Theorem i1fima2 24283

Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fima 24282	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
3		mblvol 24134	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
5		i1ff 24280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		ffun 6490	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8		inpreima 6811	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
10		cnvimass 5916	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
11		cnvimarndm 5917	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
12	10, 11	sseqtrri 3952	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
13		df-ss 3898	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	12, 13	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
15	9, 14	eqtr2di 2850	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16		elinel1 4122	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
17	16	con3i 157	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
18	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19		disjsn 4607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20	18, 19	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21		inss2 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
22	5	frnd 6494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	21, 22	sstrid 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25		reldisj 4359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
27	20, 26	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28		imass2 5932	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
30	15, 29	eqsstrd 3953	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31		i1fima 24282	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
32	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33		mblss 24135	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35		mblvol 24134	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37		isi1f 24278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
38	37	simprbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
39	38	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
40	39	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
41	36, 40	eqeltrrd 2891	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42		ovolsscl 24090	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
43	30, 34, 41, 42	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
44	4, 43	eqeltrd 2890	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  vol*covol 24066  volcvol 24067  MblFncmbf 24218  ∫₁citg1 24219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20084  df-met 20085  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224

This theorem is referenced by:  i1fima2sn  24284  i1f0rn  24286  itg2addnclem  35108  itg2addnclem2  35109  ftc1anclem3  35132