Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smfco 46253
Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfco.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfco.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
smfco.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
smfco.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
Assertion
Ref Expression
smfco (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Proof of Theorem smfco
Dummy variables 𝑒 π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfco.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 cnvimass 6085 . . . 4 (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹)
5 smfco.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
6 eqid 2725 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 46184 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
84, 7sstrd 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† βˆͺ 𝑆)
9 smfco.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 retop 24708 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
119, 10eqeltri 2821 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
13 smfco.b . . . . . . 7 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
1412, 13salgencld 45800 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
15 smfco.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
16 eqid 2725 . . . . . 6 dom 𝐻 = dom 𝐻
1714, 15, 16smff 46183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:dom π»βŸΆβ„)
1817ffund 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
192, 5, 6smff 46183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2019ffund 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
2118, 20funcofd 6754 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)⟢ran 𝐻)
2217frnd 6729 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ)
2321, 22fssd 6738 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)βŸΆβ„)
24 cnvco 5887 . . . . 5 β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ ◑𝐻)
2524imaeq1i 6060 . . . 4 (β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž))
2623adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)βŸΆβ„)
27 rexr 11290 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2827adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2926, 28preimaioomnf 46170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž})
30 imaco 6255 . . . . 5 ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
3130a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))))
3225, 29, 313eqtr3a 2789 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))))
3317adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐻:dom π»βŸΆβ„)
3433, 28preimaioomnf 46170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ dom 𝐻 ∣ (π»β€˜π‘₯) < π‘Ž})
3514adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
3615adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
37 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3835, 36, 16, 37smfpreimalt 46182 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐻 ∣ (π»β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻))
3934, 38eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻))
4014elexd 3485 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
4115dmexd 7909 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 ∈ V)
42 elrest 17408 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4340, 41, 42syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4443adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4539, 44mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46 imaeq2 6059 . . . . . . . . 9 ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) = (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47463ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) = (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48 ovexd 7452 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V)
495elexd 3485 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
50 cnvexg 7930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V β†’ ◑𝐹 ∈ V)
51 imaexg 7919 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐹 ∈ V β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
542adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
555adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
57 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ 𝑒)
5854, 55, 6, 9, 13, 56, 57smfpimbor1 46251 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
59 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻))
6048, 53, 58, 59elrestd 44539 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
61 inpreima 7070 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6362adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
645dmexd 7909 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
65 restabs 23099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) β†’ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
662, 4, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6766eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6867adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6960, 63, 683eltr4d 2840 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
70693adant3 1129 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
7147, 70eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
72713exp 1116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))))
7372adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))))
7473rexlimdv 3143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻))))
7545, 74mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
7632, 75eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
771, 2, 8, 23, 76issmfd 46186 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6541  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„cr 11137  -∞cmnf 11276  β„*cxr 11277   < clt 11278  (,)cioo 13356   β†Ύt crest 17401  topGenctg 17418  Topctop 22825  SAlgcsalg 45759  SalGencsalgen 45763  SMblFncsmblfn 46146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-fl 13789  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-top 22826  df-bases 22879  df-salg 45760  df-salgen 45764  df-smblfn 46147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator