Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smfco 45518
Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfco.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfco.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
smfco.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
smfco.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
Assertion
Ref Expression
smfco (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Proof of Theorem smfco
Dummy variables 𝑒 π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 smfco.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3 cnvimass 6081 . . . 4 (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹)
5 smfco.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
6 eqid 2733 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 45449 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
84, 7sstrd 3993 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† βˆͺ 𝑆)
9 smfco.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 retop 24278 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
119, 10eqeltri 2830 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
13 smfco.b . . . . . . 7 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
1412, 13salgencld 45065 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
15 smfco.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
16 eqid 2733 . . . . . 6 dom 𝐻 = dom 𝐻
1714, 15, 16smff 45448 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:dom π»βŸΆβ„)
1817ffund 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐻)
192, 5, 6smff 45448 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2019ffund 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
2118, 20funcofd 6751 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)⟢ran 𝐻)
2217frnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ)
2321, 22fssd 6736 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)βŸΆβ„)
24 cnvco 5886 . . . . 5 β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ ◑𝐻)
2524imaeq1i 6057 . . . 4 (β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž))
2623adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐻 ∘ 𝐹):(◑𝐹 β€œ dom 𝐻)βŸΆβ„)
27 rexr 11260 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2827adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2926, 28preimaioomnf 45435 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐻 ∘ 𝐹) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž})
30 imaco 6251 . . . . 5 ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
3130a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 ∘ ◑𝐻) β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))))
3225, 29, 313eqtr3a 2797 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))))
3317adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐻:dom π»βŸΆβ„)
3433, 28preimaioomnf 45435 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ dom 𝐻 ∣ (π»β€˜π‘₯) < π‘Ž})
3514adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
3615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐻 ∈ (SMblFnβ€˜π΅))
37 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3835, 36, 16, 37smfpreimalt 45447 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐻 ∣ (π»β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻))
3934, 38eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻))
4014elexd 3495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
4115dmexd 7896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 ∈ V)
42 elrest 17373 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4443adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝐡 β†Ύt dom 𝐻) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4539, 44mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46 imaeq2 6056 . . . . . . . . 9 ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) = (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47463ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) = (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48 ovexd 7444 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V)
495elexd 3495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
50 cnvexg 7915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V β†’ ◑𝐹 ∈ V)
51 imaexg 7906 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐹 ∈ V β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∈ V)
542adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
555adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ 𝑒)
5854, 55, 6, 9, 13, 56, 57smfpimbor1 45516 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻))
6048, 53, 58, 59elrestd 43797 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
61 inpreima 7066 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6220, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6362adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∩ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
645dmexd 7896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
65 restabs 22669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) βŠ† dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) β†’ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
662, 4, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6766eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6867adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)) = ((𝑆 β†Ύt dom 𝐹) β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
6960, 63, 683eltr4d 2849 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
70693adant3 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
7147, 70eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
72713exp 1120 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))))
7372adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 β†’ ((◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))))
7473rexlimdv 3154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻))))
7545, 74mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)π‘Ž))) ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
7632, 75eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt (◑𝐹 β€œ dom 𝐻)))
771, 2, 8, 23, 76issmfd 45451 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395  SAlgcsalg 45024  SalGencsalgen 45028  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fl 13757  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-salg 45025  df-salgen 45029  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator