Theorem i1fima 25645

Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem i1fima

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25643	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		ffun 6671	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
3		inpreima 7016	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
4		iunid 5003	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦} = (𝐴 ∩ ran 𝐹)
5	4	imaeq2i 6023	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
6		imaiun 7200	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦})
7	5, 6	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦})
8		cnvimass 6047	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
9		cnvimarndm 6048	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
10	8, 9	sseqtrri 3971	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
11		dfss2 3907	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
12	10, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
13	3, 7, 12	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	1, 2, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ 𝐴))
15		i1frn 25644	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
16		inss2 4178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
17		ssfi 9107	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
19		i1fmbf 25642	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹 ∈ MblFn)
21	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	1	frnd 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	16, 22	sstrid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		mbfimasn 25599	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
26	20, 21, 24, 25	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
27	26	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
28		finiunmbl 25511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
29	18, 27, 28	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
30	14, 29	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ∪ ciun 4933  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  Fincfn 8893  ℝcr 11037  volcvol 25430  MblFncmbf 25581  ∫₁citg1 25582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587

This theorem is referenced by:  i1fima2  25646  itg1ge0  25653  i1fadd  25662  i1fmul  25663  itg1addlem2  25664  itg1addlem4  25666  itg1addlem5  25667  i1fmulc  25670  i1fres  25672  i1fpos  25673  itg1ge0a  25678  itg1climres  25681  itg2addnclem  37992  itg2addnclem2  37993  ftc1anclem3  38016  ftc1anclem6  38019