Theorem i1fima 24747

Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem i1fima

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 24745	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		ffun 6587	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
3		inpreima 6923	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
4		iunid 4986	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦} = (𝐴 ∩ ran 𝐹)
5	4	imaeq2i 5956	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
6		imaiun 7100	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦})
7	5, 6	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦})
8		cnvimass 5978	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
9		cnvimarndm 5979	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
10	8, 9	sseqtrri 3954	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
11		df-ss 3900	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
12	10, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
13	3, 7, 12	3eqtr3g 2802	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	1, 2, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ 𝐴))
15		i1frn 24746	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
16		inss2 4160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
17		ssfi 8918	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
19		i1fmbf 24744	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹 ∈ MblFn)
21	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22	1	frnd 6592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	16, 22	sstrid 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		mbfimasn 24701	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
26	20, 21, 24, 25	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
27	26	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
28		finiunmbl 24613	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
29	18, 27, 28	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
30	14, 29	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ∪ ciun 4921  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  Fincfn 8691  ℝcr 10801  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  ∫₁citg1 24684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689

This theorem is referenced by:  i1fima2  24748  itg1ge0  24755  i1fadd  24764  i1fmul  24765  itg1addlem2  24766  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  itg1addlem5  24770  i1fmulc  24773  i1fres  24775  i1fpos  24776  itg1ge0a  24781  itg1climres  24784  itg2addnclem  35755  itg2addnclem2  35756  ftc1anclem3  35779  ftc1anclem6  35782