl2anc 585 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
3014, 29eqeltrrd 2839 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βˆͺ ciun 4959  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  Fincfn 8890  β„cr 11057  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  i1fima2  25059  itg1ge0  25066  i1fadd  25075  i1fmul  25076  itg1addlem2  25077  itg1addlem4  25079  itg1addlem4OLD  25080  itg1addlem5  25081  i1fmulc  25084  i1fres  25086  i1fpos  25087  itg1ge0a  25092  itg1climres  25095  itg2addnclem  36158  itg2addnclem2  36159  ftc1anclem3  36182  ftc1anclem6  36185
  Copyright terms: Public domain W3C validator