Theorem i1fima2 24748

Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fima2	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fima 24747	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)
3		mblvol 24599	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) = (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)))
5		i1ff 24745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		ffun 6587	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8		inpreima 6923	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)))
10		cnvimass 5978	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
11		cnvimarndm 5979	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
12	10, 11	sseqtrri 3954	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹)
13		df-ss 3900	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴))
14	12, 13	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐴) ∩ (◡𝐹 “ ran 𝐹)) = (◡𝐹 “ 𝐴)
15	9, 14	eqtr2di 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) = (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16		elinel1 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
17	16	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
19		disjsn 4644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20	18, 19	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
21		inss2 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
22	5	frnd 6592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
23	21, 22	sstrid 3928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
25		reldisj 4382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
27	20, 26	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
28		imass2 5999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
30	15, 29	eqsstrd 3955	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
31		i1fima 24747	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
33		mblss 24600	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
35		mblvol 24599	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
37		isi1f 24743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
38	37	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
39	38	simp3d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
41	36, 40	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
42		ovolsscl 24555	. . 3 ⊢ (((◡𝐹 “ 𝐴) ⊆ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
43	30, 34, 41, 42	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)
44	4, 43	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  vol*covol 24531  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  ∫₁citg1 24684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689

This theorem is referenced by:  i1fima2sn  24749  i1f0rn  24751  itg2addnclem  35755  itg2addnclem2  35756  ftc1anclem3  35779