Theorem i1fima2 25728

Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fima 25727	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
3		mblvol 25579	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
5		i1ff 25725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		ffun 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8		inpreima 7039	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
10		cnvimass 6066	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
11		cnvimarndm 6067	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
12	10, 11	sseqtrri 3983	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
13		dfss2 3920	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	12, 13	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
15	9, 14	eqtr2di 2813	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16		elinel1 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
17	16	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
18	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19		disjsn 4667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20	18, 19	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21		inss2 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
22	5	frnd 6694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	21, 22	sstrid 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25		reldisj 4404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
27	20, 26	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28		imass2 6086	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
30	15, 29	eqsstrd 3968	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31		i1fima 25727	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
32	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33		mblss 25580	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35		mblvol 25579	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37		isi1f 25723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
38	37	simprbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
39	38	simp3d 1156	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
40	39	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
41	36, 40	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42		ovolsscl 25535	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
43	30, 34, 41, 42	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
44	4, 43	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4579  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644   “ cima 5646  Fun wfun 6509  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  Fincfn 8920  ℝcr 11065  0cc0 11066  vol*covol 25511  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  ∫₁citg1 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xadd 13108  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704  df-xmet 21404  df-met 21405  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669

This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25729  i1f0rn  25731  itg2addnclem  38130  itg2addnclem2  38131  ftc1anclem3  38154