Theorem smfco 45829

Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
smfco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfco.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		cnvimass 6080	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5		smfco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 45760	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3992	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ ∪ 𝑆)
9		smfco.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		retop 24511	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
11	9, 10	eqeltri 2828	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		smfco.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
14	12, 13	salgencld 45376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
15		smfco.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐻 = dom 𝐻
17	14, 15, 16	smff 45759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
18	17	ffund 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
19	2, 5, 6	smff 45759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
20	19	ffund 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21	18, 20	funcofd 6750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
22	17	frnd 6725	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
23	21, 22	fssd 6735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
24		cnvco 5885	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐻 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝐻)
25	24	imaeq1i 6056	. . . 4 ⊢ (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
26	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
27		rexr 11267	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
29	26, 28	preimaioomnf 45746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
30		imaco 6250	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
32	25, 29, 31	3eqtr3a 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
33	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
34	33, 28	preimaioomnf 45746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎})
35	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
36	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	35, 36, 16, 37	smfpreimalt 45758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
39	34, 38	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
40	14	elexd 3494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
41	15	dmexd 7900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
42		elrest 17380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
45	39, 44	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46		imaeq2 6055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47	46	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48		ovexd 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
49	5	elexd 3494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50		cnvexg 7919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
51		imaexg 7910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
54	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
55	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑒)
58	54, 55, 6, 9, 13, 56, 57	smfpimbor1 45827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
59		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻))
60	48, 53, 58, 59	elrestd 44111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
61		inpreima 7065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
62	20, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
64	5	dmexd 7900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
65		restabs 22902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
66	2, 4, 64, 65	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
67	66	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
69	60, 63, 68	3eltr4d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
70	69	3adant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
71	47, 70	eqeltrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
72	71	3exp 1118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
74	73	rexlimdv 3152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻))))
75	45, 74	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
76	32, 75	eqeltrd 2832	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
77	1, 2, 8, 23, 76	issmfd 45762	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  -∞cmnf 11253  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  (,)cioo 13331   ↾_t crest 17373  topGenctg 17390  Topctop 22628  SAlgcsalg 45335  SalGencsalgen 45339  SMblFncsmblfn 45722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-fl 13764  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22629  df-bases 22682  df-salg 45336  df-salgen 45340  df-smblfn 45723

This theorem is referenced by: (None)