Theorem i1fima 25874

Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem i1fima

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25872	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		ffun 6715	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
3		inpreima 7066	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
4		iunid 5030	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦} = (𝐴 ∩ ran 𝐹)
5	4	imaeq2i 6065	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
6		imaiun 7250	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦})
7	5, 6	eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦})
8		cnvimass 6089	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
9		cnvimarndm 6090	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
10	8, 9	sseqtrri 3989	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
11		dfss2 3926	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
12	10, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
13	3, 7, 12	3eqtr3g 2824	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	1, 2, 13	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ 𝐴))
15		i1frn 25873	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
16		inss2 4193	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
17		ssfi 9167	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
19		i1fmbf 25871	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹 ∈ MblFn)
21	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	1	frnd 6721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	16, 22	sstrid 3951	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	sselda 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		mbfimasn 25828	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
26	20, 21, 24, 25	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
27	26	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
28		finiunmbl 25740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
29	18, 27, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
30	14, 29	eqeltrrd 2867	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ∪ ciun 4961  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   “ cima 5669  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  Fincfn 8952  ℝcr 11117  volcvol 25659  MblFncmbf 25810  ∫₁citg1 25811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-xmet 21552  df-met 21553  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816

This theorem is used by:  i1fima2  25875  itg1ge0  25882  i1fadd  25891  i1fmul  25892  itg1addlem2  25893  itg1addlem4  25895  itg1addlem5  25896  i1fmulc  25899  i1fres  25901  i1fpos  25902  itg1ge0a  25907  itg1climres  25910  itg2addnclem  38363  itg2addnclem2  38364  ftc1anclem3  38387  ftc1anclem6  38390