Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smfco 46113
Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfco.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfco.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
smfco.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
smfco.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
Assertion
Ref Expression
smfco (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Proof of Theorem smfco
Dummy variables 𝑒 π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1910 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfco.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 cnvimass 6079 . . . 4 (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹)
5 smfco.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
6 eqid 2727 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 46044 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
84, 7sstrd 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† βˆͺ 𝑆)
9 smfco.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 retop 24665 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
119, 10eqeltri 2824 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
13 smfco.b . . . . . . 7 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
1412, 13salgencld 45660 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
15 smfco.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
16 eqid 2727 . . . . . 6 dom 𝐻 = dom 𝐻
1714, 15, 16smff 46043 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:dom π»βŸΆβ„)
1817ffund 6720 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
192, 5, 6smff 46043 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2019ffund 6720 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
2118, 20funcofd 6750 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)⟢ran 𝐻)
2217frnd 6724 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ)
2321, 22fssd 6734 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)βŸΆβ„)
24 cnvco 5882 . . . . 5 β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ ◑𝐻)
2524imaeq1i 6054 . . . 4 (β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž))
2623adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)βŸΆβ„)
27 rexr 11282 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2827adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2926, 28preimaioomnf 46030 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž})
30 imaco 6249 . . . . 5 ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
3130a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))))
3225, 29, 313eqtr3a 2791 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))))
3317adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐻:dom π»βŸΆβ„)
3433, 28preimaioomnf 46030 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ dom 𝐻 ∣ (π»β€˜π‘₯) < π‘Ž})
3514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
3615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
37 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3835, 36, 16, 37smfpreimalt 46042 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐻 ∣ (π»β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻))
3934, 38eqeltrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻))
4014elexd 3490 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
4115dmexd 7905 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 ∈ V)
42 elrest 17400 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4340, 41, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4443adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4539, 44mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46 imaeq2 6053 . . . . . . . . 9 ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) = (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47463ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) = (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48 ovexd 7449 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V)
495elexd 3490 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
50 cnvexg 7926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V β†’ ◑𝐹 ∈ V)
51 imaexg 7915 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐹 ∈ V β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
542adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
555adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
57 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ 𝑒)
5854, 55, 6, 9, 13, 56, 57smfpimbor1 46111 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
59 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻))
6048, 53, 58, 59elrestd 44397 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
61 inpreima 7067 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6362adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
645dmexd 7905 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
65 restabs 23056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) β†’ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
662, 4, 64, 65syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6766eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6867adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6960, 63, 683eltr4d 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
70693adant3 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
7147, 70eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
72713exp 1117 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))))
7372adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))))
7473rexlimdv 3148 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻))))
7545, 74mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
7632, 75eqeltrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
771, 2, 8, 23, 76issmfd 46046 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  -∞cmnf 11268  β„*cxr 11269   < clt 11270  (,)cioo 13348   β†Ύt crest 17393  topGenctg 17410  Topctop 22782  SAlgcsalg 45619  SalGencsalgen 45623  SMblFncsmblfn 46006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-fl 13781  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-top 22783  df-bases 22836  df-salg 45620  df-salgen 45624  df-smblfn 46007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator