MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fima2 25187
Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 25186 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 25038 . . 3 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)))
5 i1ff 25184 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
7 ffun 6717 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
8 inpreima 7062 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
10 cnvimass 6077 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
11 cnvimarndm 6078 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtrri 4018 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
13 df-ss 3964 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
1412, 13mpbi 229 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴)
159, 14eqtr2di 2789 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 elinel1 4194 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝐴)
1716con3i 154 . . . . . . . 8 (Β¬ 0 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19 disjsn 4714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2018, 19sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
21 inss2 4228 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
225frnd 6722 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
2321, 22sstrid 3992 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
25 reldisj 4450 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ β†’ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0})))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0})))
2720, 26mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
28 imass2 6098 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
3015, 29eqsstrd 4019 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
31 i1fima 25186 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol)
3231adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol)
33 mblss 25039 . . . 4 ((◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
35 mblvol 25038 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
3632, 35syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
37 isi1f 25182 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
3837simprbi 497 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
3938simp3d 1144 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
4039adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
4136, 40eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
42 ovolsscl 24994 . . 3 (((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
4330, 34, 41, 42syl3anc 1371 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
444, 43eqeltrd 2833 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  vol*covol 24970  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  βˆ«1citg1 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128
This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25188  i1f0rn  25190  itg2addnclem  36527  itg2addnclem2  36528  ftc1anclem3  36551
  Copyright terms: Public domain W3C validator