MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima2 25714
Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 25713 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 25565 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
5 i1ff 25711 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ffun 6739 . . . . . 6 (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8 inpreima 7084 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
10 cnvimass 6100 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
11 cnvimarndm 6101 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtrri 4033 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹)
13 dfss2 3969 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴))
1412, 13mpbi 230 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴)
159, 14eqtr2di 2794 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
1716con3i 154 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19 disjsn 4711 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2018, 19sylibr 234 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21 inss2 4238 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
225frnd 6744 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2321, 22sstrid 3995 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25 reldisj 4453 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2720, 26mpbid 232 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28 imass2 6120 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
3015, 29eqsstrd 4018 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31 i1fima 25713 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
3231adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33 mblss 25566 . . . 4 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35 mblvol 25565 . . . . 5 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
3632, 35syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37 isi1f 25709 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
3837simprbi 496 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3938simp3d 1145 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4039adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4136, 40eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42 ovolsscl 25521 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
4330, 34, 41, 42syl3anc 1373 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
444, 43eqeltrd 2841 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  vol*covol 25497  volcvol 25498  MblFncmbf 25649  1citg1 25650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655
This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25715  i1f0rn  25717  itg2addnclem  37678  itg2addnclem2  37679  ftc1anclem3  37702
  Copyright terms: Public domain W3C validator