Theorem i1fima2 25728

Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fima 25727	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
3		mblvol 25579	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
5		i1ff 25725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		ffun 6740	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8		inpreima 7084	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
10		cnvimass 6102	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
11		cnvimarndm 6103	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
12	10, 11	sseqtrri 4033	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
13		dfss2 3981	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	12, 13	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
15	9, 14	eqtr2di 2792	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16		elinel1 4211	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
17	16	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19		disjsn 4716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21		inss2 4246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
22	5	frnd 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	21, 22	sstrid 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25		reldisj 4459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
27	20, 26	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28		imass2 6123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
30	15, 29	eqsstrd 4034	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31		i1fima 25727	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33		mblss 25580	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35		mblvol 25579	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37		isi1f 25723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
38	37	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
39	38	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
41	36, 40	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42		ovolsscl 25535	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
43	30, 34, 41, 42	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
44	4, 43	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690   “ cima 5692  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  ℝcr 11152  0cc0 11153  vol*covol 25511  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  ∫₁citg1 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669

This theorem is referenced by:  i1fima2sn  25729  i1f0rn  25731  itg2addnclem  37658  itg2addnclem2  37659  ftc1anclem3  37682