Theorem smfco 41804

Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfco.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
smfco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 2015	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfco.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		cnvimass 5727	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5		smfco.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2826	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 41737	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3838	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ ∪ 𝑆)
9		smfco.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		retop 22936	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
11	9, 10	eqeltri 2903	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		smfco.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
14	12, 13	salgencld 41359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
15		smfco.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐻 = dom 𝐻
17	14, 15, 16	smff 41736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
18	17	ffund 6283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
19	2, 5, 6	smff 41736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
20	19	ffund 6283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
21	18, 20	fco3 40227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
22	17	frnd 6286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
23	21, 22	fssd 6293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
24	23	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 ∘ 𝐹):(◡𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
25		rexr 10403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
26	25	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
27	24, 26	preimaioomnf 41724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
28	27	eqcomd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)))
29		cnvco 5541	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐻 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝐻)
30	29	imaeq1i 5705	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐻 ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)))
32		imaco 5882	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 ∘ ◡𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
34	28, 31, 33	3eqtrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
35	17	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
36	35, 26	preimaioomnf 41724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎})
37	36	eqcomd 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
38	37	eqcomd 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎})
39	14	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
40	15	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
41		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
42	39, 40, 16, 41	smfpreimalt 41735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
43	38, 42	eqeltrd 2907	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻))
44	14	elexd 3432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
45	15	dmexd 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
46		elrest 16442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
47	44, 45, 46	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
48	47	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵 ↾t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
49	43, 48	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
50		imaeq2 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
51	50	3ad2ant3 1171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
52		ovexd 6940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
53	5	elexd 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
54		cnvexg 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
56		imaexg 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐹 ∈ V → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
58	57	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
59	2	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
60	5	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
61		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
62		eqid 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑒)
63	59, 60, 6, 9, 13, 61, 62	smfpimbor1 41802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
64		eqid 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻))
65	52, 58, 63, 64	elrestd 40107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
66		inpreima 6592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
67	20, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
68	67	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
69	5	dmexd 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
70		restabs 21341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
71	2, 4, 69, 70	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
72	71	eqcomd 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
73	72	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
74	68, 73	eleq12d 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ↔ ((◡𝐹 “ 𝑒) ∩ (◡𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻))))
75	65, 74	mpbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
76	75	3adant3 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
77	51, 76	eqeltrd 2907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
78	77	3exp 1154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
79	78	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒 ∈ 𝐵 → ((◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))))
80	79	rexlimdv 3240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒 ∈ 𝐵 (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻))))
81	49, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (◡𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
82	34, 81	eqeltrd 2907	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (◡𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (◡𝐹 “ dom 𝐻)))
83	1, 2, 8, 23, 82	issmfd 41739	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3119  {crab 3122  Vcvv 3415   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∪ cuni 4659   class class class wbr 4874  ^◡ccnv 5342  dom cdm 5343  ran crn 5344   “ cima 5346   ∘ ccom 5347  Fun wfun 6118  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℝcr 10252  -∞cmnf 10390  ℝ^*cxr 10391   < clt 10392  (,)cioo 12464   ↾_t crest 16435  topGenctg 16452  Topctop 21069  SAlgcsalg 41320  SalGencsalgen 41324  SMblFncsmblfn 41704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cc 9573  ax-ac2 9601  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-ac 9253  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-fl 12889  df-rest 16437  df-topgen 16458  df-top 21070  df-bases 21122  df-salg 41321  df-salgen 41325  df-smblfn 41705

This theorem is referenced by: (None)