Theorem smfco 47252

Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
smfco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1921	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfco.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		cnvimass 6041	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5		smfco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 47183	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ ∪ 𝑆)
9		smfco.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		retop 24751	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
11	9, 10	eqeltri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		smfco.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
14	12, 13	salgencld 46799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
15		smfco.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐻 = dom 𝐻
17	14, 15, 16	smff 47182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
18	17	ffund 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
19	2, 5, 6	smff 47182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
20	19	ffund 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21	18, 20	funcofd 6694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
22	17	frnd 6670	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
23	21, 22	fssd 6679	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
24		cnvco 5834	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐻 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝐻)
25	24	imaeq1i 6016	. . . 4 ⊢ (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
26	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
27		rexr 11189	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
28	27	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
29	26, 28	preimaioomnf 47169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
30		imaco 6209	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
32	25, 29, 31	3eqtr3a 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
33	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
34	33, 28	preimaioomnf 47169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎})
35	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
36	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
37		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	35, 36, 16, 37	smfpreimalt 47181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
39	34, 38	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
40	14	elexd 3456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
41	15	dmexd 7850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
42		elrest 17388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
43	40, 41, 42	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
44	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
45	39, 44	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
46		imaeq2 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47	46	3ad2ant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48		ovexd 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
49	5	elexd 3456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
50		cnvexg 7871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
51		imaexg 7860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
54	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
55	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
56		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑒)
58	54, 55, 6, 9, 13, 56, 57	smfpimbor1 47250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
59		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻))
60	48, 53, 58, 59	elrestd 45562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
61		inpreima 7012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
62	20, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
64	5	dmexd 7850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
65		restabs 23155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
66	2, 4, 64, 65	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
67	66	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
69	60, 63, 68	3eltr4d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
70	69	3adant3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
71	47, 70	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
72	71	3exp 1125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
73	72	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
74	73	rexlimdv 3139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻))))
75	45, 74	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
76	32, 75	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
77	1, 2, 8, 23, 76	issmfd 47185	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  {crab 3392  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  -∞cmnf 11175  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177  (,)cioo 13296   ↾_t crest 17381  topGenctg 17398  Topctop 22883  SAlgcsalg 46758  SalGencsalgen 46762  SMblFncsmblfn 47145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-fl 13749  df-rest 17383  df-topgen 17404  df-top 22884  df-bases 22936  df-salg 46759  df-salgen 46763  df-smblfn 47146

This theorem is referenced by: (None)