MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima2 24279
Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 24278 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 24130 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
5 i1ff 24276 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ffun 6505 . . . . . 6 (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8 inpreima 6822 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
10 cnvimass 5936 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
11 cnvimarndm 5937 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtrri 3989 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹)
13 df-ss 3936 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴))
1412, 13mpbi 233 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴)
159, 14syl6req 2876 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 elinel1 4156 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
1716con3i 157 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1817adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19 disjsn 4631 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2018, 19sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21 inss2 4190 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
225frnd 6509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2321, 22sstrid 3963 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
2423adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25 reldisj 4384 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2720, 26mpbid 235 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28 imass2 5952 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
3015, 29eqsstrd 3990 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31 i1fima 24278 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
3231adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33 mblss 24131 . . . 4 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35 mblvol 24130 . . . . 5 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
3632, 35syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37 isi1f 24274 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
3837simprbi 500 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3938simp3d 1141 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4039adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4136, 40eqeltrrd 2917 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42 ovolsscl 24086 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
4330, 34, 41, 42syl3anc 1368 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
444, 43eqeltrd 2916 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  c0 4275  {csn 4549  ccnv 5541  dom cdm 5542  ran crn 5543  cima 5545  Fun wfun 6337  wf 6339  cfv 6343  Fincfn 8499  cr 10528  0cc0 10529  vol*covol 24062  volcvol 24063  MblFncmbf 24214  1citg1 24215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-xmet 20531  df-met 20532  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220
This theorem is referenced by:  i1fima2sn  24280  i1f0rn  24282  itg2addnclem  35018  itg2addnclem2  35019  ftc1anclem3  35042
  Copyright terms: Public domain W3C validator