Theorem i1fima2 25656

Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fima 25655	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
3		mblvol 25507	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
5		i1ff 25653	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		ffun 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8		inpreima 7010	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
10		cnvimass 6041	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
11		cnvimarndm 6042	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
12	10, 11	sseqtrri 3972	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
13		dfss2 3908	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	12, 13	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
15	9, 14	eqtr2di 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16		elinel1 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
17	16	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19		disjsn 4656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21		inss2 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
22	5	frnd 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	21, 22	sstrid 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25		reldisj 4394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
27	20, 26	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28		imass2 6061	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
30	15, 29	eqsstrd 3957	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31		i1fima 25655	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33		mblss 25508	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35		mblvol 25507	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37		isi1f 25651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
38	37	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
39	38	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
41	36, 40	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42		ovolsscl 25463	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
43	30, 34, 41, 42	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
44	4, 43	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  ℝcr 11028  0cc0 11029  vol*covol 25439  volcvol 25440  MblFncmbf 25591  ∫₁citg1 25592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-xmet 21337  df-met 21338  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597

This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25657  i1f0rn  25659  itg2addnclem  38006  itg2addnclem2  38007  ftc1anclem3  38030