Theorem smfco 47149

Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
smfco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfco.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		cnvimass 6049	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5		smfco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 47080	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ ∪ 𝑆)
9		smfco.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		retop 24717	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
11	9, 10	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		smfco.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
14	12, 13	salgencld 46696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
15		smfco.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐻 = dom 𝐻
17	14, 15, 16	smff 47079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
18	17	ffund 6674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
19	2, 5, 6	smff 47079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
20	19	ffund 6674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21	18, 20	funcofd 6702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
22	17	frnd 6678	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
23	21, 22	fssd 6687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
24		cnvco 5842	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐻 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝐻)
25	24	imaeq1i 6024	. . . 4 ⊢ (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
26	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
27		rexr 11190	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
29	26, 28	preimaioomnf 47066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
30		imaco 6217	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
32	25, 29, 31	3eqtr3a 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
33	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
34	33, 28	preimaioomnf 47066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎})
35	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
36	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	35, 36, 16, 37	smfpreimalt 47078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
39	34, 38	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
40	14	elexd 3466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
41	15	dmexd 7855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
42		elrest 17359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
43	40, 41, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
45	39, 44	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46		imaeq2 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47	46	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48		ovexd 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
49	5	elexd 3466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50		cnvexg 7876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
51		imaexg 7865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
54	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
55	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑒)
58	54, 55, 6, 9, 13, 56, 57	smfpimbor1 47147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻))
60	48, 53, 58, 59	elrestd 45456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
61		inpreima 7018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
62	20, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
64	5	dmexd 7855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
65		restabs 23121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
66	2, 4, 64, 65	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
69	60, 63, 68	3eltr4d 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
70	69	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
71	47, 70	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
72	71	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
74	73	rexlimdv 3137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻))))
75	45, 74	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
76	32, 75	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
77	1, 2, 8, 23, 76	issmfd 47082	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635   ∘ ccom 5636  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  (,)cioo 13273   ↾_t crest 17352  topGenctg 17369  Topctop 22849  SAlgcsalg 46655  SalGencsalgen 46659  SMblFncsmblfn 47042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fl 13724  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-top 22850  df-bases 22902  df-salg 46656  df-salgen 46660  df-smblfn 47043

This theorem is referenced by: (None)