Theorem smfco 46723

Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
smfco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfco.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		cnvimass 6111	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5		smfco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 46654	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 4019	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ ∪ 𝑆)
9		smfco.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		retop 24803	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
11	9, 10	eqeltri 2840	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		smfco.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
14	12, 13	salgencld 46270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
15		smfco.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐻 = dom 𝐻
17	14, 15, 16	smff 46653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
18	17	ffund 6751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
19	2, 5, 6	smff 46653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
20	19	ffund 6751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21	18, 20	funcofd 6780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
22	17	frnd 6755	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
23	21, 22	fssd 6764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
24		cnvco 5910	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐻 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝐻)
25	24	imaeq1i 6086	. . . 4 ⊢ (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
26	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
27		rexr 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
29	26, 28	preimaioomnf 46640	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
30		imaco 6282	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
32	25, 29, 31	3eqtr3a 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
33	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
34	33, 28	preimaioomnf 46640	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎})
35	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
36	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	35, 36, 16, 37	smfpreimalt 46652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
39	34, 38	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
40	14	elexd 3512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
41	15	dmexd 7943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
42		elrest 17487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
45	39, 44	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46		imaeq2 6085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47	46	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48		ovexd 7483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
49	5	elexd 3512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50		cnvexg 7964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
51		imaexg 7953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
54	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
55	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑒)
58	54, 55, 6, 9, 13, 56, 57	smfpimbor1 46721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
59		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻))
60	48, 53, 58, 59	elrestd 45010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
61		inpreima 7097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
62	20, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
64	5	dmexd 7943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
65		restabs 23194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
66	2, 4, 64, 65	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
67	66	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
69	60, 63, 68	3eltr4d 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
70	69	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
71	47, 70	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
72	71	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
74	73	rexlimdv 3159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻))))
75	45, 74	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
76	32, 75	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
77	1, 2, 8, 23, 76	issmfd 46656	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13407   ↾_t crest 17480  topGenctg 17497  Topctop 22920  SAlgcsalg 46229  SalGencsalgen 46233  SMblFncsmblfn 46616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-fl 13843  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-bases 22974  df-salg 46230  df-salgen 46234  df-smblfn 46617

This theorem is referenced by: (None)