Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfco 42943
Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfco.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h (𝜑𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Assertion
Ref Expression
smfco (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1908 . 2 𝑎𝜑
2 smfco.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 cnvimass 5947 . . . 4 (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5 smfco.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2826 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 42876 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
84, 7sstrd 3981 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ 𝑆)
9 smfco.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 retop 23285 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
119, 10eqeltri 2914 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
13 smfco.b . . . . . . 7 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
1412, 13salgencld 42498 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
15 smfco.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16 eqid 2826 . . . . . 6 dom 𝐻 = dom 𝐻
1714, 15, 16smff 42875 . . . . 5 (𝜑𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
1817ffund 6515 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐻)
192, 5, 6smff 42875 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2019ffund 6515 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
2118, 20fco3 41356 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹):(𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
2217frnd 6518 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
2321, 22fssd 6525 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹):(𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻𝐹):(𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
25 rexr 10676 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2724, 26preimaioomnf 42863 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
2827eqcomd 2832 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)))
29 cnvco 5755 . . . . . 6 (𝐻𝐹) = (𝐹𝐻)
3029imaeq1i 5924 . . . . 5 ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
3130a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎)))
32 imaco 6102 . . . . 5 ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
3332a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
3428, 31, 333eqtrd 2865 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
3517adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
3635, 26preimaioomnf 42863 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎})
3736eqcomd 2832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎} = (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
3837eqcomd 2832 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎})
3914adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
4015adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
41 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
4239, 40, 16, 41smfpreimalt 42874 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t dom 𝐻))
4338, 42eqeltrd 2918 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻))
4414elexd 3520 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
4515dmexd 7603 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
46 elrest 16691 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4847adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4943, 48mpbid 233 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
50 imaeq2 5923 . . . . . . . . 9 ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
51503ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒𝐵 ∧ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
52 ovexd 7183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝑆t dom 𝐹) ∈ V)
535elexd 3520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
54 cnvexg 7617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
56 imaexg 7608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
592adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
605adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑒𝐵)
62 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑒) = (𝐹𝑒)
6359, 60, 6, 9, 13, 61, 62smfpimbor1 42941 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
64 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻))
6552, 58, 63, 64elrestd 41240 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)))
66 inpreima 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)))
6720, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)))
695dmexd 7603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
70 restabs 21689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
712, 4, 69, 70syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7271eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7468, 73eleq12d 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ((𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)) ↔ ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻))))
7565, 74mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
76753adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒𝐵 ∧ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7751, 76eqeltrd 2918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒𝐵 ∧ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
78773exp 1113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑒𝐵 → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))))
7978adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒𝐵 → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))))
8079rexlimdv 3288 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻))))
8149, 80mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
8234, 81eqeltrd 2918 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
831, 2, 8, 23, 82issmfd 42878 1 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  {crab 3147  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940   cuni 4837   class class class wbr 5063  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557  ccom 5558  Fun wfun 6346  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12728  t crest 16684  topGenctg 16701  Topctop 21417  SAlgcsalg 42459  SalGencsalgen 42463  SMblFncsmblfn 42843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-fl 13152  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-top 21418  df-bases 21470  df-salg 42460  df-salgen 42464  df-smblfn 42844
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator