MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fima2 25428
Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 25427 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 25279 . . 3 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)))
5 i1ff 25425 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
7 ffun 6719 . . . . . 6 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
8 inpreima 7064 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)))
10 cnvimass 6079 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
11 cnvimarndm 6080 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtrri 4018 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)
13 df-ss 3964 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ ran 𝐹) ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
1412, 13mpbi 229 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ 𝐴) ∩ (◑𝐹 β€œ ran 𝐹)) = (◑𝐹 β€œ 𝐴)
159, 14eqtr2di 2787 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 elinel1 4194 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) β†’ 0 ∈ 𝐴)
1716con3i 154 . . . . . . . 8 (Β¬ 0 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1817adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19 disjsn 4714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2018, 19sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ…)
21 inss2 4228 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ran 𝐹
225frnd 6724 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
2321, 22sstrid 3992 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ)
25 reldisj 4450 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† ℝ β†’ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0})))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = βˆ… ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0})))
2720, 26mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
28 imass2 6100 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) βŠ† (ℝ βˆ– {0}) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
3015, 29eqsstrd 4019 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})))
31 i1fima 25427 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol)
3231adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol)
33 mblss 25280 . . . 4 ((◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
35 mblvol 25279 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
3632, 35syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))))
37 isi1f 25423 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
3837simprbi 495 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
3938simp3d 1142 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
4039adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
4136, 40eqeltrrd 2832 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
42 ovolsscl 25235 . . 3 (((◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
4330, 34, 41, 42syl3anc 1369 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
444, 43eqeltrd 2831 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  vol*covol 25211  volcvol 25212  MblFncmbf 25363  βˆ«1citg1 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369
This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25429  i1f0rn  25431  itg2addnclem  36842  itg2addnclem2  36843  ftc1anclem3  36866
  Copyright terms: Public domain W3C validator