MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima2 25059
Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 25058 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 24910 . . 3 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)))
5 i1ff 25056 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
7 ffun 6676 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
8 inpreima 7019 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
10 cnvimass 6038 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
11 cnvimarndm 6039 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtrri 3986 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
13 df-ss 3932 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
1412, 13mpbi 229 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴)
159, 14eqtr2di 2794 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 elinel1 4160 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝐴)
1716con3i 154 . . . . . . . 8 (Β¬ 0 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1817adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19 disjsn 4677 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2018, 19sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
21 inss2 4194 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
225frnd 6681 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
2321, 22sstrid 3960 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
25 reldisj 4416 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ β†’ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0})))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0})))
2720, 26mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
28 imass2 6059 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
3015, 29eqsstrd 3987 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
31 i1fima 25058 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol)
3231adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol)
33 mblss 24911 . . . 4 ((◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
35 mblvol 24910 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
3632, 35syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
37 isi1f 25054 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
3837simprbi 498 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
3938simp3d 1145 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
4039adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
4136, 40eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
42 ovolsscl 24866 . . 3 (((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
4330, 34, 41, 42syl3anc 1372 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
444, 43eqeltrd 2838 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  vol*covol 24842  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25060  i1f0rn  25062  itg2addnclem  36158  itg2addnclem2  36159  ftc1anclem3  36182
  Copyright terms: Public domain W3C validator